人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專題分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用(原卷版+解析)

這是一份人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專題分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用(原卷版+解析)，共60頁(yè)。試卷主要包含了直角邊和斜邊不明確時(shí)需分類討論，銳角和鈍角不明確時(shí)需分類討論，腰和底不明確時(shí)需分類討論等內(nèi)容，歡迎下載使用。

題型一 直角邊和斜邊不明確時(shí)需分類討論
【例題1】(2023?新都區(qū)模擬）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和2，則第三邊長(zhǎng)為（ ）
A．5B．13C．1D．5或13
【變式1-1】直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為5和12，它的斜邊長(zhǎng)為（ ）
A．13B．119C．13或119D．13或12
【變式1-2】（2023?濱州模擬）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．5B．7+7C．12D．12或7+7
【變式1-3】(2023秋?肅州區(qū)期末）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，則以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 ．
【變式1-4】(2023春?綏江縣期中）如圖，在△ABC中，AC＝5，D為BC邊上一點(diǎn)，且CD＝1，AD=26，BD＝4，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
【變式1-5】(2023秋?崇義縣月考）在四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BC＝12，CD＝x，AB⊥AD．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）若△BCD是直角三角形，求x的值．
【變式1-6】(2023秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
【變式1-7】(2023春?大觀區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊得到△AD′E，連接D′B，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為（ ）
A．1或4B．43或9C．1或9D．43或1
題型二 銳角和鈍角不明確時(shí)需分類討論
【例題2】（2023春?蘭山區(qū)期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．21B．15C．6D．21或9
【變式2-1】（2023秋?海門(mén)市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的面積為（ ）
A．66B．126C．54或44D．126或66
【變式2-2】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD＝8，求△ABC的周長(zhǎng)．
【變式2-3】等腰△ABC的腰長(zhǎng)AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，則底邊BC＝ ．
【變式2-4】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，則BC的長(zhǎng)為 ．
【變式2-5】等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，求底邊長(zhǎng)．
題型三 腰和底不明確時(shí)需分類討論
【例題3】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，△BCE是以BE為一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，則線段DE的長(zhǎng)為 ．
【變式3-1】如圖，在一張長(zhǎng)為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為4cm的等腰三角形，要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上，則剪下的等腰三角形一腰上的高為 ．
【變式3-2】（2023春?萬(wàn)榮縣校級(jí)月考）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長(zhǎng)方形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（0，10）、C（4，0），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
【變式3-3】(2023春?江津區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（3，0），B（0，4），
C（2，5）．
（1）求A，B兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求△ABC的面積．
（3）在x軸上有一點(diǎn)D，使△ABD為等腰三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【變式3-4】(2023秋?新昌縣校級(jí)期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足為D．已知AD＝3，CD＝1．
（1）求AC與AB的長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，△ADP為等腰三角形．
【變式3-5】(2023秋?禪城區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，有一塊Rt△ABC的綠地，量得兩直角邊AC＝8m，BC＝6m．現(xiàn)在要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰△ABD，且擴(kuò)充部分（△ADC）是以8m為直角邊長(zhǎng)的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰△ABD的周長(zhǎng)．
（1）在圖1中，當(dāng)AB＝AD＝10m時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)；
（2）在圖2中，當(dāng)BA＝BD＝10m時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)；
（3）在圖3中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)．
【變式3-6】已知：如圖，△ABC的面積為84，BC＝21，現(xiàn)將△ABC沿直線BC向右平移a（0＜a＜21）個(gè)單位到△DEF的位置．
（1）求BC邊上的高；
（2）若AB＝10，
①求線段DF的長(zhǎng)；
②連接AE，當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，求a的值．
【變式3-7】（2023秋?永春縣期末）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
【變式3-8】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，4）、B（b，0），且滿足a?1+b2﹣6b+9＝0
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且△ABC為等腰直角三角形．求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【變式3-9】(2023春?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)4秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到CA上時(shí)，求能使△BCQ是等腰三角形時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．
題型四 分類討論思想在勾股定理的綜合應(yīng)用
【例題4】(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，點(diǎn)Q在直線BC上，且AQ＝2，則線段BQ的長(zhǎng)為 ．
【變式4-1】在等腰直角△ABC、△CDE中，∠A＝∠E＝90°，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，BC＝4，CD＝2，線段AE的長(zhǎng)為 ．
【變式4-2】(2023秋?南陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）s．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到恰好到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等的位置時(shí)，t的值為 ．
【變式4-3】已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC＝90°，若BD=2，CD＝22，則AD＝ ．
【變式4-4】（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角△ACD，則線段BD的長(zhǎng)為 ．
【變式4-5】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC=10，直線l過(guò)AB中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A、C分別向直線l作垂線，垂足分別為E、F．若CF＝1，則EF＝ ．
【變式4-6】(2023春?思明區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝24，AM＝6，求BN的長(zhǎng)．
【變式4-7】如圖，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D為動(dòng)點(diǎn)，沿著C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)（再次到達(dá)C點(diǎn)則停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/秒，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若DC＝BC，則t＝ ；
