第一章 整式的乘除（7大考點(diǎn)七5題）-【?？?jí)狠S題】2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（北師大版）

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一、與冪有關(guān)的運(yùn)算
類(lèi)型一、同底數(shù)冪的乘法
\l "類(lèi)型二、冪的乘方與積的乘方" 類(lèi)型二、冪的乘方與積的乘方
\l "類(lèi)型三、同底數(shù)冪的除法" 類(lèi)型三、同底數(shù)冪的除法
二、整式的乘法
\l "類(lèi)型一、多項(xiàng)式乘法的及其應(yīng)用" 類(lèi)型一、多項(xiàng)式乘法的及其應(yīng)用
\l "類(lèi)型二、平方差公式及其應(yīng)用" 類(lèi)型二、平方差公式及其應(yīng)用
\l "類(lèi)型三、完全公式及其應(yīng)用" 類(lèi)型三、完全公式及其應(yīng)用
\l "類(lèi)型四、配方法的應(yīng)用" 類(lèi)型四、配方法的應(yīng)用
一、與冪有關(guān)的運(yùn)算
類(lèi)型一、同底數(shù)冪的乘法
1．已知，，，現(xiàn)給出3個(gè)數(shù)a，b，c之間的四個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④．其中，正確的關(guān)系式是（填序號(hào)）．
【答案】①②③
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求出a、b、c的關(guān)系，代入各式驗(yàn)證即可．
【詳解】解：∵，，．
∴，，，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正確；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，
所以a+b＝2c﹣3，因此②正確；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確；
④b＝a+1，因此④不正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③三個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則，得出a、b、c的關(guān)系．
2．已知一列數(shù)：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，將這列數(shù)按如右圖所示的規(guī)律排成一個(gè)數(shù)陣，其中，4在第一個(gè)拐彎處，-8在第二個(gè)拐彎處，-32在第三個(gè)拐彎處，-128在第四個(gè)拐彎處，……，則第六個(gè)拐彎處的數(shù)是，第一百個(gè)拐彎處的數(shù)是．
【答案】
【分析】設(shè)第n個(gè)拐彎處的數(shù)為，由已知數(shù)據(jù)可以分析得到當(dāng)時(shí)，n為奇數(shù)，，當(dāng)n為偶數(shù)，，由此進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)第n個(gè)拐彎處的數(shù)為
由題意知：，，，，
觀察可得：，，，
∴當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,
∴，即第六個(gè)拐彎處的數(shù)是．
故答案為：
∴第一百個(gè)拐彎處的數(shù)是
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的規(guī)律探索以及同底數(shù)冪相乘的計(jì)算法則，能夠由已知數(shù)據(jù)得到通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．
3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，將此正方形按照下面的方法進(jìn)行剪貼：第一次操作，先沿正方形的對(duì)邊中點(diǎn)連線剪開(kāi)，然后粘貼為一個(gè)長(zhǎng)方形，其中疊合部分長(zhǎng)為1，則此長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，第二次操作，再沿所得長(zhǎng)方形的對(duì)邊（長(zhǎng)方形的寬）中點(diǎn)連線剪開(kāi)，然后粘貼為一個(gè)新的長(zhǎng)方形，其中疊合部分長(zhǎng)為l，……如此繼續(xù)下去，第n次操作后得到的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為．
【答案】
【分析】先求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式即可得；然后利用同樣的方法求出第二次、第三次操作后得到的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得．
【詳解】解：第一次操作后得到的長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，
則第一次得到的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，
第二次操作后得到的長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，
