2024年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市中考數(shù)學(xué)試題

這是一份2024年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市中考數(shù)學(xué)試題，共36頁。
2．答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號、考生號填寫在答題卡的相應(yīng)位置上，并仔細閱讀答題卡上的“注意事項”．
3．答題時，請將答案填涂在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（每小題給出的選項中只有一個符合題意，請將符合題意的選項序號，在答題卡的對應(yīng)位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）
1. 在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 央視新聞年月日報道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計發(fā)電超度，為我國經(jīng)濟社會綠色發(fā)展提供了強勁動能．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
3. 將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則的大小為（ ）

A. B. C. D.
4. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過程中，下列說法錯誤的是（ ）
A. 為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50
B. 了解某校一個班級學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查
C. 了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲
6. 解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 某市為了解初中學(xué)生的視力情況，隨機抽取200名初中學(xué)生進行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如下表．根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計該市16000名初中學(xué)生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（ ）
A. 120B. 200C. 6960D. 9600
9. 等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（ ）
A. 或B. 或C. D.
10. 如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
11. 用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
12. 如圖，中，，．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點與點B是對應(yīng)點，點與點C是對應(yīng)點．若點恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
13. 如圖，數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)，若，則下列運算結(jié)果一定是正數(shù)的是（ ）

A. B. C. D.
14. 如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（請把答案填寫在答題卡對應(yīng)的橫線上．每小題3分，共12分）
15. 請寫出一個比小的整數(shù)_____________
16. 因式分解：______．
17. 綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹高度．如圖，點C處與古樹底部A處在同一水平面上，且米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的俯角為，古樹底部A的俯角為，則古樹AB的高度約為________米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）．
18. 編號為A，B，C，D，E的五臺收割機，若同時啟動其中兩臺收割機，收割面積相同的田地所需時間如下表：
則收割最快的一臺收割機編號是________．
三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效，解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）
19. （）計算：；
（）已知，求代數(shù)式的值．
20. 如圖，在中，D是中點．
（1）求作：的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若l交于點E，連接并延長至點F，使，連接．補全圖形，并證明四邊形是平行四邊形．
21. 某校田徑隊為了調(diào)動隊員體育訓(xùn)練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊員進行獎勵．為確定一個適當(dāng)?shù)某煽兡繕?，進行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊員的成績，數(shù)據(jù)如下：
整理、描述數(shù)據(jù)
分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表：
解決問題
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，你認為成績目標應(yīng)定為______分，如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應(yīng)定為______分；
（3）學(xué)校要從91分的A，B，C，D四名隊員中，隨機抽取兩名隊員去市里參加系統(tǒng)培訓(xùn)．請利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率．
22. 一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復(fù)公路比甲隊平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊單獨修復(fù)60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復(fù)90千米公路所需要的時間相等．
（1）求甲、乙兩隊平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；
（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復(fù)公路多少千米？
23. 在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當(dāng)點，滿足時，稱點是點的等和點．
（1）已知點，在，，中，是點等和點有_____；
（2）若點的等和點在直線上，求的值；
（3）已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標．
24. 如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
25. 如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決．
（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；
（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）．
26. 數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在中，，點D是上的一個動點，過點D作于點E，延長交延長線于點F．
請你解決下面各組提出的問題：
（1）求證：；
（2）探究與的關(guān)系；
某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
請你繼續(xù)探究：
①當(dāng)時，直接寫出的值；
②當(dāng)時，猜想值（用含m，n的式子表示），并證明；
（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過點F作，垂足為點P，連接，得到圖2，當(dāng)點D運動到使時，若，直接寫出值（用含m，n的式子表示）
2024年赤峰市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試試卷數(shù)學(xué)
溫馨提示：