（2）若點(diǎn)D與△ABC某一頂點(diǎn)的連線平分△ABC的周長(zhǎng)，求t的值．
【變式4-8】(2023秋?蓮湖區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），A(1，3)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若在x軸上有一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式4-9】（2023秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4．
（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），若△DMN的邊與BC平行，求t的值．
【變式4-10】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，12），點(diǎn)B（m，12），且B到原點(diǎn)O的距離OB＝20，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿路線O→A→B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿路線B→A→O運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O停止，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求出P、Q相遇時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB邊上時(shí)，連接OP、OQ，若△OPQ的面積為6，求t的值．
【變式4-11】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是直角三角形；
（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．
【變式4-12】(2023春?廣州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）求斜邊AB上的高；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，PC＝ ；（用含t的代數(shù)式表示）
②若點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上，求t的值．
【變式4-13】（2023秋?青島期末）已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2cm，在AC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1.5cm，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，△ACQ的面積是△ABC面積的13；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，PQ將△ABC周長(zhǎng)分為23：25兩部分．
【變式4-14】如圖，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接OE．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的OD的長(zhǎng)．
②設(shè)DE交直線BC于點(diǎn)F，連接OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，則CD的長(zhǎng)為 （直接寫(xiě)出結(jié)果）．
八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章 勾股定理》
專題 分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用
題型一 直角邊和斜邊不明確時(shí)需分類討論
【例題1】(2023?新都區(qū)模擬）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和2，則第三邊長(zhǎng)為（ ）
A．5B．13C．1D．5或13
分析：分3是直角邊和斜邊兩種情況討論求解．
【解答】解：3是直角邊時(shí)，第三邊=22+32=13，
3是斜邊時(shí)，第三邊=32?22=5，
所以，第三邊長(zhǎng)為13或5．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，難點(diǎn)在于要分情況討論．
【變式1-1】直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為5和12，它的斜邊長(zhǎng)為（ ）
A．13B．119C．13或119D．13或12
分析：只給出了兩條邊而沒(méi)有指明是直角邊還是斜邊，所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．一種是兩邊均為直角邊；另一種是較長(zhǎng)的邊是斜邊，根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)12是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)=52+122=13；
當(dāng)12是斜邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝12．
故它的斜邊長(zhǎng)為13或12．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理，此類題在沒(méi)有明確直角邊或斜邊的時(shí)候，一定要注意分情況考慮，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．
【變式1-2】（2023?濱州模擬）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．5B．7+7C．12D．12或7+7
分析：先設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，再分4是斜邊或x為斜邊兩種情況討論即可．
【解答】解：設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，分兩種情況：
①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊，
由勾股定理得：x=32+42=5，
此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)＝3+4+5＝12；
②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊，
由勾股定理得：x=42?32=7，
此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)＝3+4+7=7+7；
綜上所述：此三角形的周長(zhǎng)為12或7+7，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、分類討論等知識(shí)；解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．
【變式1-3】(2023秋?肅州區(qū)期末）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，則以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 ．
分析：分兩種情況考慮：當(dāng)4cm為直角三角形的斜邊時(shí)，利用勾股定理求出第三邊的平方，即為以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積；當(dāng)?shù)谌厼橹苯侨切蔚男边厱r(shí)，利用勾股定理求出第三邊的平方，即為以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積．
【解答】解：若4cm為直角三角形的斜邊，此時(shí)以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為42﹣32＝16﹣9＝7cm2；
若x為直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理得：x2＝32+42＝9+16＝25，
此時(shí)以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為x＝25，
綜上，以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為7cm2或25cm2．
故答案為：7cm2或25cm2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，以及正方形的面積，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．
【變式1-4】(2023春?綏江縣期中）如圖，在△ABC中，AC＝5，D為BC邊上一點(diǎn)，且CD＝1，AD=26，BD＝4，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判定出△ACD是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．
（2）根據(jù)△BDE是直角三角形需分兩種情況分析：①當(dāng)∠BDE＝90°時(shí)；②當(dāng)∠BED＝90°時(shí)，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：（1）在△ACD中，
∵AC2＝25，CD2＝1，AD2＝26，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°，
∵BD＝4，
∴BC＝4+1＝5，
∴在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=52，
∴AB＝52；
（2）∵AC＝BC＝5，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△BDE是直角三角形需分兩種情況分析：
①當(dāng)∠BDE＝90°時(shí)，BD＝DE＝4，
∴在Rt△BDE中，BE=BD2+DE2=42，
∴AE＝AB﹣BE＝52?42=2，
②當(dāng)∠BED＝90°時(shí)，S△ABD=12AB?DE=12BD?AC，即52DE＝4×5，
解得：DE＝22，
∴BE＝DE＝22，
∴AE＝AB﹣BE＝52?22=32；