第三次操作后得到的長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，
歸納類(lèi)推得：第次操作后得到的長(zhǎng)方形的寬為，
觀察發(fā)現(xiàn)，第一次操作后得到的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，
第二次操作后得到的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，
第三次操作后得到的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，
歸納類(lèi)推得：第次操作后得到的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，
則第次操作后得到的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形規(guī)律探索、同底數(shù)冪的乘法，正確歸納類(lèi)推出長(zhǎng)與寬的一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
4．為了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，則2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S﹣S=22015﹣1，所以1+2+22+23+…+22014=22015﹣1，仿照以上推理，計(jì)算1+5+52+53+…+52018=．
【答案】
【分析】根據(jù)題目所給計(jì)算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再兩邊同時(shí)乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，進(jìn)而求出S的值．
【詳解】解：令S=1+5+52+53+…+52018，
則5S=5+52+53+…+52018+52019，
5S﹣S=﹣1+52019，
4S=52019﹣1，
則S=．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，利用錯(cuò)位相減法，消掉相關(guān)值，是解題的關(guān)鍵．
5．現(xiàn)有若干張卡片，分別寫(xiě)有1，，4，，16，，……，小明從中取出三張卡片，要滿足三張卡片上的數(shù)字乘積為，其中三數(shù)之和的最大值記為A，最小值記為B，則的值等于．
【答案】
【分析】由題意知，卡片數(shù)字為，，，，，，……，則使三數(shù)之和最大的三個(gè)數(shù)為，，，即，使三數(shù)之和最小的三個(gè)數(shù)為，，，即，然后代入計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，卡片數(shù)字為，，，，，，……
∵三張卡片上的數(shù)字乘積為，
∴使三數(shù)之和最大的三個(gè)數(shù)為，，，
∴，
∴使三數(shù)之和最小的三個(gè)數(shù)為，，，
∴，
∴
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，有理數(shù)的加減運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于確定使三數(shù)之和最大的三個(gè)數(shù)于使三數(shù)之和最小的三個(gè)數(shù)．
6．（1）已知：則的值是_____
（2）如果記那么_____
（3）若則x=_____
（4）若則_____
【答案】（1）2001
（2）
（3）
（4）﹣120
【分析】（1）根據(jù)題意，得到；再將原式進(jìn)行變形即可得出答案
（2）先設(shè)原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后將a代入即可
（3）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算公式對(duì)原式進(jìn)行變形，然后進(jìn)而的出答案
（4）采用賦值法進(jìn)行計(jì)算
【詳解】（1）由題意得：；
∴======2001
（2）設(shè)，則；
∴，即
∴原式=
（3）=?==192
∴
∴
∴
（4）當(dāng)x=1時(shí)，1= ……①
當(dāng)x=﹣1時(shí)，= ……②
當(dāng)x=0時(shí)，1=
①＋②==
即=
∴=＋1=﹣120
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的變形求值，掌握各類(lèi)代數(shù)式求值的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵
7．閱讀下面的文字,回答后面的問(wèn)題：
求的值.
解：令
將等式兩邊同時(shí)乘以5得到:
②-①得:
∴即
問(wèn)題:(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)已知材料的方法解答即可（2）先把式子化簡(jiǎn)成與題干中的式子一致的形式再解答.
【詳解】解：（1）令
將等式兩邊同時(shí)乘以2得到:
②-①得:
∴即
（2）
令
將等式兩邊同時(shí)乘以3得到:
②-①得:
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)同底數(shù)冪的乘法的應(yīng)用，能根據(jù)材料正確找到做題方法是解題關(guān)鍵.