1．本試卷卷面分值150分，共8頁，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號、考生號填寫在答題卡的相應(yīng)位置上，并仔細閱讀答題卡上的“注意事項”．
3．答題時，請將答案填涂在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（每小題給出的選項中只有一個符合題意，請將符合題意的選項序號，在答題卡的對應(yīng)位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）
1. 在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】A．是軸對稱圖形，故A符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故B不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，故C不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2. 央視新聞年月日報道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計發(fā)電超度，為我國經(jīng)濟社會綠色發(fā)展提供了強勁動能．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法：（，為正整數(shù)），先確定的值，再根據(jù)小數(shù)點移動的數(shù)位確定的值即可解答，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法確定和的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選：．
3. 將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了三角板中角度計算問題，由題意得，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：如圖所示：

由題意得：
∴
故選：B．
4. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，合并同類項，冪的乘方．根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式，合并同類項，冪的乘方的運算法則，可得答案．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、，故此選項不符合題意；
D、，故此選項符合題意．
故選：D．
5. 在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過程中，下列說法錯誤的是（ ）
A. 為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50
B. 了解某校一個班級學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查
C. 了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、判斷事件發(fā)生的可能性、根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性，根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義、方差的意義逐項判斷即可得出答案．
【詳解】解：A、為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50，說法正確，本選項不符合題意；
B、了解某校一個班級學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查，說法正確，本選項不符合題意；
C、了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性，說法正確，本選項不符合題意；
D、甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是乙，故原說法錯誤，符合題意；
故選：D．
6. 解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．
【詳解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式組的解集為：，
在數(shù)軸上表示為：
故選：C．
7. 如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，直線相交于點，則，
∵正多邊形的每個內(nèi)角相等，
∴正多邊形的每個外角也相等，
∴，
∴，
故選：．
8. 某市為了解初中學(xué)生的視力情況，隨機抽取200名初中學(xué)生進行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如下表．根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計該市16000名初中學(xué)生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（ ）
A. 120B. 200C. 6960D. 9600
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是統(tǒng)計表，用樣本估計總體，求出不低于4.8的人數(shù)所占的百分比是解決此題的關(guān)鍵．求出不低于4.8的人數(shù)所占的百分比再乘16000即可求出結(jié)論．
【詳解】解：，
∴視力不低于4.8的人數(shù)是9600，
故選：D．
9. 等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為，腰長為，進而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，
∴這個三角形的周長為，
故選：．
10. 如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵半徑，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
11. 用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，再利用現(xiàn)需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板分別得出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，
由題意得：，
故選：C．
12. 如圖，中，，．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點與點B是對應(yīng)點，點與點C是對應(yīng)點．若點恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∴，
①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是；①說法正確；
②∵，∴；②說法正確；
③∵，
∴，
∴；③說法正確；
④∵，，
∴，
∴．④說法正確；
綜上，①②③④都是正確的，
故選：A．
13. 如圖，數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)，若，則下列運算結(jié)果一定是正數(shù)的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、數(shù)軸、正數(shù)和負數(shù)、絕對值等知識點，得到，且是解題的關(guān)鍵．
數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)，則、，由可得原點在A、M之間，由它們的位置可得，，且，再根據(jù)整式的加減乘法運算的計算法則逐項判斷即可．
【詳解】解：數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù),
∴、，
∵，
∴原點在A，M之間，由它們的位置可得，且，
∴，，，
故運算結(jié)果一定是正數(shù)的是．
故選：A．
14. 如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．
【詳解】解：如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點、的橫坐標分別為、，
，．
，，，
設(shè)，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點、在軸的同側(cè)，且點在點的右側(cè)，
．
．
故選：B．
二、填空題（請把答案填寫在答題卡對應(yīng)的橫線上．每小題3分，共12分）
15. 請寫出一個比小的整數(shù)_____________
【答案】1（或2）
【解析】
【詳解】試題分析：先估算出在哪兩個整數(shù)之間，即可得到結(jié)果．
，
滿足條件的數(shù)為小于或等于2的整數(shù)均可.
