2024年高考押題預測卷—數(shù)學（北京卷02）（參考答案）

這是一份2024年高考押題預測卷—數(shù)學（北京卷02）（參考答案），共8頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11． 12． 4 13． 1 14．4 3或4 15．②③
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
16．（14分）
【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性質，得出和，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出平面；
（2）連接，交于點，連接，結合三角形的中位線得出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出平面；
（3）連，交于點，分別取、中點、，連接、、，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證出平面和平面，從而得出就是二面角的平面角，最后利用幾何法求出二面角的余弦值．
【詳解】解：（1）證明：，是中點，，
又在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面．
（2）證明：連接，交于點，連接，
、分別是、的中點，
是的中位線，，
平面，平面，
平面
（3）解：連，交于點，分別取、中點、，連接、、，
四邊形是正方形且、分別是、的中點，故，
在中，，，
，，
又，分別是，中點且，
，
又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
，
，平面，平面，
平面，
平面，平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，
平面，，
又平面平面
就是二面角的平面角，
設，則在中，，
，
故，
故，
即二面角的余弦值為.
【點睛】本題考查線面垂直和線面平行的判定定理，以及利用幾何法求解二面角余弦值，還涉及三角形中位線和勾股定理的逆定理的運用，考查推理證明能力和運算能力.
17．（13分）
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合同角公式計算即得.
（2）選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件②，利用正弦定理計算判斷三角形不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積.
【詳解】（1）由得：，而，
則，為銳角，又，解得，
所以且為銳角.
（2）若選條件①，由，為銳角，得，
由余弦定理得，又，則，
解得唯一確定，所以.
若選條件②，由正弦定理得，則，
由，得，因此角有兩解，分別對應兩個三角形，不符合題意.
若選條件③，由，為銳角，得，
又，得，，則，
因此唯一確定，
由正弦定理得，則，所以.
18．（13分）
【分析】（1）由題意得，，從而求解，再結合表格數(shù)據(jù)與學生總人數(shù)求解；（2）先求解樣本符合題意的概率，然后由樣本估計總體，得全市學生符合題意的概率，從而利用對立事件的概率公式求解；（3）表示出參賽學生理論競賽的平均成績與方差，從而得關于二次函數(shù)，由的取值范圍與二次函數(shù)的性質從而求解得答案.
【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項成績?yōu)?00分的學生
共有人，則，
得，又，
得
（2）由（1）知，從20位理論成績?yōu)?00分的學生中抽取1人，
操作成績也為300分的概率為，所以從全市理論成績?yōu)?00分的學生中，
隨機抽取2人，至少有一個人操作的成績?yōu)?00分的概率為
（3）由題意，，
設理論競賽的分數(shù)為，則取值為，
對應的人數(shù)分別為，所以參賽學生理論競賽的平均成績?yōu)?br>，
所以參賽學生理論成績的方差為
因為，所以當時，最小.
【點睛】求解本題的關鍵是將理論競賽分數(shù)對應的人數(shù)表示為的多項式，然后求解均值與方差，從而轉化為關于的二次函數(shù)的最值問題.
19．（15分）
【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點坐標，結合斜率的計算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案；
（2）由題意，利用三角形中線性質，分割三角形，整理三角形面積表達式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達定理，求得面積表達式中的變量，利用基本不等式，可得答案.
【詳解】（1）由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以橢圓的標準方程為．
（2）顯然直線經過x軸上的定點，設，，
則由橢圓的對稱性得，
聯(lián)立，消去x得．
恒成立，所以，．
．
令，顯然有，于是，當，即時取等號．
因此的面積S的最大值為．
20．（15分）
【分析】（1）對，進行求導，已知在交點處有相同的切線，從而解出的值及該切線的方程；
（2）由條件知，對進行求導，分兩種情況進行討論：①；②，從而求其最小值的解析式；
【詳解】（1）解：，
由已知得，解得，
兩條直線交點的坐標為，切線的斜率為，
切線的方程為，即切線的方程為.
（2）解：由條件知
①當時，令，解得，
當時，在上遞減；當時，在上遞增，
是在上的唯一極值點，從而也是的最小值點，
最小值點，.
②當時，在上遞增，無最小值，故的最小值的解析式為.
【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性從而求最值、分類討論思想.屬于難題.分類討論思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點. 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用與解題當中.
21．（15分）
【分析】（1）直接利用信息求出數(shù)列的項．
（2）利用恒成立問題和函數(shù)的單調性，求出λ的取值范圍．
（3）直接利用分類討論思想求出數(shù)列的通項公式．
【詳解】（1）數(shù)列為“Γ數(shù)列”中，，
所以：當時，時，，
又，即：，
，．
（2）因為數(shù)列是“Γ數(shù)列”，且，所以：，
則：數(shù)列前4n項中的項b4n-3是以2為首項，6為公差的等差數(shù)列．
易知{b4n}的項后按原來的順序構成一個首項為4，公差為2的等差數(shù)列．
所以：
，
．
由于不等式對恒成立，
所以：，
設，
則：，
所以：
當時，，
當時，，
所以：
所以的最大值為．
即．
（3）為等比數(shù)列，設數(shù)列的公比，
由等比數(shù)列的通項公式：，
當時，，
即：，
①，則，故：．
②當時，則：，
所以為常數(shù)，則，k為偶數(shù)時，
經檢驗，滿足條件數(shù)列的通項公式為：或．
【點睛】本題考查的知識要點是數(shù)列的通項公式的求法及應用，函數(shù)的單調性的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．
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