綜上所述，AE的長(zhǎng)為2或32．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-5】(2023秋?崇義縣月考）在四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BC＝12，CD＝x，AB⊥AD．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）若△BCD是直角三角形，求x的值．
分析：（1）在Rt△ABD中，由勾股定理求得BD的長(zhǎng)即可；
（2）分兩種情況，由勾股定理分別列式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．
∴BD=AB2+AD2=42+32=5，
即BD的長(zhǎng)度是5；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)∠DBC＝90°時(shí)，由勾股定理得：x＝CD=BD2+BC2=52+122=13；
②當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，由勾股定理得：x＝CD=BC2?BD2=122?52=119；
綜上所述，x的值是13或119．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理以及分類討論等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-6】(2023秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）求BC邊的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值．
分析：（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出BP＝2tcm，再分①當(dāng)∠APB＝90°，②當(dāng)∠BAP＝90°兩種情況，利用勾股定理求解即可得．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
由勾股定理得BC=52?32=4(cm)；
（2）由題意知BP＝2tcm．
①當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝4cm，
∴t＝4÷2＝2；
②當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，如圖2，CP＝BP﹣BC＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣52，
因此32+（2t﹣4）2＝（2t）2﹣52，
解得t=258．
綜上所述，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t的值為2或258．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．
【變式1-7】(2023春?大觀區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊得到△AD′E，連接D′B，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為（ ）
A．1或4B．43或9C．1或9D．43或1
分析：注意題目表述為射線DC，所以分為兩種情況，一種是點(diǎn)E在線段DC上，另一種是點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，利用勾股定理分別求解即可．
【解答】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，
∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，
∴B，D′，E三點(diǎn)共線，
∵S△ABE=12×AB×AD=12×BE×AD′，
∴BE＝AB＝5，
∵BD′=AB2?AD′2=52?32=4，
∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴BD′＝4，
設(shè)CE＝x，則：
D′E＝DE＝x+5，
∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1，
∵CE2+BC2＝BE2，
∴x2+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴DE＝CD+DE＝5+4＝9，
綜上，DE的值為1或9．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分兩種情況討論，特別時(shí)第二種比較容易遺漏．
題型二 銳角和鈍角不明確時(shí)需分類討論
【例題2】（2023春?蘭山區(qū)期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．21B．15C．6D．21或9
分析：高線AH可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．分別依據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：如圖所示，在Rt△ABH中，
∵AB＝17，AH＝8，
∴BH=172?82=15；
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，AH＝8，
∴CH=102?82=6，
∴當(dāng)AH在三角形的內(nèi)部時(shí)，如圖1，BC＝15+6＝21；
當(dāng)AH在三角形的外部時(shí)，如圖2，BC＝15﹣6＝9．
∴BC的長(zhǎng)是21或9．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，在解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．
【變式2-1】（2023秋?海門(mén)市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的面積為（ ）
A．66B．126C．54或44D．126或66
分析：由勾股定理求出BD、CD的長(zhǎng)，再分兩種情況分別計(jì)算即可．
【解答】解：如圖1，∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝20，AD＝12，
∴BD=AB2?AD2=202?122=16，
又∵AC＝13，
∴CD=AC2?AD2=132?122=5，
∴BC＝BD+CD＝21，
∴△ABC的面積=12×21×12＝126；
如圖2，BC＝BD﹣CD＝11，
∴△ABC的面積=12×11×12＝66；
綜上所述，△ABC的面積為126或66，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．
【變式2-2】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD＝8，求△ABC的周長(zhǎng)．
分析：分別在兩個(gè)直角三角形中求得線段BD和線段CD的長(zhǎng)，然后求得BC的長(zhǎng)，從而求得周長(zhǎng)．
【解答】解：如圖1，在直角三角形ABD中，AB＝17，AD＝8
根據(jù)勾股定理，得BD＝15；
在直角三角形ACD中，AC＝10，AD＝8，
根據(jù)勾股定理，得CD＝6；
∴BC＝15+6＝21，
∴△ABC的周長(zhǎng)為17+10+21＝48，
如圖2，在直角三角形ABD中，AB＝17，AD＝8，
根據(jù)勾股定理，得BD＝15；
在直角三角形ACD中，AC＝10，AD＝8，
根據(jù)勾股定理，得CD＝6；
∴BC＝15﹣6＝9，
∴△ABC的周長(zhǎng)為17+10+9＝36；
綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為48或36．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識(shí)，在解本題時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏解，同學(xué)們思考問(wèn)題一定要全面，有一定難度，本題因給出了圖形，故只有一種情況．
【變式2-3】等腰△ABC的腰長(zhǎng)AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，則底邊BC＝ ．
分析：等腰△ABC有兩種情況：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：等腰△ABC有兩種情況：
①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD=AB2?BD2
=102?62
＝8，
∴DC＝AC﹣AD
＝10﹣8
＝2，
∴BC=BD2+DC2
=62+22
＝210；
②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD=AB2?BD2
=102?62
＝8，
∴DC＝AC+AD
＝10+8
＝18，
∴BC=BD2+DC2
=62+182
＝610．
綜上，BC的值為210或610．
故答案為：210或610．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在等腰三角形邊長(zhǎng)的計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，則BC的長(zhǎng)為 ．
分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：若△ABC是銳角三角形時(shí)，
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵12AB?CD=152，
∴CD＝3，
∴由勾股定理可知：AD＝4，
∴BD＝1，
∴BC=10，
若△ABC是鈍角三角形時(shí)，
同理可求出得BC＝310，
故答案為：10或310
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，本題屬于中等題型．
【變式2-5】等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，求底邊長(zhǎng)．
分析：根據(jù)題意分三種情況，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，從而可以解答本題．
【解答】解：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形，且CD為腰上的高時(shí)，如右圖1所示，
在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，
