中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題題組練(四)含答案

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23．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝12eq \r(3) cm，BC＝12 cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿CA以2eq \r(3) cm/s的速度向點(diǎn)A移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4 cm/s的速度向點(diǎn)B移動．如果P，Q分別從C，A同時移動，移動時間為t(0＜t＜6) s.
(1)以CB為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O相切？
(2)是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在請說明理由．
解：(1)連接CM，OM，
當(dāng)PM⊥OM時，PM與⊙O相切，
PC＝PA＝eq \f(1,2)CA＝6eq \r(3) cm，
當(dāng)2eq \r(3)t＝6eq \r(3)，解得t＝3，
即當(dāng)t＝3時，PM與⊙O相切．
(2)存在△APQ為等腰三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝12eq \r(3) cm，BC＝12 cm，
∴tan B＝eq \f(AC,BC)＝eq \r(3)，
∴∠B＝60°，∠A＝30°，
當(dāng)PQ＝AQ時，如答圖①，
解得t＝2；
當(dāng)AP＝AQ時，如答圖②，
解得t＝12eq \r(3)－18；
當(dāng)PQ＝PA時，如答圖③，
解得t＝eq \f(18,5).
綜上所述，存在△APQ為等腰三角形，t的值為2，12eq \r(3)－18或eq \f(18,5).
24．(8分)已知二次函數(shù)解析式為y＝x2－bx＋2b－3.
(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，2)和點(diǎn)(m，n)時，等式m2－4m－n＝－5是否成立？并說明理由；
(2)已知點(diǎn)P(4，5)和點(diǎn)Q(－1，－5)，且線段PQ與拋物線只有一個交點(diǎn)，求b的取值范圍．
解：(1)成立，
理由：將(1，2)代入y＝x2－bx＋2b－3得
2＝1－b＋2b－3，解得b＝4，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2－4x＋5，
將(m，n)代入y＝x2－4x＋5得n＝m2－4m＋5，
∴m2－4m－n＝－5.
(2)設(shè)PQ所在直線解析式為y＝mx＋n，
將P(4，5)，Q(－1，－5)代入y＝mx＋n得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＝4m＋n，,－5＝－m＋n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－3，))
∴直線PQ的解析式為y＝2x－3.
令x2－bx＋2b－3＝2x－3，整理得
x2－(b＋2)x＋2b＝(x－b)(x－2)＝0，
∴拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝b，x2＝2，
當(dāng)b＝2時，拋物線與直線只有1個交點(diǎn)，
∵－1＜2＜4，∴拋物線與直線交點(diǎn)在線段PQ上，符合題意．
將x＝2代入y＝2x－3得y＝1，
∴拋物線與線段PQ有一個交點(diǎn)為(2，1)，
∴拋物線與直線PQ的另一交點(diǎn)不在線段PQ上，∴b＜－1或b＞4符合題意，
綜上所述，b＝2或b＜－1或b＞4.