第11講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)--2025高考一輪單元綜合復(fù)習(xí)與測(cè)試卷

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1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．
②a的n次方根的表示：
xn＝a?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，當(dāng)n為奇數(shù)且n∈N*，n>1時(shí)，,x＝±\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)且n∈N*時(shí).))
(2)根式的性質(zhì)
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；
②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－eq \s\up6(\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義．
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)1 指數(shù)冪的運(yùn)算
[名師點(diǎn)睛]
1．對(duì)于指數(shù)冪的運(yùn)算，首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：
(1)必須是同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；
(2)運(yùn)算的先后順序．
2．當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)．
3．運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．
[典例]
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算；
（2）若，求的值．
【解】
（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù))．
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【解】（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式.
[舉一反三]
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算：.
【解】，
，
，
.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：.
【解】（1）原式；
（2）原式.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
【解】（1）將兩邊平方得，所以．
（2）將兩邊平方得，所以．
（3）由（1）（2）可得
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的值．
【解】設(shè)，則，所以，
于是，，
而，
將平方得，于是，
所以原式.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）分別計(jì)算下列數(shù)值：
（1）；
（2）已知，，求.
【解】（1）原式，
，
，
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
∴.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【解】
（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
考點(diǎn)2 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
1．對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．
2．有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解．
[典例]
1．（2022·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因?yàn)?，由圖得，
所以，所以排除AB，
因?yàn)橛蓤D象可知當(dāng)時(shí)，，
所以，所以排除C，
故選：D
2．（2022·北京·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)值為定值0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.
另解：因?yàn)榭梢杂上蛴移揭埔粋€(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，由過(guò)定點(diǎn)，所以過(guò)定點(diǎn).
故選：B
[舉一反三]
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
當(dāng)時(shí)，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.
故選：D
2．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】解：令，解得、，根據(jù)二次函數(shù)圖形可知，、兩個(gè)數(shù)一個(gè)大于，一個(gè)大于且小于，①當(dāng)，時(shí)，則在定義域上單調(diào)遞增，且，即，所以滿足條件的函數(shù)圖形為C；
②當(dāng)，時(shí)，則在定義域上單調(diào)遞減，且，所以滿足條件的函數(shù)圖形為A；
故選：AC
考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
1．比較指數(shù)式的大小的方法：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。?br>2．指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
3．涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．
[典例]
1．（2022·天津河西·一模）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以，
由，，所以，即，
所以.
故選：D
2．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，解得或，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，解得或，
因?yàn)?，所?
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.
故選：BC
3．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
，又，
恒成立；
②當(dāng)時(shí)，，，
又，恒成立；
③當(dāng)時(shí)，，，；
恒成立；
④當(dāng)時(shí)，，，，
，解得：，；
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為：.
4．（2022·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意的，，
對(duì)任意的，不等式恒成立，
即，即對(duì)任意的恒成立，
且為正數(shù)，則，可得，所以，，可得.
故選：A.
5．（2022·重慶市朝陽(yáng)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).
（1）求和的值；
（2）設(shè)，若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以得，
則，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù).
又是偶函數(shù)，
所以得，則，
經(jīng)檢驗(yàn)是偶函數(shù)，∴.
（2），，
則由已知得，存在，使不等式成立，
因?yàn)?，易知單調(diào)遞增，∴，
∴，∴.
所以，又，解得，
所以.
[舉一反三]
1．（2022·天津·一模）設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，，；
，，；
.
故選：C.
2．（2022·山西呂梁·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，故.
因?yàn)?，所?
又，所以.
綜上，
故選B.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得最小值，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函數(shù)在處取得最小值得，則且
當(dāng)時(shí)，又，
所以，得．
又，所以，
即，整理得，，解得．
綜上，.
故選：C．
4．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)，若存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】解：由，得，兩邊同除，
即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào),所以，所以.
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是________
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)是奇函數(shù)，并由解析式可知函數(shù)是增函數(shù)，原不等式可化為，所以，解得，故的取值范圍是．
故答案為：
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】由題意得：有解
令
有解，即有解，顯然無(wú)意義
,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，
故答案為：.
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）是定義在R上的偶函數(shù)，且.
（1）求的解析式；
（2）若函數(shù)在上的最小值是1，求m的值.
【解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以，
整理得，所以，
又因?yàn)?，可得?br>所以或，
所以.
（2）由（1）可知
令，則.
因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)上的最小值是1，
所以函數(shù)在上的最小值是1.
當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
綜上，.
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)且．
（1）求的值；
（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解】
解：（1）對(duì)于函數(shù)，由，
解得，故．
（2）若函數(shù) 有零點(diǎn)，
則函數(shù)的圖象和直線有交點(diǎn)，，解得．
（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立．
令，則，且．
由于 在上單調(diào)遞減，，．即
9．（2022·北京·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)，如果滿足:對(duì)任意存在常數(shù)都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)﹐請(qǐng)說(shuō)明理由﹔
（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解】（1）當(dāng)時(shí)，，
令由，
可得，
令，
有，
可得函數(shù)的值域?yàn)?br>故函數(shù)在上不是有界函數(shù);
（2）由題意有，當(dāng)時(shí)，
可化為
必有且，
令，由，可得，
由恒成立，可得，
令，
可知函數(shù)為減函數(shù)，有，
由恒成立，
可得
故若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
y＝ax
(a>0且
a≠1)
a>1
01；
當(dāng)x