根據(jù)勾股定理得：AD=AC2?CD2=4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，
在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝1，
根據(jù)勾股定理得：BC=DC2+BD2=10；
當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形，且CD為腰上的高時(shí)，如右圖2所示，
在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，
根據(jù)勾股定理得：AD=AC2?CD2=4，
∴BD＝AB+AD＝5+4＝9，
在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝9，
根據(jù)勾股定理得：BC＝310；
當(dāng)AD為底邊上的高時(shí)，如右圖3所示，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝5，
根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?AD2=4，
∴BC＝2BD＝8，
綜上，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10或310或8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．
題型三 腰和底不明確時(shí)需分類討論
【例題3】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，△BCE是以BE為一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，則線段DE的長(zhǎng)為 ．
分析：分兩種情況：①BE＝EC，此時(shí)點(diǎn)E是BC的中垂線與AD的交點(diǎn)；②BE′＝BC，在直角△ABE′中，利用勾股定理求得AE′的長(zhǎng)度，然后求得DE′的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝5，
①當(dāng)BE＝EC時(shí)，點(diǎn)E是BC的中垂線與AD的交點(diǎn)，DE=12AD＝2.5；
②當(dāng)BC＝BE′＝5時(shí)，
在Rt△ABE′中，AB＝4，則AE′=BE2?AB2=52?42=3，
∴DE′＝AD﹣AE′＝5﹣3＝2．
綜上所述，線段DE的長(zhǎng)為2.5或2，
故答案是：2.5或2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，在一張長(zhǎng)為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為4cm的等腰三角形，要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上，則剪下的等腰三角形一腰上的高為 ．
分析：由于矩形的兩邊分別為7cm、5cm，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀琼旤c(diǎn)為矩形的頂點(diǎn)，則等腰三角形為等腰直角三角形，從而得到剪下的等腰三角形一腰上的高為4cm；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀琼旤c(diǎn)在矩形的短邊上或長(zhǎng)邊時(shí)，如圖2、3，利用勾股定理計(jì)算腰上的高．
【解答】解：分三種情況：
（1）當(dāng)AE＝AF＝4時(shí)，
如圖1所示：
△AEF的腰AE上的高為AF＝4；
（2）當(dāng)AE＝EF＝4時(shí)，
如圖2所示：
則BE＝5﹣4＝1，
BF=EF2?BE2=42?12=15；
（3）當(dāng)AE＝EF＝4時(shí)，
如圖3所示：
則DE＝7﹣4＝3，
DF=EF2?DE2=42?32=7，
故答案為4cm或15cm或7cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)：平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；矩形的四個(gè)角都是直角．
【變式3-2】（2023春?萬(wàn)榮縣校級(jí)月考）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長(zhǎng)方形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（0，10）、C（4，0），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
分析：分OP＝OD、PD＝OD和PO＝PD三種情況，結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：∵A（0，10）、C（4，0），且四邊形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝10，OC＝AB＝4，
∵D是OA的中點(diǎn)，
∴OD＝5，
當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，則有PO＝OD＝5、PD＝OD＝5或PO＝PD＝5，
當(dāng)PO＝OD＝5時(shí)，在Rt△OPC中，OC＝4，OP＝5，由勾股定理可求得PC＝3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；
當(dāng)PD＝OD＝5時(shí)，過(guò)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，如圖，
在Rt△PED中，PE＝OC＝4，PD＝5，由勾股定理可求得DE＝3，且OD＝5，則OE＝5﹣3＝2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），（4，8）；
當(dāng)PO＝PD＝5時(shí)，過(guò)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，如圖，
在Rt△POE中，PE＝4，PO＝5，由勾股定理可求得OE＝3，則OD＝6，與已知矛盾，故該情況不存在．
綜上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（4，2）或（4，8）．
故答案為：（4，3）或（4，2）或（4，8）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式3-3】(2023春?江津區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（3，0），B（0，4），
C（2，5）．
（1）求A，B兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求△ABC的面積．
（3）在x軸上有一點(diǎn)D，使△ABD為等腰三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
分析：（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB=32+42=5；
（2）△ABC的面積=12×（2+3）×5?12×1×2?12×4×3=112；
（3）①當(dāng)AB＝BD＝5時(shí)，
∵OB⊥AD，
∴OD＝OA＝3，
∴D（﹣3，0），
②當(dāng)AB＝AD＝5時(shí)，D（﹣2，0）或（8，0）；
③當(dāng)AD＝BD時(shí)，點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，
設(shè)OD3＝a，
∴a2+42＝（3+a）2，
∴a=76，
∴D（?76，0），
綜上所述，D（﹣3，0）或（﹣2，0）或（8，0）或（?76，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式3-4】(2023秋?新昌縣校級(jí)期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足為D．已知AD＝3，CD＝1．
（1）求AC與AB的長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，△ADP為等腰三角形．
分析：（1）由勾股定理直接求得AC，設(shè)AB＝x，由勾股定理列出x的方程，便可求得AB；
（2）分三種情況：AP＝AD；AP＝DP；AD＝DP．分別進(jìn)行解答便可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AC=AD2+CD2=32+12=10，
設(shè)AB＝BC＝x，則BD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2﹣（x﹣1）2＝32，
解得x＝5，
∴AB＝5；
（2）當(dāng)AP＝AD＝3時(shí)，，△ADP為等腰三角形；
當(dāng)AP＝DP時(shí)，如圖，
∴∠PAD＝∠PDA，
∵∠PAD+∠B＝90°，∠PDA+∠BDP＝90°，
∴∠PDB＝∠B，
∴PD＝PB＝PA，
∴AP=12AB＝2.5；
當(dāng)AD＝DP＝3時(shí)，如圖，過(guò)D作DE⊥AP于點(diǎn)E，
∴AE＝PE，
設(shè)AE＝PE＝x，則BE＝5﹣x，
∵AD2﹣AE2＝DE2＝BD2＝BE2，
即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，
解得x＝1.8，
∴AP＝3.6．
綜上，當(dāng)AP＝2.5或3或3.6時(shí)，△ADP為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．
【變式3-5】(2023秋?禪城區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，有一塊Rt△ABC的綠地，量得兩直角邊AC＝8m，BC＝6m．現(xiàn)在要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰△ABD，且擴(kuò)充部分（△ADC）是以8m為直角邊長(zhǎng)的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰△ABD的周長(zhǎng)．
（1）在圖1中，當(dāng)AB＝AD＝10m時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)；
（2）在圖2中，當(dāng)BA＝BD＝10m時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)；
（3）在圖3中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)．
分析：（1）利用勾股定理得出DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出△ABD的周長(zhǎng)；
