第16講 三角形的概念及性質(zhì)（講義）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（含練習(xí)）

這是一份第16講 三角形的概念及性質(zhì)（講義）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（含練習(xí)），文件包含第16講三角形的概念及性質(zhì)講義教師版docx、第16講三角形的概念及性質(zhì)講義學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共131頁(yè)， 歡迎下載使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc155533060" 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc155533061" 考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念
\l "_Tc155533062" 題型01 三角形的分類
\l "_Tc155533063" 題型02 三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問題
\l "_Tc155533064" 題型03 三角形的穩(wěn)定性
\l "_Tc155533065" 考點(diǎn)二 三角形的重要線段
\l "_Tc155533066" 題型01 畫三角形的高、中線、角平分線
\l "_Tc155533067" 題型02 已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤
\l "_Tc155533068" 題型03 等面積法求三角形的高
\l "_Tc155533069" 題型04 利用網(wǎng)格求三角形的面積
\l "_Tc155533070" 題型05 與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算
\l "_Tc155533071" 題型06 根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度
\l "_Tc155533072" 題型07 根據(jù)三角形的中線求面積
\l "_Tc155533073" 題型08 判斷重心位置
\l "_Tc155533074" 題型09 與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算
\l "_Tc155533075" 考點(diǎn)三 三角形的性質(zhì)
\l "_Tc155533076" 題型01 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍
\l "_Tc155533077" 題型02 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子
\l "_Tc155533078" 題型03 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題
\l "_Tc155533079" 題型04 三角形內(nèi)角和定理的證明
\l "_Tc155533080" 題型05 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度
\l "_Tc155533081" 題型06 三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用
\l "_Tc155533082" 題型07 三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用
\l "_Tc155533083" 題型08 三角形折疊中的角度問題
\l "_Tc155533084" 題型09 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題
\l "_Tc155533085" 題型10 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系
\l "_Tc155533086" 題型11 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合
\l "_Tc155533087" 題型12 應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度
\l "_Tc155533088" 題型13 三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合
\l "_Tc155533089" 題型14 三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合
\l "_Tc155533090" 題型15 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題
\l "_Tc155533091" 題型16 三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合
考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念
三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.
三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.
三角形的分類：
1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形 等腰三角形等邊三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形
2）三角形按角分類：三角形直角三角形 斜三角形銳角三角形鈍角三角形
三角形的穩(wěn)定性: 三角形三條邊的長(zhǎng)度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.
1. 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),字母的順序可以自由安排. 即 ?ABC, ?ACB等均為同一個(gè)三角形.
2. 等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.
3. 四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.
題型01 三角形的分類
【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一只手蓋住了一個(gè)三角形的部分圖形，則這個(gè)三角形不可能是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形
【變式1-1】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)三角形只剩下一個(gè)角，這個(gè)三角形為( )
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．以上都有可能
【變式1-2】（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC．
要求：
（1）在圖①中畫一個(gè)鈍角三角形，在圖②中畫一個(gè)直角三角形，在圖③中畫一個(gè)銳角三角形；
（2）三個(gè)圖中所畫的三角形的面積均不相等；
（3）點(diǎn)C在格點(diǎn)上．
【變式1-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC=5，并且直接寫出對(duì)應(yīng)三角形的面積．
題型02 三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問題
【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點(diǎn)在一個(gè)正方體頂點(diǎn)上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．8B．18C．24D．36
【變式2-1】（2020·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個(gè)三角形．以下去掉3根的方法正確的是（ ）
A．DE,GH,MIB．GF,EF,MFC．GD,EI,MHD．AD,AG,GD
【變式2-2】閱讀下列材料并填空．平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？
（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線……
（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表
(3)推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即Sn=n×n-12
（4）結(jié)論：Sn=n×n-12
試探究以下幾個(gè)問題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出 個(gè)三角形；
當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出 個(gè)三角形；
當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出 個(gè)三角形；
……
（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）
(3)推理： （4）結(jié)論：
【變式2-3】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)：A1，A2，A3，…，A11，A12．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交．問：有多少種連法？
題型03 三角形的穩(wěn)定性
【例3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）學(xué)校、工廠、企業(yè)等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸縮自由移動(dòng)，以此來控制門的大小．這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（ ）

A．三角形的穩(wěn)定形B．四邊形的不穩(wěn)定性
C．勾股定理D．黃金分割
【變式3-1】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃?，至少需要再釘上幾根木條？（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【變式3-2】（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-3】（2021·浙江臺(tái)州·一模）如圖，升降平臺(tái)由三個(gè)邊長(zhǎng)為1.2米的菱形和兩個(gè)腰長(zhǎng)為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺(tái)AM與底座A0N平行，長(zhǎng)度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動(dòng)，且始終保持點(diǎn)B0，C1，A1成一直線．
(1)這種升降平臺(tái)的設(shè)計(jì)原理是利用了四邊形的____性；
(2)為了安全，該平臺(tái)在作業(yè)時(shí)∠B1不得超過40°，求平臺(tái)高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．
考點(diǎn)二 三角形的重要線段
1. 三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．
2. 常見三角形的高：
3. 當(dāng)已知三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可考慮運(yùn)用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.
題型01 畫三角形的高、中線、角平分線
【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
【變式1-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=AC，BC長(zhǎng)度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫出BC邊的高的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（ ）

