第08講 直線的傾斜角與斜率（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

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題型一：直線的傾斜角與斜率定義
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
題型五：直線平行
題型六：直線垂直
題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角
平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．
規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、要清楚定義中含有的三個(gè)條件
①直線向上方向；
②軸正向；
③小于的角．
2、從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．
3、傾斜角的范圍是．當(dāng)時(shí)，直線與x軸平行或與x軸重合．
4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對(duì)應(yīng)．
5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．
知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜率
1、定義：
傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，，；
(2)直線與x軸垂直時(shí)，，k不存在．
由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系
由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．
知識(shí)點(diǎn)三：斜率公式
已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：
(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；
(2)與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；
(3)斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；
(4)當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；
(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．
2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：
(1)由、點(diǎn)的坐標(biāo)求的值；
(2)已知及中的三個(gè)量可求第四個(gè)量；
(3)已知及、的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求；
(4)證明三點(diǎn)共線．
知識(shí)點(diǎn)四：兩直線平行的條件
設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為．若，則與的傾斜角與相等．由，可得，即．
因此，若，則．
反之，若，則．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；
2、當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則．
知識(shí)點(diǎn)五：兩直線垂直的條件
設(shè)兩條直線的斜率分別為．若，則．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；
2、當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直．
【典例例題】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
例1．(2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末)直線的傾斜角為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，因此，該直線的傾斜角為.
故選：A.
例2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))對(duì)于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】對(duì)于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；
對(duì)于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時(shí)沒有斜率，所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因?yàn)閮A斜角為時(shí)沒有斜率，所以③正確；④錯(cuò)誤；
其中正確說法的個(gè)數(shù)為2.
故選：B.
例3．(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
設(shè)直線的傾斜角為，，則，，
夾角為，故或.
故選：C.
例4．(2023·江蘇南京·高二南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？计谥?直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由已知可得直線的斜率，
又，所以傾斜角是，
故選：B.
例5．(2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥?已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，該直線的傾斜角為( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，
所以直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所以?br>故選：C.
例6．(2023·湖南郴州·高二?？计谥?直線n的傾斜角為150°，則它的斜率k＝( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】它的斜率k＝.
故選：B
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
例7．(2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中)已知直線過，兩點(diǎn)，且傾斜角為，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€過，兩點(diǎn)，且傾斜角為，
所以，解得，
故選：C.
例8．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若如圖中的直線的斜率為，則( )

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)直線的傾斜角分別為，顯然，且，
所以，
又在上單調(diào)遞增，故，
所以.
故選：C
例9．(2023·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥?直線的傾斜角的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知,若 a = 0 ,則傾斜角為,
若,則,
①當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，
②當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，
，故，
綜上，，
故選：C.
例10．(2023·安徽六安·高二校考階段練習(xí))若過點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€的斜率，
又因?yàn)橹本€的傾斜角為銳角，
所以，解得.
故選：C
例11．(2023·山東青島·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知直線的斜率為,則的傾斜角為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解:因?yàn)樾甭蕿?1,設(shè)直線傾斜角為,,
所以,即.
故選:D
例12．(2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末)若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，即，則；
當(dāng)時(shí)，即，則，
所以直線的傾斜角為或.
故選：C.
題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)
例13．(2023·青海西寧·高二統(tǒng)考期末)經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．
故選：C.
例14．(2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知，，則直線的斜率為( )
A．B．C．D．7
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，所以線的斜率為.
故選：B.
例15．(2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀?已知直線斜率等于，則該直線的傾斜角為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)該直線的傾斜角為，則
由，得，又，所以.
故選：D.
例16．(2023·廣東汕尾·高二華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí))若過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為150°，則的值為( )
A．B．0C．D．3
【答案】B
【解析】因?yàn)檫^兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為150°，
所以直線斜率為 ，即，
解得.
故選：B.