8．閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：
設(shè)①
則②
②①得，．
請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
（4）求的和（其中且）．（請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
【答案】（1）221?2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝①，則2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①即可得結(jié)果；
（2）設(shè)s＝①，s＝②，②?①即可得結(jié)果；
（3）設(shè)s＝①，-2s＝②，②?①即可得結(jié)果；
（4）設(shè)s＝①，as＝②，②?①得as-s=-a-，同理：求得-，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：根據(jù)閱讀材料可知：
（1）設(shè)s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②?①得，2s?s＝s＝221?2；
故答案為：221?2；
（2）設(shè)s＝①，
s＝②，
②?①得，s?s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案為：2-；
（3）設(shè)s＝①
-2s＝②
②?①得，-2s?s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）設(shè)s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
設(shè)m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料進(jìn)行計(jì)算．
9．在某多媒體電子雜志的一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個(gè)正方形，設(shè)每邊長(zhǎng)為a，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，如此連續(xù)作幾次，便可構(gòu)成一朵絢麗多彩的雪花圖案（如圖（3））．下列步驟：
（1）作一個(gè)正方形，設(shè)邊長(zhǎng)為a（如圖（1）），此正方形的面積為；
（2）對(duì)正方形進(jìn)行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，得到圖（2），此圖形的周長(zhǎng)為；
（3）重復(fù)上述的作法，圖（1）經(jīng)過(guò)第次分形后得到圖（3）的圖形；
（4）觀察探究：上述分形過(guò)程中，經(jīng)過(guò)n次分形得到的圖形周長(zhǎng)是，面積是．
【答案】 2
【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式即可求解；
（2）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對(duì)正方形每進(jìn)行1次變化，周長(zhǎng)增加1倍，故可求解；
（3）根據(jù)正方形雪花圖案的形成過(guò)程，觀察圖形，可知對(duì)正方形每進(jìn)行1次分形，周長(zhǎng)增加1倍，由圖（3）的圖形，得出圖（1）經(jīng)過(guò)第2次分形后即可得到；
（4）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對(duì)正方形每進(jìn)行1次分形，周長(zhǎng)增加1倍；每增加一個(gè)小正方形同時(shí)又減少一個(gè)相同的小正方形，即面積不變．
【詳解】（1）作一個(gè)正方形，設(shè)邊長(zhǎng)為a（如圖（1）），此正方形的面積為；
（2）對(duì)正方形進(jìn)行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，得到圖（2），原圖形的周長(zhǎng)為4a，
觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對(duì)正方形每進(jìn)行1次變化，周長(zhǎng)增加1倍，故此時(shí)圖形的周長(zhǎng)為；
（3）重復(fù)上述的作法，圖（1）經(jīng)過(guò)第2次分形后得到圖（3）的圖形；
（4）觀察探究：上述分形過(guò)程中，對(duì)正方形每進(jìn)行1次分形，周長(zhǎng)增加1倍；每增加一個(gè)小正方形同時(shí)又減少一個(gè)相同的小正方形，即面積不變．
∴經(jīng)過(guò)n次分形得到的圖形周長(zhǎng)是4a×2n=，面積是．
故答案為；；2；；．
【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和概括能力，觀察出后一個(gè)圖形的周長(zhǎng)比它的前一個(gè)增加1倍是解題的關(guān)鍵，本題有一定難度．
類(lèi)型二、冪的乘方與積的乘方
10．已知整數(shù)滿足且，則的值為．
【答案】2
【分析】根據(jù)3不是10000的公約數(shù)，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【詳解】∵，3不是10000的公約數(shù)，
∴
則b=0
∴
∵整數(shù)滿足
∴符合題意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算法則及特點(diǎn)．
11．已知6x=192，32y=192，則（-2019）（x-1）（y-1）-1=.
【答案】1
【分析】由6x=192，32y=192，推出6x=192=32×6，32y=192=32×6，推出6x-1=32，32y-1=6，可得（6x-1）y-1=32y-1=6，推出（x-1）（y-1）=1，最后計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵6x=192，32y=192，
∴6x=192=32×6，32y=192=32×6，
∴6x-1=32，32y-1=6，
∴（6x-1）y-1=32y-1=6，
∴（x-1）（y-1）=1，
∴（-2019）（x-1）（y-1）-1=（-2019）0 =1，
故答案為1.
【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題.