考點：本題考查的是無理數(shù)的估算
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數(shù)是常用的估算無理數(shù)的方法．
16. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了綜合利用提公因式法和公式法分解因式，正確掌握因式分解方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）是解題的關(guān)鍵．
17. 綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹的高度．如圖，點C處與古樹底部A處在同一水平面上，且米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的俯角為，古樹底部A的俯角為，則古樹AB的高度約為________米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過點D作，由題意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函數(shù)求出的值，根據(jù)計算求解可得的值．
【詳解】解：如圖，過點D作，交的延長線于點M，
∴四邊形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古樹的高度約為米．
故答案為：．
18. 編號為A，B，C，D，E五臺收割機，若同時啟動其中兩臺收割機，收割面積相同的田地所需時間如下表：
則收割最快的一臺收割機編號是________．
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查推理能力．利用同時啟動其中的兩臺收割機，收割面積相同的田地所需時間分析對比，能求出結(jié)果．
【詳解】解：同時啟動A，B兩臺收割機，所需的時間為23小時，
同時啟動B，C兩臺收割機，所需的時間為19小時，
得到C比A快；
同時啟動B，C兩臺收割機，所需的時間為19小時，
同時啟動C，D兩臺收割機，所需時間為20小時，
得到B比D快；
同時啟動A、B兩臺收割機，所需的時間為23小時，
同時啟動A，E兩臺收割機，所需的時間為18小時，
得到E比B快；
同時啟動C，D兩臺收割機，所需的時間為20小時，
同時啟動D，E兩臺收割機，所需的時間為22小時，
得到C比E快．
綜上，收割最快的一臺收割機編號是C．
故答案為：C．
三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無效，解答時要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．共8題，滿分96分）
19 （）計算：；
（）已知，求代數(shù)式的值．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別運算，再合并即可求解；
（）由得，化簡代數(shù)式可得，代入計算即可求解；
本題考查了實數(shù)的混合運算，代數(shù)式化簡求值，掌握實數(shù)和整式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（）原式
，
；
（）∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
20. 如圖，在中，D是中點．
（1）求作：的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若l交于點E，連接并延長至點F，使，連接．補全圖形，并證明四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定．
（1）利用尺規(guī)作圖作出線段的垂直平分線l即可；
（2）由D，E分別為，的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到，，結(jié)合，得到，即可證明結(jié)論成立．
【小問1詳解】
解：直線l如圖所示，
；
【小問2詳解】
證明：補全圖形，如圖，
由（1）作圖知，E為的中點，
∵D，E分別為，的中點，
∴，，
∵，即：，
∴，
∵，
∴ 四邊形是平行四邊形．
21. 某校田徑隊為了調(diào)動隊員體育訓(xùn)練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊員進行獎勵．為確定一個適當(dāng)?shù)某煽兡繕耍M行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊員的成績，數(shù)據(jù)如下：
整理、描述數(shù)據(jù)
分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表：
解決問題
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，你認為成績目標應(yīng)定為______分，如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應(yīng)定為______分；
（3）學(xué)校要從91分的A，B，C，D四名隊員中，隨機抽取兩名隊員去市里參加系統(tǒng)培訓(xùn)．請利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率．
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80 （3）A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率為．
【解析】
【分析】本題主要考查畫樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，統(tǒng)計表，眾數(shù)和中位數(shù)的意義．
（1）根據(jù)統(tǒng)計表直接寫出a和b的值，根據(jù)眾數(shù)的意義可求解c的值；
（2）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的意義即可求解；
（3）畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示出來，再運用概率公式即可求解．
【小問1詳解】
解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)知；；
出現(xiàn)最多的是75分，有5人，眾數(shù)為75分，則；
故答案為：5；2；75；
【小問2詳解】
解：∵由統(tǒng)計圖可知中位數(shù)為78分，
∴如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，成績目標應(yīng)定為78分，
如果想確定一個較高的目標，成績目標應(yīng)定為80分，
因為在樣本的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)中，平均數(shù)最大，
可以估計，如果成績目標定為80分，努力一下都能達到成績目標．
故答案為：78；80；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖表示所有等可能結(jié)果如圖所示，
共有種等可能結(jié)果，A，B兩名隊員恰好同時被選中的情況有種，
∴A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率為，
答：A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率為．
22. 一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復(fù)公路比甲隊平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊單獨修復(fù)60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復(fù)90千米公路所需要的時間相等．
（1）求甲、乙兩隊平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；
（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復(fù)公路多少千米？
【答案】（1）甲隊平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊平均每天修復(fù)公路9千米；
（2）15天的工期，兩隊最多能修復(fù)公路千米．
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）設(shè)甲隊平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊平均每天修復(fù)公路千米，根據(jù)“甲隊單獨修復(fù)60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復(fù)90千米公路所需要的時間相等”列分式方程求解即可；
（2）設(shè)甲隊的工作時間為天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復(fù)公路千米，求得關(guān)于的一次函數(shù)，再利用“甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求得的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲隊平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊平均每天修復(fù)公路千米，
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲隊平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊平均每天修復(fù)公路9千米；
小問2詳解】
解：設(shè)甲隊的工作時間為天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復(fù)公路千米，
由題意得，
，
解得，
∵，