例17．(2023·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí))若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，且其傾斜角為135°，則m的值為( )
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為，
又直線的傾斜角為135°，∴，解得．
故選：D
例18．(2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末)設(shè)為實(shí)數(shù)，已知過兩點(diǎn)，的直線的斜率為，則的值為( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】因?yàn)檫^兩點(diǎn)，的直線的斜率為，
所以，解得.
故選：C
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
例19．(2023·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直線的斜率分別為,
結(jié)合圖形可知：直線過點(diǎn)且與線段相交時(shí)，，
故選：B
例20．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)已知、，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：
設(shè)直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，
當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(不包括點(diǎn))時(shí)，直線的傾斜角逐漸增大，
此時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的傾斜角逐漸增大，此時(shí).
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：D.
例21．(2023·安徽滁州·高二?？计谥?已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由斜率公式可得，得，
由圖像可知，
當(dāng)介于之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為，
當(dāng)介于之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為 ，
所以直線的斜率的取值范圍為，
故選：D．
例22．(2023·廣東肇慶·高二?？计谥?已知兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題意：如下圖所示：
所以，，則，
若直線的傾斜角，則，所以，
故選：.
例23．(2023·江蘇連云港·高二?？计谀?經(jīng)過點(diǎn)作直線，且直線與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題知，直線的傾斜角為，則，
，，
且直線與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，
如下圖所示，
則，即，
.
故選：B
例24．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谀?已知、，直線過定點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是( )
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，其中，
所以，.
故選：A.
題型五：直線平行
例25．(2023·上海浦東新·高二?？计谀?已知直線l1：x＋my－2m－2＝0，直線l2：mx＋y－1－m＝0，當(dāng)時(shí)，m＝_________
【答案】1
【解析】因?yàn)?，且斜率一定存在，所以，即?br>又因?yàn)?，為兩條不同的直線，所以，所以
故答案為：1
例26．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線與的位置關(guān)系是______．
【答案】平行或重合
【解析】由已知，得，，
，但直線在y軸上的截距不確定，
直線與的位置關(guān)系是平行或重合．
故答案為：平行或重合．
例27．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線的傾斜角為，直線過，，則直線與的位置關(guān)系為______.
【答案】平行或重合
【解析】傾斜角為 的斜率
過點(diǎn)， 的斜率
與平行或重合
本題正確結(jié)果：平行或重合
例28．(2023·云南臨滄·高二?？茧A段練習(xí))已知直線：，：.當(dāng)時(shí)，___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，則需滿足，解得，
故答案為：
例29．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))已知兩條直線和互相平行，則正數(shù)a的值為____.
【答案】2
【解析】根據(jù)兩條直線的方程可以得出它們的斜率分別是，;
因?yàn)閮蓷l直線平行，所以有，解得或.
又因?yàn)椋?經(jīng)檢驗(yàn)符合題意
故答案為：2.
例30．(2023·上海靜安·高二?？计谥?已知直線，，若，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€，，且,
所以，解得或，
當(dāng)直線，，兩直線重合，故舍去.
故答案為：
題型六：直線垂直
例31．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是______．
【答案】垂直
【解析】①當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)和點(diǎn)，
直線過點(diǎn)和點(diǎn)，
此時(shí)直線的斜率，直線的斜率不存在，因此；
②當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)
和點(diǎn)．此時(shí)直線的斜率不存在，直線的斜率，因此；
③當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，
此時(shí)，∴．
故答案為：垂直.
例32．(2023·全國·高二期中)已知三點(diǎn)，則△ABC為__________ 三角形.
【答案】直角
【解析】如圖，猜想是直角三角形，
由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案為：直角.
例33．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知兩條直線的斜率是方程的兩個(gè)根，則與的位置關(guān)系是______
【答案】垂直
【解析】解析由方程，知恒成立.
故方程有兩相異實(shí)根，即與的斜率均存在.
設(shè)兩根為，則 ，所以
故答案為：垂直
例34．(2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末)已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．
【答案】或
【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，
則，解得或.
故答案為：或.
