人教版數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)講練專項07 二次函數(shù)與方程、不等式（2份，原卷版+解析版）

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考點1 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況
求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：
注意：
二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.
當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根；
當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根
考點2 利用二次2.函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解
用圖象法解一元二次方程的步驟：
1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；
2. 確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線 與x軸交點的橫坐標(biāo)的大致范圍；
3. 在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．
4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．
總結(jié)：二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的一元二次方程的根。
考點2 拋物線與不等式的關(guān)系
二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：
【考點1 與x軸交點個數(shù)】
【典例1】函數(shù)y＝kx2－6x+3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3D．k≤3且k≠0
【答案】C
【解答】解：∵函數(shù)y＝kx2－6x+3的圖象與x軸有交點，
∴當(dāng)k≠0時，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，
當(dāng)k＝0時，函數(shù)y＝kx2－6x+3為一次函數(shù)，則它的圖象與x軸有交點，
綜合上述：k的取值范圍是k≤3，
故答案為：C
【變式1-1】（2020九上·北京月考）拋物線 與 軸交點的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1C．2D．以上都不對
【答案】C
【解答】因為 ＞0，所以拋物線 與 軸有2個交點，故答案為：C．
【變式1-2】（2021九上·大慶期中）拋物線y＝kx 2－7x－7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【答案】B
【解答】解：因為 y=kx2-7x-7為拋物線，所以k≠0；
因為
y=kx2-7x-7和圖像有交點，
所以b2-4ac≥0
即(-7)2-4k·(-7)≥0
所以k≥- 。
綜上，k≥- 且k≠0。
故答案為：B
【變式1-3】下列關(guān)于二次函數(shù)y＝ax2－2ax+1（a＞1）的圖象與x軸交點的判斷，下確的是（ ）
A．沒有交點
B．只有一個交點，且它位于y軸右側(cè)
C．有兩個交點，且它們均位于y軸左側(cè)
D．有兩個交點，且它們均位于y軸右側(cè)
【答案】D
【解答】解：當(dāng)y＝0時，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有兩個實數(shù)根，則拋物線與x軸有兩個交點，
∵x＝ ＞0，
∴拋物線與x軸的兩個交點均在y軸的右側(cè)，
故答案為：D
【典例2】（2021九上·西城期中）已知拋物線y=（m﹣2）x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時，求拋物線與x軸兩個交點的坐標(biāo)．
【答案】（1）m＜6且m≠2． （2）（﹣2，0），（ ，0）
【解答】（1）解：∵拋物線y=（m﹣2）x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點，
∴y=0時，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，則△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，
解得m＜6且m≠2．即m的取值范圍是：m＜6且m≠2．
（2）解：∵m＜6且m≠2，∴m滿足條件的最大整數(shù)是m=5．
∴y=3x2+10x+8．當(dāng)y=0時，3x2+10x+8=0．解得 ．
即拋物線與x軸有兩個交點的坐標(biāo)是：（﹣2，0），（ ，0）．
【變式2-1】（2020九上·科爾沁左翼中旗期中）已知二次函數(shù) ．求證：不論 為何實數(shù)，此二次函數(shù)的圖像與 軸都有兩個不同交點．
【答案】略
【解答】解： ，不論 為何值時，都有 ，此時二次函數(shù)圖象與 軸有兩個不同交點．
【變式2-2】已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+2x+2k﹣2的圖象與x軸有兩個交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取正整數(shù)時，請你寫出二次函數(shù)y=x2+2x+2k﹣2的表達(dá)式，并求出此二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)．
【答案】（1） （2）（﹣2，0）和（0，0）
【解答】（1）解：∵圖象與x軸有兩個交點，
∴方程 有兩個不相等的實數(shù)根，
∴ 即 解得
（2）解：∵k為正整數(shù)，
∴k=1．
∴ 令y=0，得 解得 ∴交點為（﹣2，0）和（0，0）
【考點2 利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解】
【典例3】（2021九上·嶗山期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為 ．
【答案】
【解答】解：∵函數(shù)圖象可知拋物線與坐標(biāo)軸交于點，對稱軸為，
∴另一個交點為，
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為
故答案為：
【變式3-1】（2021九上·歷下期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為 ．
【答案】x1＝-1，x2＝5
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)與x軸的另一交點的橫坐標(biāo)為x
由題意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為：x1＝-1，x2＝5
故答案為：x1＝-1，x2＝5
【變3-2】（2021九上·蓬江期末）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解為 ．
【答案】x1＝﹣4，x2＝2
【解答】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+m的部分圖象經(jīng)過點（﹣4，0），所以該點適合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得
（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0
解得，m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得
﹣x2﹣2x+8＝0，②
解②，得
x1＝﹣4，x2＝2
∴關(guān)于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解為x1＝﹣4，x2＝2
故答案為x1＝﹣4，x2＝2．
【變式3-3】（2021九上·朝陽期末）拋物線的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根為 ．
【答案】，
【解答】解：∵根據(jù)圖象可得：拋物線與x軸的交點為
∴，
∵對稱軸為
∴
∴方程的解為，，
故答案為：，．
【典例4】某人畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出下表（計算沒有錯誤）：
根據(jù)此表判斷：一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根x1滿足下列關(guān)系式（ ）
A．3.2＜x1＜3.3 B．3.3＜x1＜3.4
C．3.4＜x1＜3.5 D．3.1＜x1＜3.2
【答案】B
【解答】由圖象可知函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)在3.3～3.4之間，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根x1在3.3和3.4之間．∴一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根x1滿足3.3＜x1＜3.4，故選B．
【變式4-1】在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【答案】B
【解析】【解答】解：當(dāng)y=0時，-0.49＜y＜0.04，
∴1.1＜x＜1.2.
故答案為：B.
【變式4-2】根據(jù)以下表格中二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的一個解x的范圍是（ ）
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
【答案】B
【解答】解：由題意得：在內(nèi)，隨的增大而增大，
時，；當(dāng)時，，
在時，存在一個使得，
即方程的一個解的范圍是，
故答案為：B．
【典例5】二次函數(shù)y = x2-2x-3的圖象如圖所示，則函數(shù)值y