（2）利用勾股定理得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出△ABD的周長(zhǎng)；
（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出△ABD的周長(zhǎng)．
【解答】解：（1）如圖1，∵AB＝AD＝10m，AC⊥BD，AC＝8m，
∴DC=AD2?AC2=102?82=6（m），
∴BD＝DC+BC＝6+6＝12（m），
則△ABD的周長(zhǎng)為：AD+AB+BD＝10+10+12＝32（m）；
（2）如圖2，∵BA＝BD＝10m，BC＝6m，
∴DC＝BD﹣BC＝10﹣6＝4（m），
∵AC⊥BD，AC＝8m，
∴AD=AC2+DC2=82+42=45（m），
則△ABD的周長(zhǎng)為：BA+AD+BD＝10+45+10＝（20+45）m；
（3）如圖3，設(shè)DC＝xm，則AD＝DB＝（6+x）m，
∵AC⊥BD，
∴DC2+AC2＝AD2，AC＝8m，
即x2+82＝（6+x）2，
解得；x=73，
∵AC＝8m，BC＝6m，AC⊥BD，
∴AB=AC2+BC2=10m，
故△ABD的周長(zhǎng)為：AD+BD+AB＝2×（73+6）+10=803（m）．
【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
【變式3-6】已知：如圖，△ABC的面積為84，BC＝21，現(xiàn)將△ABC沿直線BC向右平移a（0＜a＜21）個(gè)單位到△DEF的位置．
（1）求BC邊上的高；
（2）若AB＝10，
①求線段DF的長(zhǎng)；
②連接AE，當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，求a的值．
分析：（1）作AM⊥BC于M，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算；
（2）①根據(jù)勾股定理求出BM、AC，根據(jù)平移的性質(zhì)解答；
②分AB＝BE、AB＝AE、EA＝EB三種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：（1）作AM⊥BC于M，
∵△ABC的面積為84，
∴12×BC×AM＝84，
解得，AM＝8，即BC邊上的高為8；
（2）①在Rt△ABM中，BM=AB2?AM2=6，
∴CM＝BC﹣BM＝15，
在Rt△ACM中，AC=AM2+CM2=17，
由平移的性質(zhì)可知，DF＝AC＝17；
②當(dāng)AB＝BE＝10時(shí)，a＝BE＝10；
當(dāng)AB＝AE＝10時(shí)，BE＝2BM＝12，
則a＝BE＝12；
當(dāng)EA＝EB＝a時(shí)，ME＝a﹣6，
在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，
即82+（a﹣6）2＝a2，
解得，a=253，
則當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，a的值為10或12或253．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
【變式3-7】（2023秋?永春縣期末）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
分析：（1）由勾股定理即可得出答案；
（2）分情況討論，由等腰三角形的判定與性質(zhì)分別求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=122+52=13，
∴AB的長(zhǎng)為13；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，CP＝CB＝5，t＝5（s）；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)BP＝BC＝5，如圖1所示：
則AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；
②當(dāng)CP＝CB＝5時(shí)，
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，如圖2所示：
則BM＝PM=12BP，
∵12AC?BC=12AB?CM，
∴CM=AC?BCAB=12×513=6013，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM=BC2?CM2=52?(6013)2=2513，
∴BP＝2BM=5013，
∴AP＝13?5013=11913，
∴t＝12+11913=27513（s）；
③當(dāng)PC＝PB時(shí)，如圖3所示：
則∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PB=12AB=132，
∴t＝12+132=372（s）；
綜上所述，當(dāng)t＝5s或20s或27513s或372s時(shí)，△BCP為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-8】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，4）、B（b，0），且滿足a?1+b2﹣6b+9＝0
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且△ABC為等腰直角三角形．求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出a與b的值．
（2）由于△ABC沒(méi)有說(shuō)明哪個(gè)角是直角，故需要對(duì)△ABC的內(nèi)角進(jìn)行分類討論．
【解答】解：（1）∵a?1+b2﹣6b+9＝0，即a?1+（b﹣3）2＝0，
∴a＝1，b＝3
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
（2）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥x軸，
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥直線AE于點(diǎn)D，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠EAB，
在△ACD與△BAE
∠C=∠EAB∠ADC=∠AEBAC=AB
∴△ACD≌△BAE（AAS）
∴AE＝CD，AD＝EB，
∵A（1，4），B（3，0），
∴AE＝4，BE＝2，
∴AD＝2，CD＝4，
∴DE＝AD+AE＝2+4＝6，
∴C（5，6）
如圖2，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
同理易證：△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD＝4，EB＝CD＝2，
∴OD＝OB+BD＝7，
∴C（7，2）
如圖3，當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線CE于點(diǎn)D，
易證△ADC≌△CEB
∴AD＝CE，BE＝CD，
設(shè)BE＝x，
∴AD＝CE＝4﹣x，
∵A（1，4），B（3，0），
∴由勾股定理可知：AB2＝20，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AB2＝2AC2，
∴AC2＝10，
∴由勾股定理可知：10＝（4﹣x）2+x2，
解得：x＝1或x＝3（不滿足條件，舍去），
∴C（4，3），
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，6）或（7，2）或（4，3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，涉及勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)．
【變式3-9】(2023春?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)4秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到CA上時(shí)，求能使△BCQ是等腰三角形時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．
分析：（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；
（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒，
∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），
在Rt△PQB中，根據(jù)勾股定理得：
PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；
（2）由題意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，
解得t=163．
∴出發(fā)163秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）①當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，如圖1所示，
則∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10cm，
∴BC+CQ＝22cm，
∴t＝22÷2＝11．
②當(dāng)CQ＝BC時(shí)，如圖2所示，
則BC+CQ＝24cm，
∴t＝24÷2＝12．
③當(dāng)BC＝BQ時(shí)，如圖3所示，
過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則BE=AB?BCAC=12×1620=485（cm），
∴CE=BC2?BE2=122?(485)2=365（cm），
∴CQ＝2CE＝14.4（cm），
∴BC+CQ＝26.4（cm），
∴t＝26.4÷2＝13.2．
綜上所述：當(dāng)t為11或12或13.2時(shí)，△BCQ為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．
題型四 分類討論思想在勾股定理的綜合應(yīng)用
【例題4】(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，點(diǎn)Q在直線BC上，且AQ＝2，則線段BQ的長(zhǎng)為 ．
分析：分兩種情況：（1）點(diǎn)Q在線段BC的延長(zhǎng)線上；（2）點(diǎn)Q在線段CB的延長(zhǎng)線上，分別用勾股定理求得QC的長(zhǎng)，情況（1）中BQ＝QC+BC，情況（2）中BQ＝QC﹣BC．
【解答】解：分兩種情況：