A．高，中線，角平分線B．高，角平分線，中線
C．中線，高，角平分線D．高，角平分線，垂直平分線
【變式1-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（ ）

A．AB邊上的中線和高線B．∠C的角平分線和AB邊上的高線
C．∠C的角平分線和AB邊上的中線D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線
【變式1-5】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個(gè)三角形．如圖，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，折痕是三角形的（ ）

A．中線B．中位線C．高線D．角平分線
【變式1-6】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上；
(2)在圖②中畫△ABC的高線BF．
題型02 已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤
【例2】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）

A．∠AFB=90°B．AE=CE
C．BC=2CDD．∠BAE=12∠BAC
【變式2-1】（2020上·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC=2S△ABF
題型03 等面積法求三角形的高
【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，則點(diǎn)C到直線AB的距離等于（ ）
A．125B．135C．6013D．6512
【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)A，B，C，D中選一個(gè)點(diǎn)；與點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，這個(gè)點(diǎn)為（ ）
A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D
【變式3-2】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為( )
A．S△ABC >S△DEFB．S△ABC 90°，∠B=20°，則∠C的度數(shù)為______；
(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，若AD=94，判斷△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，請(qǐng)說明理由；
(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的長(zhǎng)．
【變式11-2】（2022·江西撫州·統(tǒng)考一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我么就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“華麗分割線”．
例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．
【定義感知】
(1)如圖1，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=110°，AB=BD．求證：AD是△ABC的“華麗分割線”．
【問題解決】
(2)①如圖2，在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是等腰三角形，則∠C的度數(shù)是________；
②如圖3，在△ABC中，AB=2，AC=3，AD是△ABC 的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長(zhǎng)．
【變式11-3】（2019·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．
（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大??；
（2）在圖2中分別畫出三個(gè)頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；
（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，請(qǐng)直接寫出∠C所有可能的值．
題型12 應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度
【例12】（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE．若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，則∠1的大小為（ ）
A．60°B．70°C．75°D．85°
【變式12-1】（2022·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C，D在直線AB上，OC⊥OD，若∠ACO=120°，則∠BDO的大小為（ ）
A．120°B．140°C．150°D．160°
【變式12-2】．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖．在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF．若∠CFE=72°，則∠B= ．
題型13 三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合
【例13】（2022·陜西西安·校考二模）三角形的一個(gè)外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是 ．
【變式13-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC中，∠A=70°，BD是∠ABC的角平分線，CD是∠ACB的外角角平分線，交點(diǎn)為D，則∠D= °．

【變式13-2】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=70°，∠D=10°，則∠P= ．

【變式13-3】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，AB,AC邊上的高CE,BD相交于點(diǎn)F，∠ABC,∠ACB的角平分線交于點(diǎn)G，若∠CGB=125°，則∠CFB= ．
【變式13-4】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．
請(qǐng)解決以下問題：
（1）寫出上述證明過程中依據(jù)的一個(gè)定理：______；
（2）如圖，已知點(diǎn)Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角平分線CQ的交點(diǎn)，試探究∠Q和∠A的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【變式13-5】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1．
（1）∵BA1、CA1是∠ABC與∠ACD的平分線，
∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠ACD，
∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD），
∵∠A1CD﹣∠A1BD＝ ，∠ACD﹣∠ABD＝∠ ，
∴∠A1＝ ．
（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D＝230°，求∠F的度數(shù)．
（3）如圖3，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1，若E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：
①∠Q+∠A1的值為定值；
②∠Q﹣∠A1的值為定值，
其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并求出其值．
題型14 三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合
【例14】（2023·貴州貴陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，直線AB∥CD，點(diǎn)E是平行線外一點(diǎn)，連接AE，CE，若∠A=22°，∠C=50°，則∠E的度數(shù)是（ ）

