2024年中考第三次模擬考試題：數(shù)學(xué)（山西卷）（解析版）

這是一份2024年中考第三次模擬考試題：數(shù)學(xué)（山西卷）（解析版），共28頁。
選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1．這是2024年3月某日的氣溫實施預(yù)測情況，則通過預(yù)測圖可知，下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，直接根據(jù)有理數(shù)減法的運算法則進行計算即可得出答案．
【詳解】下午5時的氣溫是，此時氣溫為
下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為
故選D．
2．國有企業(yè)是中國特色社會主義的重要物質(zhì)基礎(chǔ)和政治基礎(chǔ)，是中國特色社會主義經(jīng)濟的“頂梁柱”．下列國有企業(yè)標志中，文字上方的圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：C．
3．下列是一位同學(xué)在課堂小測中做的四道題，如果每道題10分，滿分40分，那么他的測試成績是（ ）
A．40分B．30分C．20分D．10分
【答案】B
【分析】本題考查了整式的乘除運算，熟練掌握整式的乘除運算法則是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)整式的乘除運算法則即可逐步判斷答案．
【詳解】第（1）題，，正確，得10分；
第（2）題，，原題解答錯誤，得0分；
第（3）題，，正確，得10分；
第（4）題，，正確，得10分；
所以這位同學(xué)的測試成績是30分．
故選B．
4．北京時間2月25日晚，2024年世界乒乓球團體錦標賽在韓國釜山落下帷幕．中國男、女隊雙雙登頂，分別奪取11連冠和6連冠．圖①是乒乓球男團頒獎現(xiàn)場，圖②是領(lǐng)獎臺的示意圖，則此領(lǐng)獎臺主視圖是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查主視圖．主視圖是從幾何體正面觀察到的視圖．
【詳解】解：領(lǐng)獎臺從正面看，是由三個長方形組成的．三個長方形，右邊最低，中間最高，
故選：B．
5．隨著科技發(fā)展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融人人們的日常生活．如圖是共享單車車架的示意圖，線段分別為前叉、下管和立管（點在上），為后下叉．已知，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．
先利用平行線的性質(zhì)可得，再利用角的和差關(guān)系可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
故選：C．
6．提倡綠色出行，新能源汽車越來越受大家青睞．某品牌新能源汽車店經(jīng)銷商統(tǒng)計了1月份到3月份的銷量，該品牌新能源汽車1月份銷售25輛，3月份銷售36輛，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)新能源汽車銷量的月平均增長率為x，根據(jù)1月份及3月份店新能源汽車的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)新能源汽車銷量的月平均增長率為x，
依題意，得：，
解得：（不合題意，舍去）．
所以，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為，
故選：B．
7．物理興趣小組在實驗室研究電學(xué)時設(shè)計了一個電路，其電路圖如圖1所示．經(jīng)測試，發(fā)現(xiàn)電流隨著電阻的變化而變化，并結(jié)合數(shù)據(jù)描點，連線，畫成圖2所示的函數(shù)圖象．若該電路的最小電阻為，則該電路能通過的（ ）
A．最大電流是B．最大電流是
C．最小電流是D．最小電流是
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．可設(shè)，由于點代入這個函數(shù)解析式，則可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【詳解】根據(jù)電壓電流電阻，設(shè)，
將點代入得，解得，
；
若該電路的最小電阻值為，該電路能通過的最大電流是，
故選A．
8．如圖，某型號千斤頂?shù)墓ぷ髟硎抢盟倪呅蔚牟环€(wěn)定性，圖中的菱形是該型號千斤頂?shù)氖疽鈭D，保持菱形邊長不變，可通過改變的長來調(diào)節(jié)的長．已知 的初始長為，如果要使的長達到， 那么的長需要縮短（ ）
A．6 cmB．8 cm
C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)與相交于點O，與相交于點，由菱形的性質(zhì)得出，，，，利用勾股定理求出和，進而求出和，然后詳解，即可求出答案．
【詳解】解，設(shè)與相交于點O，與相交于點．
∵四邊形和四邊形是菱形，
∴，，，，
，
∴，，
∴，，
∴，
∴的長需要縮短．
故選：D．
9．兩家牛奶銷售公司招聘送奶員，下面的海報顯示兩家公司的周薪計算方式：