（1）點(diǎn)Q在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝1，AQ＝2，
∴QC=22?12=3，
∵BC＝1，
∴BQ＝QC+BC=3+1；
（2）點(diǎn)Q在線段CB的延長(zhǎng)線上，如圖：
∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2，
∴QC=22?12=3，
∵BC＝1，
∴BQ＝QC﹣BC=3?1．
綜上，線段BQ的長(zhǎng)為3+1或3?1．
故答案為：3+1或3?1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的邊長(zhǎng)計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】在等腰直角△ABC、△CDE中，∠A＝∠E＝90°，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，BC＝4，CD＝2，線段AE的長(zhǎng)為 ．
分析：分兩種情況討論：①點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE＝AC+CE；②點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)不共線時(shí)，AE=AC2+CE2．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠ACB＝45°，AC＝BC?22＝22．
在等腰直角△CDE中，∵∠E＝90°，CD＝2，
∴∠D＝∠DCE＝45°，CE＝CD?22=2．
分兩種情況：
①點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖1．
AE＝AC+CE＝22+2=32；
②點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)不共線時(shí)，如圖2．
∵點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，
∴∠DCB＝180°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
連接AE．
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=(22)2+(2)2=10．
綜上可知，線段AE的長(zhǎng)為32或10．
故答案為32或10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，難度適中．分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】(2023秋?南陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）s．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到恰好到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等的位置時(shí)，t的值為 ．
分析：設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，此時(shí)PA＝PB＝tcm，PC＝（8﹣t）cm，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
則由勾股定理得到：AC=AB2?BC2=102?62=8（cm）
當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，
設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，
此時(shí)PA＝PB＝tcm，PC＝（8﹣t）cm，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（8﹣t）2+62＝t2，
解得：t=254，
∴當(dāng)t=254時(shí)，PA＝PB；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，
此時(shí)AC+BC+BP＝8+6+5＝19cm，
∴當(dāng)t＝19時(shí)，PA＝PB；
故答案為：254或19．
【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式4-3】已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC＝90°，若BD=2，CD＝22，則AD＝ ．
分析：作出圖形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AF，利用三角形的面積求出DE，再求出EF，然后分A、D在BC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=(2)2+(22)2=10，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AF＝BF=12BC=102，
S△BCD=12×10?DE=12×2×22，
解得DE=2105，
所以，BE=(2)2?(2105)2=105，
EF=102?105=31010，
若點(diǎn)A、D在BC的同側(cè)，則AD=(31010)2+(102?2105)2=1；
若點(diǎn)A、D在BC的異側(cè)，則AD=(31010)2+(102+2105)2=3，
綜上所述，AD的長(zhǎng)為1或3．
故答案為：1或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，難點(diǎn)在于分情況討論．
【變式4-4】（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角△ACD，則線段BD的長(zhǎng)為 ．
分析：分三種情況討論：①當(dāng)AD為斜邊時(shí)，如圖1，BD＝2BE，求BE的長(zhǎng)即可；②當(dāng)CD為斜邊時(shí)，如圖2，BD就是兩個(gè)AB的長(zhǎng)；③當(dāng)AC為斜邊時(shí)，如圖3，BD就是△BCD的斜邊長(zhǎng)．
【解答】解：①當(dāng)AD為斜邊時(shí)，如圖1，
∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵AB＝4，
∴AB＝CD，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE＝DE，AE＝EC，
∴AE＝EC＝2，
由勾股定理得：BE=42+22=25，
∴BD＝45，
②當(dāng)CD為斜邊時(shí)，如圖2，則AD＝AC＝4，∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAC＝90°+90°＝180°，
∴B、A、D共線，
∴BD＝AB+AD＝4+4＝8，
③當(dāng)AC為斜邊時(shí)，如圖3，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝CD=AC2=22，
∵∠BCA＝45°，∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∵AB＝AC＝4，
由勾股定理得：BC=42+42=42，
BD=BC2+CD2=(42)2+(22)2=210，
綜上所述：BD＝45或8或210．
故答案為45或8或210．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，也考查了復(fù)雜的幾何作圖；復(fù)雜的幾何作圖一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法；本題利用等腰直角三角形邊和角的特殊性與勾股定理、全等三角形相結(jié)合，求出邊的長(zhǎng)．
【變式4-5】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC=10，直線l過(guò)AB中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A、C分別向直線l作垂線，垂足分別為E、F．若CF＝1，則EF＝ ．
分析：分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)A、C在直線l的同側(cè)時(shí)；②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)A、C在直線l的異側(cè)時(shí)；
【解答】解：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)A、C在直線l的同側(cè)時(shí)，連接CO．
∵CA＝CB=10，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC⊥AB，AB＝25，
OC＝OA＝OB=5，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，∠AOE+∠COF＝90°，
∴∠EAO＝∠COF，
∵∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AEO≌△OFC，
∴CF＝OE＝1，AE＝OF
∴AE=(5)2?12=2，
∴OF＝AE＝2，
∴EF＝3．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)A、C在直線l的異側(cè)時(shí)，連接CO．
∵CA＝CB=10，∠ACB＝90°，OA＝OB
∴OC⊥AB，AB＝25，
OC＝OA＝OB=5，
同法可證：△AEO≌△OFC，
∴CF＝OE＝1，AE＝OF
∴AE=(5)2?12=2，
∴OF＝AE＝2，
∴EF＝2﹣1＝1．
故答案為1或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式4-6】(2023春?思明區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝24，AM＝6，求BN的長(zhǎng)．
分析：（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（2）設(shè)BN＝x，則MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，分三種情形①當(dāng)AM為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意AM2＝MN2+BN2，②當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2，③當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2，分別列出方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，