A．22°B．24°C．26°D．28°
【變式14-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某城市幾條道路的位置如圖所示，道路CD與道路EF平行，道路AB與道路CD的夾角∠CDB為50°，城市規(guī)劃部門想修一條新道路BF，要求∠F=∠B，則∠F的大小為（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【變式14-2】（2022·遼寧遼陽(yáng)·一模）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．40°B．41°C．49°D．50°
【變式14-3】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠A=45°,∠B=30°，直尺的一邊與BC平行，則∠1= °．
題型15 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題
【例15】（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=105°，則∠1+∠2的度數(shù)是 ．
【變式15-1】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，且CD=2DB，將ΔABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF為折痕，則sin∠BED= ．
【變式15-2】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小聰同學(xué)為了驗(yàn)證：長(zhǎng)條紙片上下邊沿MN與PQ是否平行，把紙片沿著AC折疊（如圖1），并用量角器測(cè)出∠1、∠2的度數(shù)．
(1)若∠1=∠2，則MN∥PQ．你認(rèn)為小聰同學(xué)的做法正確嗎？請(qǐng)說明理由；
(2)在（1）的條件下小聰同學(xué)在PQ邊上取點(diǎn)D（不與P，B重合）（如圖2），連接AD并折疊紙片使得射線AB與射線AD重合，折痕交PQ于點(diǎn)E，過E作EF⊥AC于點(diǎn)F，設(shè)∠AEF=α，∠ADP=β．
①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C、B之間時(shí)，若β=120°，求α的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)D在PQ上運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
題型16 三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合
【例16】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng) （填“增加”或“減少”） 度．
【變式16-1】如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且AD=AE，連接DE．
（1）如圖①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，則∠CDE的度數(shù)為 ；
（2）如圖②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，則∠BAD的度數(shù)為 ；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，則∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系為 ．
【變式16-2】（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為 ．
【變式16-3】（2022下·江蘇南京·七年級(jí)校考期末）已知△ABC中，∠A=65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB'=35°，則∠1+∠2+∠3= °．
【變式16-4】（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點(diǎn)，且AE=BD，求∠BFC的度數(shù)．

考點(diǎn)要求
新課標(biāo)要求
命題預(yù)測(cè)
三角形的相關(guān)概念
理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性.
在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考察.
三角形的重要線段
三角形的性質(zhì)
探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.
點(diǎn)的個(gè)數(shù)
可作出直線條數(shù)
2
1=S2=2×12
3
3=S3=3×22
4
6=S4=4×32
5
10=S5=5×42
……
……
n
Sn=n×n-12
點(diǎn)的個(gè)數(shù)
可連成三角形個(gè)數(shù)
3
4
5
……
n
重要線段
概念
圖形
性質(zhì)
三角形的高
從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．
∵AD是?ABC中BC邊的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
三角形的中線
在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線
∵AD是?ABC中BC邊的中線
∴BD=CD S△ABD=S△ADC
C?ACD-C?ABD=AC-AB
三角形的角平分線
三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．
∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線
∴∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC
三角形的中位線
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線
∵DE是?ABC的中位線
∴AD=DB AE=EC
DE=12 BC DE∥BC

概念
圖形
性質(zhì)
重心
三角形三條中線交點(diǎn)
1）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。
2）重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。
3) 重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。
垂心
三角形三條高交點(diǎn)
1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外；
2）銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。
3）三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6組四點(diǎn)共圓.
4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短.
三角形關(guān)型
直角三角形
銳角三角形
鈍角三角形
垂心的位置
直角頂點(diǎn)
①
在三角形外部
垂心的性質(zhì)
三角形任意頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對(duì)邊的距離的兩倍．
圖形
圖1
圖2
三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，
已知：如圖，ΔABC,
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
方法一
證明：如圖，過點(diǎn)A作DE//BC.

方法二
證明：如圖，過點(diǎn)C作CD//AB.
探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律
在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對(duì)解決相關(guān)的問題會(huì)起到事半功倍的效果．
規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線形成的角等于90?加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半．
規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．
如圖，已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)．則∠P=90°+12∠A，∠M=90°-12∠A．
證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC的角平分線，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB．
∴∠A=180°-2∠1+∠2．
∴∠1+∠2=90°-12∠A．
∴∠P=180°-∠1+∠2=90°+12∠A．
規(guī)律2，∵∠3=12∠A+∠ACB，∠4=12∠A+∠ABC，
∴∠3+∠4=12∠A+∠ACB+∠ABC+12∠A=90°+12∠A．
∴∠M=180°-∠3+∠4=90°-12∠A．
探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律
在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對(duì)解決相關(guān)的問題會(huì)起到事半功倍的效果．
規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線形成的角等于90?加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半．
規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．
如圖，已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)．則∠P=90°+12∠A，∠M=90°-12∠A．
證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC的角平分線，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB．
∴∠A=180°-2∠1+∠2．
∴∠1+∠2=90°-12∠A．
∴∠P=180°-∠1+∠2=90°+12∠A．
規(guī)律2，∵∠3=12∠A+∠ACB，∠4=12∠A+∠ABC，
∴∠3+∠4=12∠A+∠ACB+∠ABC+12∠A=90°+12∠A．
∴∠M=180°-∠3+∠4=90°-12∠A．