小明決定應(yīng)聘當送奶員，下列正確表示兩家公司的周薪計算方式的圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查函數(shù)圖象的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，判斷出周薪與送奶數(shù)量的關(guān)系式，即可．
【詳解】由題意可知，甲公司的周薪與送奶數(shù)量是分段函數(shù)，當送奶數(shù)量小于或等于瓶是正比例函數(shù)，當送奶數(shù)量大于瓶是一次函數(shù)；
乙甲公司的周薪是送奶數(shù)量是一次函數(shù)．
∴選項A符合題意．
故選：A．
10．如圖，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圓弧，讀數(shù)時視線要與液面相切于最低點C（即弧中點）．小溫想探究仰視、俯視對讀數(shù)的影響，當他俯視點C時，記錄量筒上點D的高度為37mm；仰視點C（點E，C，B在同一直線），記錄量筒上點E的高度為23mm，若點D在液面圓弧所在圓上，量筒直徑為10mm，則平視點C，點C的高度為（ ）mm．
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理和勾股定理．作出圖形，證明是的直徑，由垂徑定理得，求得的直徑為14，再根據(jù)三角形中位線定理結(jié)合勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，交于點，
∵，
∴是的直徑，
由垂徑定理得，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直徑為14，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點F的高度即點C的高度為，
故選：A．
第Ⅱ卷
填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11．計算的結(jié)果是 ．
【答案】
【分析】本題考查二次根式的混合運算，利用乘法分配律計算即可．
【詳解】原式
，
故答案為：．
12．如圖所示，未來公園的廣場背景墻上有一系列用灰磚和白磚鋪成的圖案，圖①有1塊灰磚，8塊白磚；圖②有4塊灰磚，12塊白磚；以此類推．若某個圖案中有49塊灰磚，則此圖案中有 塊白磚．
【答案】32
【分析】本題主要考查根據(jù)圖中圖形的變化情況，通過歸納與總結(jié)得出變化規(guī)律的能力，先找到規(guī)律：每一個圖案均比前一個圖案多4塊白色瓷磚，第n個圖案中，白色瓷磚的個數(shù)為，黑色瓷磚塊數(shù)為塊，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)圖形分別得出各個圖形中白色瓷磚的個數(shù)分別為8、12、16、20…，
由此可得出規(guī)律：每一個圖案均比前一個圖案多4塊白色瓷磚，
∴第n個圖案中，白色瓷磚的個數(shù)為，
根據(jù)圖形分別得出各個圖形中黑色瓷磚的個數(shù)分別為1、4、9…，
由此可得出規(guī)律：第n個圖形中灰色瓷磚的塊數(shù)為：塊，
∴某個圖案中有49塊灰磚，則該圖案為第⑦個圖案，即，
∴此圖案中有白磚（塊）．
故答案為：32．
13．“中國古村看呂梁，呂梁景點甲天下”．在“我可愛的家鄉(xiāng)”主題班會中，老師準備了A“九曲黃河第一鎮(zhèn)”磧口古鎮(zhèn)，B“三晉第一名山”北武當山，C“群峰環(huán)列同卦象”的卦山，D“中國佛教凈土宗”發(fā)源地懸中寺，這四個特色古村的照片各一張，并將它們背面朝上放置（照片大小及背面完全相同）．甲同學(xué)從中隨機抽取一張不放回，乙同學(xué)再從剩下的照片中隨機抽取一張，然后甲、乙根據(jù)抽取的照片對古村作相關(guān)介紹．則兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的概率是 ．

【答案】
【分析】先統(tǒng)計出甲、乙抽取情況的組合數(shù)量，再統(tǒng)計出兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的數(shù)量，根據(jù)概率的公式進行計算即可．
【詳解】解：總共有四張照片，
∵甲、乙兩個同學(xué)抽取的組合總共有：；；；；；；；；；；，總計12種，
當甲、乙兩個同學(xué)抽取的組合為和時，兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”，
∴兩人恰好介紹“磧口古鎮(zhèn)”和“北武當山”的概率為：；
故答案為：．
14．如圖，已知的面積為12，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為 ．
【答案】4
【分析】由作圖知M，N分別為的中點，利用中位線定理得出，再利用等底同高三角形面積相等得，最后利用相似比得出面積比，即可得解；
【詳解】連，由作圖知M，N分別為的中點，
∴，
由等底同高三角形面積相等得
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案為：4
15．如圖是一張菱形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊上，將紙片分別沿著與折疊，使D與B落在對角線上點G處，若恰好，則 ．

【答案】
【分析】連接, 設(shè) , 根據(jù) ，可得的值， 再利用 ，得，進而解決問題.
