2024年廣東省廣州市中考模擬數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案．
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. 0B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查無(wú)理數(shù)估算及實(shí)數(shù)比較大小，根據(jù)選項(xiàng)中所給四個(gè)數(shù)，運(yùn)用實(shí)數(shù)比較大小的方法求解即可得到答案，熟記實(shí)數(shù)比較大小的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，即選項(xiàng)中最小的數(shù)是，
故選：C．
2. 蘇步青是國(guó)際公認(rèn)的幾何學(xué)家，中國(guó)著名教育家，中國(guó)科學(xué)院院士，是我國(guó)微分幾何學(xué)派的創(chuàng)始人．為紀(jì)念其卓越貢獻(xiàn)，國(guó)際上將一顆距地球約公里的行星命名為“蘇步青星”．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
科學(xué)記數(shù)法表現(xiàn)形式為，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于時(shí)，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于時(shí)，是負(fù)整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定及的值．
【詳解】解：數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，
故選：B．
3. 九（1）班三名同學(xué)進(jìn)行唱歌比賽，原定出場(chǎng)順序是：甲第一個(gè)出場(chǎng)，乙第二個(gè)出場(chǎng)，丙第三個(gè)出場(chǎng)，后來(lái)要求這三名同學(xué)用抽簽方式重新確定出場(chǎng)順序，則抽簽后每個(gè)同學(xué)的出場(chǎng)順序都發(fā)生變化的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖成為解題的關(guān)鍵．
首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽簽后每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的出場(chǎng)順序都發(fā)生變化的情況，再利用概率公式即可解答．
【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：
∵共有6種等可能的結(jié)果，抽簽后每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的出場(chǎng)順序都發(fā)生變化有2種情況，
∴抽簽后每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的出場(chǎng)順序都發(fā)生變化的概率=．
故答案為：．
4. 若，則的值為（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪的乘方的逆應(yīng)用，同底數(shù)冪的除法的逆應(yīng)用，解答即可，本題考查了冪的乘方的逆應(yīng)用，同底數(shù)冪的除法的逆應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】，
故，
故選A．
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，建立二元一次方程組，求解出的值，再根據(jù)各象限點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：，
，
解得：，
位于第二象限，
故選：B．
6. 下列幾何體均是由若干個(gè)大小相同的小正方體搭建而成的，其三視圖都相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別畫(huà)出每個(gè)選項(xiàng)的三視圖，再進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：選項(xiàng)A的三視圖為，三視圖不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)B的三視圖為，三視圖不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)C的三視圖為，三視圖不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)C的三視圖為，三視圖相同，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．
7. 如圖，、是的切線，B、C為切點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的半徑長(zhǎng)為（ ）
A 1.5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，由切線的性質(zhì)得，而，可求得，，所以，則，于是得到問(wèn)題的答案．
【詳解】解：連接，
∵是的切線，B、C為切點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半徑長(zhǎng)為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
8. 若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則的值是（ ）
A B. 3C. D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定的整數(shù)部分x與小數(shù)部分y的值是關(guān)鍵．首先根據(jù)的整數(shù)部分，確定的整數(shù)部分x的值，則y即可確定，然后代入所求解析式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴，即，
∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
∴
．
故選：B．
9. 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長(zhǎng)a，b，c求三角形面積的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，則b邊上的高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．根據(jù)題意把，，代入求得的面積，再利用面積公式即可求解．
【詳解】解：由題意得，，，，
，
∴b邊上的高為，
故選：A．
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為雅系點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)雅系點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)及根的判別式等知識(shí)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題的關(guān)鍵．
解二次函數(shù)與直線的方程，由得，方程的根為，從而求出，所以函數(shù)解析式為，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)與縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．
【詳解】解：令，即，
由題意，，即，
又方程的根為，
解得，
故函數(shù)是
∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為，
與y軸交點(diǎn)為，由對(duì)稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)，
由于函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，
且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，
∴，
故選：C．
．
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11. 已知二元一次方程組，則的值為_(kāi)_________．
【答案】4
【解析】
【分析】此題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．對(duì)于方程組，將①②即可得出的值．
【詳解】解：對(duì)于方程組，
①②得：．
故答案為：4．
12. 將拋物線先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，那么所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移變換，二次函數(shù)平移后二次項(xiàng)系數(shù)不變，熟練掌握平稱原則是關(guān)鍵；注意左右與上下平移的不同，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．根據(jù)左加，右減，上加，下減的原則寫(xiě)出平移后的拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：由題意得：平移后的拋物線的解析式為：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
