陜西省富平縣2024屆高三第二次模擬（理）數(shù)學試卷（解析版）

這是一份陜西省富平縣2024屆高三第二次模擬（理）數(shù)學試卷（解析版），共16頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 設復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】，
所以在復平面內(nèi)的對應點為，在第一象限.
故選：A
2. 設集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】當時，，則，而，
所以.
故選：C
3. 已知向量，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若，則，解得或2，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于原點對稱，則的值可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可知函數(shù)圖象關于原點對稱，
則，整理可得，
當時，.故選：D.
5. 某電視臺舉行主持人大賽，每場比賽都有17位專業(yè)評審進行現(xiàn)場評分，首先這17位評審給出某位選手的原始分數(shù)，評定該位選手的成績時從17個原始成績中去掉一個最高分、一個最低分，得到15個有效評分，則15個有效評分與17個原始評分相比，在數(shù)字特征“①中位數(shù)②平均數(shù)③方差④極差”中，可能變化的有（ ）
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
【答案】B
【解析】從17個原始評分去掉1個最高分、1個最低分，得到15個有效評分，
其平均數(shù)、極差、方差都可能會發(fā)生改變，
但中間位置不變，即不變的數(shù)字特征數(shù)中位數(shù)，
例如，故可能變化的有3個.故選：B.
6. 已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由是上的增函數(shù)，得，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
7. 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個陽爻”．則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，
則，則
故選：C
8. 已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形
C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】，
即，故，
，
因為，所以，故，
因為，所以，
故為等腰直角三角形.
故選：D
9. 在正方體中，過點B的平面與直線垂直，則截該正方體所得截面的形狀為（ ）
A. 三角形B. 四邊形C. 五邊形D. 六邊形
【答案】A
【解析】連接，
因為⊥平面，平面，
所以⊥，
又四邊形為正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因為平面，
所以⊥，
同理可證明⊥，
因為，平面，
故⊥平面，
故平面即為平面，
則截該正方體所得截面的形狀為三角形.

故選：A
10. 已知O為坐標原點，A、B、F分別是橢圓C：（）的左頂點、上頂點和右焦點，點P在橢圓C上，且以OP為直徑的圓恰好過右焦點F，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令橢圓的右焦點，依題意，軸，且點在第一象限，
由，解得，則，而，
由，得，解得，，
所以橢圓C的離心率.故選：C.
11. 若函數(shù)在內(nèi)恰好存在8個，使得，則取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可得：
，
由可得，
因為，，則，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍為．
故選：D．
12. 已知個大于2的實數(shù)，對任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（ ）
A. 14B. 16C. 21D. 23
【答案】D
【解析】由，且，，故，
即，
令，，
故當時，，當時，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，即，故，，
又，故，即，
若，則有，
即，由，故.
故最大正整數(shù)為.
故選：D.
二、填空題
13. 展開式中的項是_____________.
【答案】
【解析】依題意，展開式中的項是.
故答案為：
14. 若點A在焦點為F的拋物線上，且，點P為直線上的動點，則的最小值為_____________.
【答案】
【解析】拋物線的焦點，準線，設，
則，解得，顯然，不妨設，
關于直線的對稱點為，則
因此，當且僅當三點共線時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
15. 已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點T，則的最小值為_____________.
【答案】
【解析】令時，可得，
可知函數(shù)，且的圖象恒過定點，
因為定點在直線上，
可得，且，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
16. 已知三棱錐外接球直徑為SC，球的表面積為，且，則三棱錐的體積為______.
【答案】
【解析】設外接球半徑為，則，解得，故，
由于均在球面上，故，
由勾股定理得，
取的中點，連接，
則⊥，⊥，
，
又，平面，故⊥平面，
其中，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
故，
故，
故三棱錐的體積為
故答案為：.
三、解答題
（一）必考題
17. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.
解：（1）設等比數(shù)列的公比為，由及，
得，
解得，于是，即，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
18. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，，，且M，N分別為PD，AC的中點.
（1）求證：∥平面PBC；
（2）求平面MBC與平面PBC夾角的余弦值.
（1）證明：如圖，連接BD，由ABCD是平行四邊形，則有BD交AC于點N．
因為M，N分別為PD，BD的中點，則．
且平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）解：由題意可知：平面ABCD，且，
如圖，以A為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
可得，
設平面MBC的法向量，則，
令，則，可得；
設平面PBC的法向量，則，
令，則，可得；
則，
所以平面MBC與平面PBC夾角的余弦值為.
19. 乒乓球，被稱為中國的“國球”．某中學對學生參加乒乓球運動的情況進行調(diào)查，將每周參加乒乓球運動超過2小時的學生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取100份進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：
（1）補全列聯(lián)表，并判斷我們能否有把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關？
（2）為了解學生的乒乓球運動水平，現(xiàn)從抽取的“乒乓球愛好者”學生中按性別采用分層抽樣的方法抽取3人，與體育老師進行乒乓球比賽，其中男乒乓球愛好者獲勝的概率為，女乒乓球愛好者獲勝的概率為，每次比賽結(jié)果相互獨立，記這3人獲勝的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
參考公式：．
解：（1）依題意可得列聯(lián)表如下：
，
我們有的把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關；
（2）由（1）得抽取的3人中人為男生，人為女生，
則的可能取值為、、、，
所以，，
，，
所以的分布列為：
所以．
20. 已知雙曲線C：的離心率為，焦點到其漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．
解：（1）雙曲線C：的焦點坐標為，
其漸近線方程為，
所以焦點到其漸近線的距離為．
因為雙曲線C的離心率為，
所以，解得，所以雙曲線C的標準方程為．
（2）設，，
聯(lián)立，得，，
所以，．
由
，解得t＝1（負值舍去），所以，．
直線l：，所以原點O到直線l的距離為，
，
所以△OAB的面積為．
21. 已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
解：（1）依題意，函數(shù)的定義域為，
求導得，當且僅當時取等號，
即在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間.
（2）當時，恒成立，
令，求導得，
當時，，當時，，
即函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當時，，
令，依題意，，恒成立，
令，求導得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，
因此，所以實數(shù)m的取值范圍.
（二）選考題
【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】
22. 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.
（1）寫出直線和曲線的普通方程；
（2）若直線與曲線有公共點，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）因為l：，所以，
又因為，所以化簡為，
因為，整理得C的直角坐標方程：；
（2）聯(lián)立l與C的方程，
即在時有交點即可，
易知對稱軸為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：，
所以，故，
即m的取值范圍為.
【選修4—5：不等式選講】
23. 已知函數(shù)，．
（1）當時，解不等式；
（2）若對任意，都有成立，求a的取值范圍．
解：（1）當時，函數(shù)
由，即為，
等價于或或，
即或或，故或或．
故不等式的解集為．
（2）對任意x都成立，即恒成立，
因為絕對值三角不等式，
當且僅當時等號成立，
所以，即，或，解得．
所以的取值范圍為．乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
40
56
女
24
總計
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10828
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
40
16
56
女
20
24
44
總計
60
40
100
0
1
2
3