【詳解】如圖, 連接,

設(shè)
，
，
，
，
，
，
∵四邊形是菱形,
∴,
即,
解得,
∴,,
∴,,
∴,
設(shè),,
則,
∵, ,
∴,
，即
整理得
，
化簡得
則
解得
，
故答案為：
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（10分）（1）計算：；
（2）因式分解：．
小剛的解題過程如下：
第一步
第二步
．第三步
請問小剛同學(xué)第一步變形用到的乘法公式是①__________（寫出用字母a，b表示的乘法公式）；
小穎說他的步驟中有錯誤，并指出第②_______步出現(xiàn)了錯誤；
請用小剛的思路給出這道題的正確解法．
【答案】（1）；（2）①，②二，正確解法見解析
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)的混合運算順序，以及因式分解的方法和步驟．
（1）先將0次冪，算術(shù)平方根，負整數(shù)冪化簡，再進行計算即可；
（2）先根據(jù)平方差公式，將第二個括號進行因式分解，再提取公因式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：①小剛同學(xué)第一步變形用到的乘法公式是，
故答案為：；
②第二步有錯，
故答案為∶二；
這道題的正確解法如下：
．
17．（7分）【調(diào)查活動】
小峰同學(xué)為了完成老師布置的社會活動作業(yè)：《A市初中生閱讀水平的現(xiàn)狀》，
隨機走訪了A市的甲、乙兩所初中，收集到如下信息：
①甲、乙兩校圖書室各藏書18000冊；
②甲校比乙校人均圖書冊數(shù)多2冊；
③甲校的學(xué)生人數(shù)比乙校的人數(shù)少．
【交流質(zhì)疑】
小峰把收集的信息和組內(nèi)的同學(xué)交流后，一位同學(xué)表達了自己的看法，認為小峰同學(xué)沒有收集到甲、乙兩校的“人數(shù)”和“人均圖書冊數(shù)”等重要信息，沒法進行系統(tǒng)研究．
(1)【問題解決】
聰明的你有何看法？請你根據(jù)上述三個信息，就甲、乙兩校的“人數(shù)”或“人均圖書冊數(shù)”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程．
(2)【解后反思】
以上解題的過程，很好地詮釋了方程在解決實際問題中的作用，這充分體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？
【答案】(1)見解析
(2)方程思想
【分析】（1）問題：甲、乙兩校的人數(shù)各是多少？設(shè)乙校的人數(shù)為x人．根據(jù)“甲校比乙校人均圖書冊數(shù)多2冊”可列方程，即可；問題：甲、乙兩校的人均圖書冊數(shù)各是多少？設(shè)乙校的人均圖書冊數(shù)為x人．根據(jù)“甲校的學(xué)生人數(shù)比乙校的人數(shù)少”可列方程，即可；
（2）這充分體現(xiàn)了方程思想，即可．
【詳解】（1）解：問題：甲、乙兩校的人數(shù)各是多少？
設(shè)：乙校的人數(shù)為x人．根據(jù)題意可列方程：

解得：
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
人 ，
答：甲、乙兩校的人數(shù)各是900人、1000人．
問題：甲、乙兩校的人均圖書冊數(shù)各是多少？
設(shè)：乙校的人均圖書冊數(shù)為x人．根據(jù)題意可列方程：

解得：
經(jīng)檢驗，是原方程得解，且符合題意，
冊
答：甲、乙兩校的人均圖書冊數(shù)各是20冊、18冊．
（2）解后反思：方程思想
18．（8分）為促進我區(qū)初中數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，我區(qū)教體局擬在2023年7月組織初中數(shù)學(xué)學(xué)科命題比賽，某教學(xué)集團在進行初賽時，按照兩個環(huán)節(jié)進行．
環(huán)節(jié)一：評委分別從幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識、運算能力、模型觀念這六大核心素養(yǎng)按照每項100分對參賽試題進行評分，后再按權(quán)重比例100分制記入總分；
環(huán)節(jié)二：參賽教師在幾何直觀、創(chuàng)新意識、推理能力、模型觀念四個素養(yǎng)中隨機抽取兩大素養(yǎng)對試題進行說題，評委按照每項100分進行評分，后各占50%記入總分
評委對1號參賽試題的評分如圖表①所示；10套參賽試題中“創(chuàng)新意識”的評分如圖表②所示．
圖表①