13. 如圖，在中，，，．是邊上一點(diǎn)，且，連接，以點(diǎn)為圓心， 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形，三角形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用扇形的面積公式解答．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，求出，得出和關(guān)于對(duì)稱，得出，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，如圖所示：
，，，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴和關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
14. 若關(guān)于x的方程的兩根，滿足，則二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系得到，根據(jù)二次函數(shù)，得到 時(shí)，y隨x的增大而減小，根據(jù)在對(duì)稱軸的左側(cè)，，得到當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值是．
【詳解】∵關(guān)于x的方程的兩根，滿足，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)，
∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，圖象開(kāi)口向上，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵在對(duì)稱軸的左側(cè)，，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)距對(duì)稱軸最近，頂點(diǎn)最高，此時(shí)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)取得最大值，
∴,
∴，
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程．熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性，增減性，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與方程的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15. 已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則的值為_(kāi)_____．
【答案】497
【解析】
【分析】本題考查了利用完全平方公式變形進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)題意得出，再將變形為，代入求解即可．
【詳解】解：，，
，
．
故答案為：497．
16. 如圖所示，四邊形是平行四邊形，其中，垂足為，若，，，則 ______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明并且求得是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)得，，，由，，則，，所以，則，所以，于是得到問(wèn)題的答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：．
17. 如圖，在中，，，，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊上，連接，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】或3
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，先利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)P點(diǎn)作于E點(diǎn)，于F點(diǎn)，計(jì)算，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到，接著證明四邊形為矩形，得出，然后在中利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系可求出的長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)P點(diǎn)作于E點(diǎn)，在中，先求出，則，接著證明四邊形為矩形得到，然后計(jì)算即可，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)P點(diǎn)作于E點(diǎn)，于F點(diǎn)，
在中，
∵，
∴，
∵線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊上，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)P點(diǎn)作于E點(diǎn)，
在中，
∵，
∴，
∵線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊上，
∴ ，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
綜上所述，的長(zhǎng)為或3．
故答案為：或3．
三、解答題（一）：本答題共3小題，每小題6分，共18分．
18. 解不等式組：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：
19. 為增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校計(jì)劃建立小記者站，有20名學(xué)生報(bào)名參加選拔．報(bào)名的學(xué)生需參加采訪、寫(xiě)作、攝影三項(xiàng)測(cè)試，每項(xiàng)測(cè)試均由七位評(píng)委打分（滿分100分），取平均分作為該項(xiàng)的測(cè)試成績(jī)，再將采訪、寫(xiě)作、攝影三項(xiàng)的測(cè)試成績(jī)按的比例計(jì)算出每人的總評(píng)成績(jī)．嘉嘉、淇淇的三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)和總評(píng)成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>（1）在攝影測(cè)試中，七位評(píng)委給淇淇打出的分?jǐn)?shù)為：67，72，68，69，74，69，71，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 分，平均數(shù)是 分；
（2）報(bào)名的20名學(xué)生的總評(píng)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖，學(xué)校決定根據(jù)總評(píng)成績(jī)擇優(yōu)選拔12名小記者，試分析嘉嘉、淇淇能否入選．
【答案】（1）69，70
（2）淇淇能入選，嘉嘉不一定能入選，見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了頻數(shù)(率)分布直方圖，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法．
（1）分別根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義即可求出答案；
（2）根據(jù)20名學(xué)生的總評(píng)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：將從小到大排序，67，68，69，69，71，72，74，
處于中間位置的是69，故中位數(shù)是69，
平均數(shù)為．
故答案為：69，70．
【小問(wèn)2詳解】
解：結(jié)論：淇淇能入選，嘉嘉不一定能入選，理由如下：
淇淇總評(píng)成績(jī)，
由頻數(shù)直方圖可得，總評(píng)成績(jī)不低于80分的學(xué)生有10名，總評(píng)成績(jī)不低于70分且小于80分的學(xué)生有6名．
淇淇和嘉嘉的總評(píng)成績(jī)分別是82分，78分，
學(xué)校要選拔12名小記者，淇淇的成績(jī)?cè)谇?2名，因此淇淇一定能入選；
嘉嘉的成績(jī)不一定在前12名，因此嘉嘉不一定能入選．
20. 如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，于點(diǎn)D，，．
（1）求證：；
（2）求的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等，角平分線性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，可證得，即是的平分線，又，，即可得到結(jié)果；
（2）證明，得到，設(shè)，則，在中利用勾股定理即可求解，的面積由此得解；
【小問(wèn)1詳解】
證明：
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，即是的平分線．
∵，，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴，