∴點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（2）設(shè)BN＝x，則MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
綜上所述，BN＝8或10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解，屬于中考?？碱}型．
【變式4-7】如圖，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D為動(dòng)點(diǎn)，沿著C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)（再次到達(dá)C點(diǎn)則停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/秒，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若DC＝BC，則t＝ ；
（2）若點(diǎn)D與△ABC某一頂點(diǎn)的連線平分△ABC的周長(zhǎng)，求t的值．
分析：（1）根據(jù)DC＝BC，列出方程2t＝6，解方程即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)D與△ABC某一頂點(diǎn)的連線平分△ABC的周長(zhǎng)，分三種情況，分別根據(jù)平分周長(zhǎng)列方程解出即可．
【解答】解：（1）∵DC＝BC＝6，
∴2t＝6，
解得：t=62=3，
故當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若DC＝BC，則t＝3；
故答案為：3；
（2）△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，
∴AB=62+82=10，
∴△ABC的周長(zhǎng)＝6+8+10＝24，
①當(dāng)點(diǎn)D在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，BC+CD＝AB+AD，
即6+2t=12×24，
解得：t＝3；
②當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，AC+AD＝BD+BC，
即2t=12×24，
解得：t＝6；
③當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，AB+BD＝CD+AC，
即2t﹣8=12×24，
解得：t＝10；
綜上所述，t的值是3或6或10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度適中．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的關(guān)系式．
【變式4-8】(2023秋?蓮湖區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），A(1，3)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若在x軸上有一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）利用兩點(diǎn)間得距離公式可求AB；
（2）分當(dāng)AP＝AB時(shí)，當(dāng)BP＝AB時(shí)，當(dāng)BP＝PA時(shí)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），A(1，3)，
∴AB=(3?1)2+(0?3)2=7；
（2）如圖所示：
當(dāng)AP＝AB時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，3﹣1＝2，1﹣2＝﹣1，
∴P1（﹣1，0），
同理當(dāng)BP＝AB時(shí)，P2(3?7，0)，P3(3+7，0)，
當(dāng)BP＝PA時(shí)，設(shè)P4（x，0），則(x?1)2+(0?3)2=(3?x)2，解得：x=54，
∴P4(54，0)，
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，0），(3?7，0)，(3+7，0)，(54，0)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，綜合運(yùn)用了等腰三角形的定義，兩點(diǎn)間的距離公式．
【變式4-9】（2023秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4．
（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），若△DMN的邊與BC平行，求t的值．
分析：（1）設(shè)BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，則AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出結(jié)論；
（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM＝AN；當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD＝AN；得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）設(shè)BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
則AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC=12×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
則BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM＝AN，即10﹣t＝t，此時(shí)t＝5，
②當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD＝AN，此時(shí)t＝6，
綜上所述，若△DMN的邊與BC平行時(shí)，t值為5或6．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的思想方法和分類討論思想．
【變式4-10】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，12），點(diǎn)B（m，12），且B到原點(diǎn)O的距離OB＝20，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿路線O→A→B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿路線B→A→O運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O停止，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求出P、Q相遇時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB邊上時(shí)，連接OP、OQ，若△OPQ的面積為6，求t的值．
分析：（1）利用勾股定理求出AB，設(shè)t秒后P，Q相遇．構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形分別構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可．
【解答】解：（1）設(shè)t秒后P，Q相遇．
在Rt△AOB中，∵∠BAO＝90°，OA＝12，OB＝20，
∴AB=OB2?OA2=202?122=16，
由題意：5t+2t＝12+16，
解得t＝4，
此時(shí)BQ＝8．AQ＝AB﹣BQ＝16﹣8＝8，
∴P（8，12）．
（2）當(dāng)P，Q都在AB邊上時(shí)，12?|16﹣（5t﹣12）﹣2t|×12＝6，
解得t=277或297
當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，12?16?（28﹣2t）＝6，
解得t=1098，
綜上所述，滿足條件的值為277或297或1098．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．
【變式4-11】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是直角三角形；
（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．
分析：（1）根據(jù)CD＝速度×?xí)r間，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB＝90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算；②∠CBD＝90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可得解；
（2）分①CD＝BC時(shí)，CD＝15；②CD＝BD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)可求CD；③BD＝BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD＝2CF；依此解答．
【解答】解：（1）CD＝2t，
∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC=AB2+BC2=202+152=25，
AD＝AC﹣CD＝25﹣2t；
①∠CDB＝90°時(shí)，S△ABC=12AC?BD=12AB?BC，
即12×25BD=12×20×15，
解得BD＝12，
∴CD=BC2?BD2=152?122=9，
t＝9÷2＝4.5；
②∠CBD＝90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，
t＝25÷2＝12.5．
綜上所述，t＝4.5或12.5秒時(shí)，△CBD是直角三角形
（2）①CD＝BC時(shí)，CD＝15，t＝15÷2＝7.5；
②CD＝BD時(shí)，∠C＝∠DBC，
∵∠C+∠A＝∠DBC+∠DBA＝90°，
∴∠A＝∠DBA，
∴BD＝AD，
∴CD＝AD=12AC＝12.5，
∴t＝12.5÷2＝6.25；
③BD＝BC時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD＝2CF；
則CF＝DF，
∵BF＝12，
∴CF=BC2?BF2=9，
∴CD＝2CF＝9×2＝18，
∴t＝18÷2＝9．
綜上所述，t＝6.25或7.5或9秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．