(1)圖表②中10個“創(chuàng)新意識”成績，眾數(shù)是________，中位數(shù)是________．
(2)如果幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識、運算能力、模型觀念的成績按計算，請根據(jù)圖表①計算1號參賽試題在第一環(huán)節(jié)中的得分．
(3)張老師在環(huán)節(jié)二中，隨機抽取了兩大素養(yǎng)，請用樹狀圖或列表法，求張老師同時抽到“推理能力”和“模型觀念”的概率．
【答案】(1)90；
(2)
(3)
【分析】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)，列表法或畫樹狀圖求概率．
（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解；
（2）根據(jù)圖表①，利用加權(quán)平均數(shù)即可求解；
（3）畫出樹狀圖即可求解．
【詳解】（1）解：由圖表②知，90出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為90；
中位數(shù)為：；
故答案為：90；；
（2）解：；
答：計算1號參賽試題在第一環(huán)節(jié)中的得分為；
（3）解：幾何直觀、創(chuàng)新意識、推理能力、模型觀念分別有1、2、3、4表示，畫出的樹狀圖如下：
共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽到推理能力、模型觀念的結(jié)果有2種，
則抽到推理能力、模型觀念的概率為：．
（8分）修建于清乾隆二年（1737年）的山西臨縣文峰塔，塔為樓閣式塔，塔基是用當?shù)厣缴鲜^，細鑿成石塊砌成，塔身為磚結(jié)構(gòu)，塔八角九級，每級四個窗口，十字對開，可謂八面來風(fēng)。登塔遠眺，縣城風(fēng)光一覽無余，湫川風(fēng)景盡收眼底。某綜合與實踐小組開展了測量文峰塔塔身的高度項目化學(xué)習(xí)活動，活動報告如下：
請運用所學(xué)知識，根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，計算文昌閣閣身的高度．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）
【答案】43m
【分析】過點作于點于點，則四邊形是矩形．設(shè)，則，AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4
再求得，得到x+2≈1.54x(x-18)
解方程即可得到文峰塔塔身的高度．
【詳解】解：過點作于點于點，如圖所示，則四邊形是矩形．

∴．
由題意，可知．BG=GE=CH=2 DH=18, ∠ADE=45°,∠ACG=57°
設(shè)，則AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4
．∵，
∴DE=AE=x+4，
∴． CG=HE=DE-DH=x-14
在中，∵，
∴，即x+2~1.54x(x-14)
解得x≈43.6．
答：文峰塔塔身的高度約為43.6m．
20．（9分）【閱讀與思考】平移是初中幾何變換之一，它可以將線段和角平移到一個新的位置，從而把分散的條件集中到一起，使問題得以解決．
【問題情景】如圖1，在正方形中中，E、F、G分別是、、上的點，于點O，求證：．
小明嘗試平移線段到，構(gòu)造≌，使問題得到解決．
(1)【閱讀理解】按照小明的思路，證明≌的依據(jù)是_______；
(2)【嘗試應(yīng)用】
如圖2，在5×6的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D為格點，交于點M．則的度數(shù)為_________；
(3)如圖3，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，與相交于點P，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】對于（1），根據(jù)正方形的性質(zhì)得出兩組角及夾邊對應(yīng)相等，即可得出答案；
對于（2），平移至，根據(jù)勾股定理可得是直角三角形，進而求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案；
對于（3），平移至，根據(jù)勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案．
【詳解】（1）∵四邊形是正方形，
∴，，
∴．
∵，且，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴≌．
故答案為：；
（2）將平移至，