例35．(2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)校考期中)已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)_____.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)閮蓷l直線相互垂直，所以直線的斜率必然存在，
又，，則，，
又所以，解得．
所以．
故答案為：.
例36．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，若，則的值為________________.
【答案】0或5
【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且，所以的斜率存在，
而經(jīng)過點(diǎn)，則其斜率可能不存在，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，即，此時(shí)的斜率為0，則，滿足題意；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，，即，此時(shí)直線的斜率均存在，
由得，即，解得；
綜上，a的值為0或5.
故答案為：0或5.
題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用
例37．(2023·高二課時(shí)練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)，若，求證： .

【解析】由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
因?yàn)?，所以，即?br>由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
則直線與的斜率之積為，
所以.
例38．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知，A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解析】由題，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，分以下三種情況：
①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐標(biāo)為或或.
例39．(2023·全國·高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
【解析】四邊形是矩形．證明如下：
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
所以，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形．
又，
所以，所以四邊形是矩形．
又，，
令，即，無解，
所以與不垂直，故四邊形是矩形．
例40．(2023·全國·高二專題練習(xí))已知，，.
(1)若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在(1)的條件下，判斷，，，構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.
【解析】(1)由題意得，
，，設(shè).
若四邊形是平行四邊形，則，，
即，解得，即.
若四邊形是平行四邊形，
則，，
即，解得，即.
若四邊形是平行四邊形，
則，，
即，解得，即.
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，6)或(7，2)或(3，-2).
(2)若的坐標(biāo)為(-1，6)，
因?yàn)?，?br>所以，所以，
所以平行四邊形為菱形.
若的坐標(biāo)為(7，2)，
因?yàn)?，?br>所以，所以平行四邊形不是菱形.
若的坐標(biāo)為(3，-2)，因?yàn)?，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.
因此，平行四邊形為菱形,平行四邊形,不是菱形.
例41．(2023·全國·高二專題練習(xí))已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)，，，是否存在點(diǎn)A，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】設(shè)點(diǎn)．若，則，解得，
點(diǎn)．
若，則，解得，點(diǎn)
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)( )
A．0B．1C．D．
【答案】D
【解析】直線與直線垂直，
則，解得．
故選：．
2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線l的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，且與l垂直，直線與直線平行，則等于( )
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】由題意知：，而與l垂直，即，
又直線與直線平行，則，故，
又經(jīng)過點(diǎn)，，則，解得，
所以.
故選：B.
3．(2023·廣東汕頭·高二金山中學(xué)?？计谥?已知兩條直線，，則是的( )
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，可得，解得或，
所以“”是“”的必要不充分條件．
故選：A.
4．(2023·高二課時(shí)練習(xí))以為頂點(diǎn)的四邊形是( )
A．平行四邊形，但不是矩形B．矩形C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯形
【答案】D
【解析】

在坐標(biāo)系中畫出ABCD點(diǎn)，大致如上圖，其中，
，
，
所以四邊形ABCD是直角梯形；
故選：D.
5．(2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末)已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，
，
因?yàn)闉榈倪吷弦粍?dòng)點(diǎn)，
所以直線斜率的變化范圍是.
故選：D.
6．(2023·安徽六安·高二校考階段練習(xí))已知，，若在線段上，則的最小值為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，
所以，且，
即，所以，
設(shè)，
所以當(dāng)時(shí)，.
故選：D.
7．(2023·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí))若過點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€的斜率，
又因?yàn)橹本€的傾斜角為銳角，
所以，解得.
故選：C
8．(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】，即，
設(shè)直線的傾斜角為，，則，，
夾角為，故或.
故選：C.
二、多選題
9．(2023·山東濟(jì)南·高二校考期中)若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，斜率分別為，則下列命題正確的是( )
A．若斜率，則 B．若，則
C．若傾斜角，則 D．若，則
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A, 若兩直線斜率，則它們的傾斜角，則，正確；
對(duì)于B，由兩直線垂直的條件可知，若，則，正確；
對(duì)于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角，則 ，正確；
對(duì)于D, 若，不妨取，
則，不滿足，不垂直，D錯(cuò)誤，
故選：
10．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與軸交于點(diǎn)，其傾斜角為，直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得直線，則直線的傾斜角可能為( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】解析：當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為(如直線AC旋轉(zhuǎn)至直線AD)；
當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為(如直線AD旋轉(zhuǎn)至直線AB).