∴隨的增加而減少，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，
答：15天的工期，兩隊最多能修復(fù)公路千米．
23. 在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當(dāng)點，滿足時，稱點是點的等和點．
（1）已知點，在，，中，是點等和點的有_____；
（2）若點的等和點在直線上，求的值；
（3）已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標．
【答案】（1）和；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根據(jù)等和點的定義判斷即可求解；
（）設(shè)點的橫坐標為，根據(jù)等和點的定義得點的縱坐標為，即可得點的坐標為，把點的坐標代入即可求解；
（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標為，點的橫坐標為，即得，得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點的橫坐標為，根據(jù)等和點的定義得，代入得，解方程得，，據(jù)此即可求解；
本題考查了點的坐標新定義運算，一次函數(shù)點的坐標特征，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，理解等和點的定義是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：由，得，，
∴點是點的等和點；
由，得，，，
∵，
∴不是點的等和點；
由，得，，
∴是點的等和點；
故答案為：和；
【小問2詳解】
解：設(shè)點的橫坐標為，
∵點是點的等和點，
∴點的縱坐標為，
∴點的坐標為，
∵點在直線上，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標為，點的橫坐標為，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為，
設(shè)，點的橫坐標為，
∵點是點的等和點，
∴點的縱坐標為，
∴，
∵點在直線上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴點的坐標為或．
24. 如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，延長，交于點，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；
（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進一步求出
【小問1詳解】
證明：連接，延長，交于點，連接如圖，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直徑，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決．
（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；
（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）．
【答案】（1）
（2）①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)，理由見解析
（3）這條鋼架的長度為米
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標為，且過點，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計算求出a的值即可；
（2）①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點為，即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點的坐標，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意可得點的縱坐標為4，令中，求出符合實際的x值，得到點M的坐標，求出所在直線的解析式為，設(shè)這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點H與點O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標為，且過點，
設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，
將代入，得：，即，
，
水滑道所在拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點B成中心對稱，
則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標與拋物線的頂點坐標關(guān)于點成中心對稱，
，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標為，即，
∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；
由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，
令，則，即
或（舍去，不符合題意），
點，
，
，
，
此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)；
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意可得點的縱坐標為4，
令，即，
（舍去，不符合題意）或，
，
設(shè)所在直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
所在直線的解析式為，
如圖，設(shè)這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，
這條鋼架與平行，
設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，
聯(lián)立，即，
整理得：，
該鋼架與水滑道有唯一公共點，
，
即該鋼架所在直線的解析式為，
點H與點O重合，
，，，
，
這條鋼架的長度為米．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點的坐標的求法，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想．
26. 數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在中，，點D是上的一個動點，過點D作于點E，延長交延長線于點F．
請你解決下面各組提出的問題：
（1）求證：；
（2）探究與的關(guān)系；
某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
請你繼續(xù)探究：
①當(dāng)時，直接寫出的值；
②當(dāng)時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；
（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過點F作，垂足為點P，連接，得到圖2，當(dāng)點D運動到使時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）見解析 （2）①②，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）等邊對等角，得到，等角的余角的相等，結(jié)合對頂角相等，得到，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)給定的信息，得到是的2倍，即可得出結(jié)果；
②猜想，作于點，證明，得到，三線合一得到，即可得出結(jié)論；
（3）過點作，角平分線的性質(zhì)，得到，推出，等角的余角相等，得到，進而得到，得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：①當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴總結(jié)規(guī)律得：是的2倍，
∴當(dāng)時，；
②當(dāng)時，猜想，
證明：作于點，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
【小問3詳解】
，理由如下：
過點作，
∵，，
∴，
由（2）知，當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵
視力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人數(shù)
39
41
33
40
47
收割機編號
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需時間（小時）
23
19
20
22
18
收集數(shù)據(jù)
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成績/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人數(shù)/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
80
c
78
視力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人數(shù)
39
41
33
40
47
收割機編號
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需時間（小時）
23
19
20
22
18
收集數(shù)據(jù)
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成績/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人數(shù)/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
80
c
78