設(shè)正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理可知，，，
∴，且，
∴是直角三角形，且，
∴．
∵，
∴．
故答案為：；
（3）將平移至，
設(shè)正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理，得，，，
∴，，，
∴是直角三角形，且，
則．
∵，
∴，
∴．
21.（8分）項目化學(xué)習(xí)
為提高學(xué)生的勞動技能和實踐水平，某學(xué)校經(jīng)過多方努力，準備用柵欄圍建一塊的勞動實踐基地，并向全校發(fā)布了基地設(shè)計方案征集公告．為此，九年級（1）班開展了“我為創(chuàng)建勞動實踐基地建言獻策”的項目化學(xué)習(xí)．在進行“任務(wù)一：規(guī)劃實踐基地形狀”時，“智慧小組”欲將基地設(shè)計為矩形，以便分割區(qū)域進行種植．這樣的設(shè)計合理嗎？也就是，是否存在滿足學(xué)校所給條件的矩形呢？該小組的同學(xué)們積極思索，想到了如下解決方法：
【問題解決】
慧慧的思路是：利用一元二次方程解決．假設(shè)存在這樣的矩形，設(shè)矩形的其中一條邊長為，根據(jù)題意，可得到一個一元二次方程，通過判斷方程是否有解即可確定是否存在這樣的矩形．
敏敏的思路是：利用函數(shù)圖象解決．假設(shè)存在這樣的矩形，設(shè)矩形相鄰兩邊長分別為，，可得，，滿足要求的可以看作是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標．于是，可以通過看函數(shù)圖象中是否有這樣的交點確定矩形的存在性．
(1)請你分別按照以上兩位同學(xué)的思路解決問題：是否存在滿足學(xué)校所給條件的矩形？
(2)在解決問題（1）的過程中，你獲得什么啟示？（寫出一點即可）
【答案】(1)存在，見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查一元二次方程以及函數(shù)的圖像性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)兩種思路分別計算即可；
（2）根據(jù)題意進行總結(jié)即可．
【詳解】（1）解：假設(shè)存在這樣的矩形，且相鄰兩邊的長分別為和，
根據(jù)題意，可得，
化簡，得．
在這里，，，
．
原方程有實數(shù)根．
存在滿足學(xué)校所給條件的矩形．
解法二．假設(shè)存在這樣的矩形，其相鄰兩邊長分別為，，則，，
在同一直角坐標系中，的圖象如下：
因為兩個函數(shù)圖象有交點，所以存在滿足學(xué)校所給條件的矩形．
（2）解：答案不唯一，如：方程和函數(shù)是解決實際問題常用的數(shù)學(xué)模型；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用思想方法；方程和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系等．
22．（12分）綜合與實踐
【問題情境】
綜合與實踐課上，老師發(fā)給每位同學(xué)一張正方形紙片．在老師的引導(dǎo)下，同學(xué)們在邊上取中點E，取邊上任意一點F（不與C，D重合），連接，將沿折疊，點C的對應(yīng)點為G，然后將紙片展平，連接并延長交所在的直線于點N，連接．探究點F在位置改變過程中出現(xiàn)的特殊數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系．
【探究與證明】
（1）如圖1，小亮發(fā)現(xiàn)：．請證明小亮發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）如圖2、圖3，小瑩發(fā)現(xiàn)：連接并延長交所在的直線于點H，交于點M，線段與之間存在特殊關(guān)系．請寫出小瑩發(fā)現(xiàn)的特殊關(guān)系，并從圖2、圖3中選擇一種情況進行證明．
【應(yīng)用拓展】
（3）在圖2、圖3的基礎(chǔ)上，小博士進一步思考發(fā)現(xiàn)：將所在直線與所在直線的交點記為P，若給出和的長，則可以求出的長．
請根據(jù)題意分別在圖2、圖3上補畫圖形，并嘗試解決：當時，求的長．
【答案】（1）見詳解；（2）；（3）或
【分析】（1）利用證明得，可得，即可求證；
（2）由折疊得對稱軸垂直平分對應(yīng)點連線段，所以，繼而可知，再由，E為中點，即可求證；
（3）第一種情況，當點P在點H左側(cè)，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”證明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二種情況，當點P在點H右側(cè)，求解方法仿照第一種情況即可．