由（1）可知，，又，
∴，
∴
設(shè)，則，
∴由勾股定理可得：
，即，
解得：
∴
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分．
21. 如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形，三角形面積，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．
（1）先通過(guò)一次函數(shù)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象求出，再根據(jù)求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：把代入，
得，
解得：，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：把代入得：，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
把代入，
得，
解得：，
∴，
，
，
，
，
∴，
當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí)，則，解得，
當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，則，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
22. “端午節(jié)”期間，某超市銷售甲、乙兩款粽子，甲、乙兩款粽子的進(jìn)價(jià)分別是每袋35元，45元，這個(gè)超市用4300元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款粽子共100袋
（1）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款粽子各是多少袋？
（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：乙款粽子每天的銷售量m(袋)與銷售單價(jià)n(元)滿足如下關(guān)系：，設(shè)乙款粽子每天的銷售利潤(rùn)是w元，當(dāng)乙款粽子的銷售單價(jià)是多少元時(shí)，乙款粽子的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款粽子各是20袋，80袋
（2）當(dāng)乙款粽子的銷售單價(jià)是75元時(shí)，乙款粽子的銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是900元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款粽子各是袋，袋，根據(jù)題意列出方程組求解即可；
（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款粽子各是袋，袋，
根據(jù)題意得：
解得：
答：購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款粽子各是20袋，80袋．
【小問(wèn)2詳解】
解：
，
∴對(duì)稱軸為，
∵拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)元時(shí)，最大（元）
答：當(dāng)乙款粽子的銷售單價(jià)是75元時(shí)，乙款粽子的銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是900元．
23. 如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為16的正方形紙片，將其沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
【答案】．
【解析】
【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)，連接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)，
連接，，如圖所示：
四邊形是正方形，
，，
，
，
在中，，
在中，，
由折疊的性質(zhì)得：，
，
即，
解得：，
即．
五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題10分，共20分．
24. 如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、．
（1）求證：；
（2）求：經(jīng)過(guò)多少秒四邊形是矩形；
（3）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，并求出此時(shí)四邊形的面積；如果不能，說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）經(jīng)過(guò)秒四邊形是矩形；
（3）能，，面積
【解析】
【分析】（1）由，，證出；
（2）當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，為直角三角形且，求出的值即可；
（3）先證明四邊形為平行四邊形．得出，，若四邊形為菱形，得出，，求出的值即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：在中，，，，
．
又，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：時(shí)，四邊形為矩形．
在中，，
．即，
．
答：經(jīng)過(guò)秒四邊形是矩形；
【小問(wèn)3詳解】
解：能；理由如下：
，，
∴．
又，
四邊形為平行四邊形．
，，
，
，
若平行四邊形為菱形，則，
，
；
當(dāng)時(shí)，四邊形能夠成為菱形．
此時(shí)，，
，
此時(shí)四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)；考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．
25. 已知拋物線的頂點(diǎn)在第一象限．
（1）如圖（1），若，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C．
①求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
②D是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接，若恰好平分四邊形的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖（2），P是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，T是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，M，N是x軸下方拋物線上的兩點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形，且，求的最大值．
【答案】（1）①，；②點(diǎn)D為；
（2）的最大值是．
【解析】
【分析】（1）①先求出拋物線的解析式，再把代入方程，即可求解；
②連接交于點(diǎn)E，分別過(guò)點(diǎn)B，C作的垂線，垂足分別為F，G，證明，得出，再由中點(diǎn)公式求出地E的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)求得所在的直線的解析式，再聯(lián)立拋物線的解析式即可求解出點(diǎn)D；
（2）過(guò)點(diǎn)N作軸，垂足為H，可得，設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入拋物線解析式進(jìn)而可求出t的取值范圍，進(jìn)而即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為，
①當(dāng)時(shí)，，解得，，
∴，．
②連接交于點(diǎn)E，分別過(guò)點(diǎn)B，C作的垂線，垂足分別為F，G，如圖所示：
由題意，得，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，由，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
求得的解析式為，
由，得，
解得，（舍去），
∴點(diǎn)D為；
【小問(wèn)2詳解】
解：過(guò)點(diǎn)N作軸，垂足為H，
∵P是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，
∴，
∵T是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，
∴設(shè)．
∵，且，
∴，，
兩式相加，得，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理為關(guān)于m的方程為，
由題意，得，
解得，
此時(shí)關(guān)于m的方程的兩根之和，
當(dāng)時(shí)，m必有正根，
∴的最大值是．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．
選手
測(cè)試成績(jī)/分
總評(píng)成績(jī)/分
采訪
寫(xiě)作
攝影
嘉嘉
83
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78
淇淇
86
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