【變式4-12】(2023春?廣州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）求斜邊AB上的高；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，PC＝ ；（用含t的代數(shù)式表示）
②若點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上，求t的值．
分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC的值，設(shè)斜邊高為h，由面積法可求得答案．
（2）①根據(jù)題意可知P在BC上時(shí)，P的路程為AP+PB＝2t，所以PC＝AB+BC﹣2t；
②當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，可證△ACP≌△ADP，再在Rt△BDP中由勾股定理得到關(guān)于t的方程，進(jìn)而可以求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC=AB2?BC2=102?62=8，
設(shè)邊AB上的高為h，
則S△ABC=12AC?BC=12AB??，
∴12×6×8=12×10?，
∴?=245．
答：斜邊AB上的高為245．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度為AB+BP＝2t，
∴PC＝AB+BC﹣（AB+BP）＝10+6﹣2t＝16﹣2t．
故答案為：16﹣2t．
②若點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，如圖：
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC．
由①知：PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴PD＝16﹣2t，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
AP=APPD=PC，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL）．
∴AD＝AC＝8，
又∵AB＝10，
∴BD＝2．
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得：t=203．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-13】（2023秋?青島期末）已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2cm，在AC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1.5cm，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，△ACQ的面積是△ABC面積的13；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，PQ將△ABC周長(zhǎng)分為23：25兩部分．
分析：（1）當(dāng)t＝2s時(shí)，AP＝2cm，BQ＝2t＝4（cm），則BP＝AB﹣AP＝6（cm），再由勾股定理求出PQ的長(zhǎng)即可；
（2）由三角形面積關(guān)系得CQ=13BC＝2（cm），則BQ＝BC﹣CQ＝4（cm），即可得出答案；
（3）求出0≤t≤8，BP＝（8﹣t）cm，點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝（1.5t﹣4.5）cm，則AQ＝（﹣1.5t+14.5）cm，再求出BP+BC+CQ（0.5t+9.5）cm，AP+AQ＝（﹣0.5t+14.5）cm，然后分兩種情況：①BP+BC+CQAP+AQ=2325，②BP+BC+CQAP+AQ=2523，分別求出t的值即可．
【解答】解：（1）當(dāng)t＝2s時(shí)，點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，
則AP＝2cm，BQ＝2t＝4（cm），
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=BP2+BQ2=62+42=213（cm），
∴PQ的長(zhǎng)為213cm；
（2）∵S△ACQ=12CQ?AB，S△ABC=12BC?AB，點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ACQ的面積是△ABC面積的13，
∴CQ=13BC=13×6＝2（cm），
∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2＝4（cm），
∴t=42=2，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為2時(shí)，△ACQ的面積是△ABC面積的13；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=82+62=10（cm），
當(dāng)點(diǎn)P達(dá)到點(diǎn)B時(shí)，t=81=8，
當(dāng)點(diǎn)Q達(dá)到點(diǎn)A時(shí)，t=62+101.5=293，
∵當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，
∴0≤t≤8，
∵AP＝tcm，
∴BP＝（8﹣t）cm，點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝1.5×（t?62）＝（1.5t﹣4.5）（cm），
∴AQ＝10﹣（1.5t﹣4.5）＝（﹣1.5t+14.5）（cm），
∴BP+BC+CQ＝8﹣t+6+1.5t﹣4.5＝（0.5t+9.5）（cm），AP+AQ＝t+（﹣1.5t+14.5）＝（﹣0.5t+14.5）（cm），
分兩種情況：
①BP+BC+CQAP+AQ=2325，
即0.5t+9.5?0.5t+14.5=2325，
解得：t＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)，t＝4是原方程的解，
∴t＝4；
②BP+BC+CQAP+AQ=2523，
即0.5t+9.5?0.5t+14.5=2523，
解得：t＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)，t＝6是原方程的解，
∴t＝6；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為4或6時(shí)，PQ將△ABC周長(zhǎng)分為23：25兩部分．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、三角形面積、分式方程的解法以及分類討論等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．
【變式4-14】如圖，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接OE．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的OD的長(zhǎng)．
②設(shè)DE交直線BC于點(diǎn)F，連接OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，則CD的長(zhǎng)為 （直接寫(xiě)出結(jié)果）．
分析：（1）根據(jù)BA＝BC可得BC的長(zhǎng)，分別根據(jù)勾股定理可得OC和AC的長(zhǎng)；
（2）①分兩種情況：AO＝OE和AO＝AE時(shí)，分別畫(huà)圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問(wèn)題；
②分兩種情況：
i）當(dāng)D在線段OB上時(shí)，如圖3，過(guò)B作BG⊥EF于G，根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，得BFCF=14，可得BF=103，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠BDG＝∠BFG，得BD＝BF=103，最后利用勾股定理可得結(jié)論；
ii）當(dāng)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)B作BG⊥DE于G，同理計(jì)算可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AO＝4，BO＝6，
∴AB＝10，
∵BA＝BC，
∴BC＝10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：CO=BC2?OB2=102?62=8，
AC=AO2+CO2=42+82=45；
（2）①分兩種情況：
i）如圖1，當(dāng)AO＝OE＝4時(shí)，過(guò)O作ON⊥AC于N，
∴AN＝EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴AO＝OD＝4；
ii）當(dāng)AO＝AE＝4時(shí)，如圖2，
在△CAO和△DAE中，
∠A=∠A∠AOC=∠AED=90°AO=AE，
∴△CAO≌△DAE（AAS），
∴AD＝AC＝45，
∴OD＝45?4；
②分兩種情況：
i）當(dāng)D在線段OB上時(shí)，如圖3，過(guò)B作BG⊥EF于G，
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴BFCF=14
∴BFCB=13
∵CB＝10
∴BF=103
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF＝∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A＝∠DBG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠GBF，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴∠BDG＝∠BFG，
∴BD＝BF=103，
∴OD＝OB﹣BD＝6?103=83，
∴CD=OC2+OD2=82+(83)2=8103；
ii）當(dāng)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)B作BG⊥DE于G，
同理得BFCF=14，
∵BC＝10，
∴BF＝2，
同理得：∠BFG＝∠BDF，
∴BD＝BF＝2，
Rt△COD中，CD=CO2+OD2=82+(6+2)2=82，
綜上，CD的長(zhǎng)為8103或82．
故答案為：8103或82．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)解答，有難度．