【詳解】（1）證明：∵正方形
∴，
∵將沿折疊，
∴，
∵E為中點，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2），選擇圖2進行證明．
將沿折疊，
則，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而E為中點，
∴，
∴．
（3）第一種情況，當點P在點H左側(cè)，如圖2，
∵，E為中點，
∴，而
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，∵，
∴；
第二種情況，當點P在點H右側(cè)，如圖3，
同理可求，此時，
∵，
∴ ，
∴，
同理可得，
∴，
∴，∵，
∴．
綜上所述，或．
（13分）綜合與探究：
如圖1，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于，兩點，二次函數(shù)的圖象過，兩點，且與軸交于另一點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點是二次函數(shù)圖象的一個動點，設(shè)點的橫坐標為，若．求的值；
（3）如圖2，過點作軸交拋物線于點．點是直線上一動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標：若不存在，請說明理由．
【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）m的值為或；（3）點N的坐標為(，)或(，)或(，)．
【分析】（1）先求得點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）先求得，∠ABP，設(shè)直線BP交軸于E，利用待定系數(shù)法求得直線BE的解析式，解方程組即可求解；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分①當CN為對角線、②DN為對角線、③CD為對角線三種情況討論，根據(jù)圖形分別求解即可．
【詳解】（1）∵一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點，
令，則，令，則，
∴B(4，0)，C (0，)，
把B(4，0)，C (0，)代入，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）∵B(4，0)，C (0，)，
∴OB=4，OC=，
∴，∴，
若∠ABC=2∠ABP，則∠ABP，
設(shè)直線BP交軸于E，
,
∴OE=，
∴E1(0，)或E2 (0，)，
設(shè)直線BE1的解析式為，
∵B(4，0)，
∴，
∴直線BE1的解析式為，
解方程，
整理得，
∴，即m的值為；
同理可求得直線BE2的解析式為，
解方程，
整理得，
∴，即m的值為；
綜上，m的值為或；
（3）由（2）知，
∵CD//x軸，
∴，即，
拋物線的對稱軸為，
∴CD=2，
設(shè)點M的坐標為(，)，如圖：
①當CD、CM為邊，CN為對角線時，
則CD=CM=2，△MDC是等邊三角形，
∴點M在線段CD的垂直平分線上，
∴，
∴點M的坐標為(，)，
∴點N1的坐標為(，)；
②當CD、DM為邊，DN為對角線時，
同理可得點N2的坐標為(，)；
③當CD為對角線時，
根據(jù)菱形的對稱性知：點M與點N關(guān)于對角線CD對稱，
∴點N3的坐標為(，)；
綜上，點N的坐標為(，)或(，)或(，)．（1）
（2）
（3）
（4）
甲公司
一星期內(nèi)送出的前瓶牛奶，每瓶牛奶元，此后，每多送一瓶每瓶多元．
乙公司
底薪元．此外，每送出一瓶牛奶將額外有元．
幾何直觀
推理能力
創(chuàng)新意識
應(yīng)用意識
運算能力
模型觀念
評分
85
90
90
80
70
75
項目主題
測量文峰塔塔身的高度
活動目的
經(jīng)歷項目化活動過程，引導(dǎo)學(xué)生在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用三角函數(shù)知識解決實際問題
活動工具
測角儀、皮尺等測工具
示意圖

測量步驟
如圖：（1）利用測角儀在塔底D處測得文峰塔頂點A的仰角為；
（2）利用測角儀在塔底C處測得的文峰塔頂點A的仰角為；
（3）利用皮尺測量每個臺階的高度計算出兩處臺階的高度均為2m（即點B和點C，點C和點D的垂直距離均為2m），
利用皮尺測量每個臺階的寬度及點C和點D到臺階邊緣的距離計算出點C和點D的水平距離為18m（已知A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)）