故選：BC.
11．(2023·山西長治·高二山西省長治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的傾斜角可以是( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】設(shè)，由題得,所以直線的傾斜角為.
由題得,所以直線的傾斜角為.
由圖可知直線與線段相交，須滿足直線的傾斜角.
故選：BC
12．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)，，．若為直角三角形，則可能有( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由題意知，
若為直角頂點(diǎn)，則在軸上，則必為，此時(shí)，重合，不符合題意，故C錯(cuò)誤；
若為直角頂點(diǎn)，則，故A正確；
若B為直角頂點(diǎn)，根據(jù)斜率關(guān)系,可知，
所以，即，故B正確；
和不可能同時(shí)成立，所以不可能成立，故D錯(cuò)誤.
故選：AB．
三、填空題
13．(2023·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學(xué)?？计谥?直線的傾斜角是 _____.
【答案】
【解析】由得：，
所以直線的斜率為，
直線的傾斜角為.
故答案為：.
14．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，若，則的值為________________.
【答案】0或5
【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且，所以的斜率存在，
而經(jīng)過點(diǎn)，則其斜率可能不存在，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，即，此時(shí)的斜率為0，則，滿足題意；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，，即，此時(shí)直線的斜率均存在，
由得，即，解得；
綜上，a的值為0或5.
故答案為：0或5.
15．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】如圖：

當(dāng)直線l的斜率，
直線l的傾斜角的取值范圍為：.
故答案為：.
16．(2023·全國·高二專題練習(xí))若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______
【答案】
【解析】
如圖，，，，
則，.
因?yàn)?，可表示點(diǎn)與線段上任意一點(diǎn)連線的斜率，
由圖象可知，，
所以有.
故答案為：.
四、解答題
17．(2023·廣東汕尾·高二華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知，，.
(1)求直線和的斜率；
(2)若點(diǎn)在線段(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.
【解析】(1)由斜率公式可得直線的斜率，
直線的斜率.
(2)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，直線的斜率由負(fù)無窮增大到，由增大到正無窮大，所以直線的斜率的變化范圍是.
18．(2023·青海海南·高二海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))根據(jù)下列給定的條件，判斷兩直線的位置關(guān)系.
(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)，B(－3，5)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10，2)，B(20，3).
【解析】(1)
則
兩直線斜率相同，軸上截距不同
故與平行；
(2)，
則，
故與垂直.
19．(2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí))判斷下列三點(diǎn)是否在同一條直線上：
(1)；
(2).
【解析】(1)因?yàn)?，?br>所以，
所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上.
(2)因?yàn)?，?br>所以.
又直線DE與直線DF有公共點(diǎn)D，
所以D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上.
20．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上.
(1)求直線的斜率；
(2)求的最大值.
【解析】(1)由題意知，直線的斜率.
(2)當(dāng)點(diǎn)在兩點(diǎn)之間時(shí)，
由點(diǎn)在線段上，
易知，即，
即，
當(dāng)P與重合時(shí)也滿足，
因此，
亦即，且，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故的最大值為.
21．(2023·高二課時(shí)練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)，若，求證： .

【解析】由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
因?yàn)?，所以，即?br>由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
則直線與的斜率之積為，
所以.
22．(2023·山西太原·高二山西大附中校考階段練習(xí))已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn).
(1)求直線的斜率和傾斜角；
(2)若可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)橹本€的斜率為.
所以直線的傾斜角為；
(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，.
設(shè)，則，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(3)由題意得為直線的斜率.
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率最小，；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率最大，.
故直線的斜率的取值范圍為，
即的取值范圍為.