12．如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．
(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：
若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=________．（a為正數(shù)）
(3)若d（2）=0.3010，分別計(jì)算d（4）；d（5）．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】（1）由“勞格數(shù)”的定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪解答即可；
（2）根據(jù)冪的乘方公式轉(zhuǎn)化求解即可；
（3）根據(jù)積的乘方公式、冪的乘方轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】（1）解：∵10b＝10，
∴b＝1，
∴d（10）＝1；
10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，
∴d（10﹣2）＝﹣2；
故答案為1，﹣2；
（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）
∴
故答案為3；
（3）解：∵d（2）＝0.3010，
∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，有理數(shù)的運(yùn)算；理解題意，將新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
13．如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)?，所以?br>(1)______ ；若，則______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)4，64
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；
（2）由題意可得出，，．根據(jù)，得出，即，進(jìn)而即可求出；
（3）①由題意可得出，，再根據(jù)，，即可求出；②根據(jù)，即得出，結(jié)合題意可得出．由①知，即得出，進(jìn)而得出，即說(shuō)明，代入中求值即可．
【詳解】（1）解：，
；
，且，
．
故答案為：，；
（2）解：，，，若，
，，．
，
，即，
；
（3）解：①，，
，，
，，
；
②，
，
．
由①知：，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，積的乘方與其逆用，冪的乘方與其逆用．熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
14．閱讀下列材料,并解決下面的問(wèn)題:
我們知道,加減運(yùn)算是互逆運(yùn)算,乘除運(yùn)算也是互逆運(yùn)算,其實(shí)乘方運(yùn)算也有逆運(yùn)算,如我們規(guī)定式子可以變形為也可以變形為.在式子中,3叫做以2為底8的對(duì)數(shù),記為一般地,若則叫做以為底的對(duì)數(shù),記為且具有性質(zhì):
其中且
根據(jù)上面的規(guī)定,請(qǐng)解決下面問(wèn)題:
(1)計(jì)算: _______(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)；
(2)已知請(qǐng)你用含的代數(shù)式來(lái)表示其中(請(qǐng)寫(xiě)出必要的過(guò)程).
【答案】（1）0;2（2）
【分析】（1）根據(jù)材料給出的運(yùn)算法則計(jì)算即可（2）先變形再帶入即可
【詳解】解：（1）
（2）已知
所以
【點(diǎn)睛】此題考查冪的乘方和積的乘方的應(yīng)用以及學(xué)生分析理解的能力，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.
15．找規(guī)律：觀察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按規(guī)律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的規(guī)律計(jì)算：113+123+133+143+…+503（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
（3）思維拓展：計(jì)算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）觀察等式右邊都是平方數(shù)，且底數(shù)正好是等式左邊各底數(shù)的和，依此規(guī)律類(lèi)推可分別解決以上兩個(gè)問(wèn)題；
（2）由于上面的等式都是從底數(shù)是1開(kāi)始的，所以可以把該式子前面的部分從1開(kāi)始補(bǔ)上，再把補(bǔ)上的部分減掉即可；
（3）該式中的底數(shù)并不是題干中所給出的從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)，因此不能直接用上述規(guī)律解題，但該式中的底數(shù)卻都是從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)的2倍，因此提出2后，各項(xiàng)都含有，逆用乘法分配律即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)式規(guī)律題，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)的觀察和分析的能力，首先學(xué)生應(yīng)對(duì)平方數(shù)有一定的認(rèn)識(shí)和感知力，這樣才能邁出解決問(wèn)題的第一步，其次學(xué)生要學(xué)會(huì)對(duì)不同的數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過(guò)它們的和差積商中的一種或多種組合找到它們的聯(lián)系，才能得出這道題的規(guī)律，建議在學(xué)習(xí)過(guò)程中多積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散思維，提高解決該類(lèi)問(wèn)題的效率．
類(lèi)型三、同底數(shù)冪的除法
16．設(shè)m，n是正整數(shù)，且，若與的末兩位數(shù)字相同，則的最小值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由題意可知是100的倍數(shù)，從而分析得到的末尾數(shù)字是01，設(shè)（t為正整數(shù)），由，分析判斷即可得到正確答案．
【詳解】解：由題意知，是100的倍數(shù)
∵與100互質(zhì)
∴是100的倍數(shù)
∴的末尾數(shù)字是01
∴的數(shù)值一定是偶數(shù)，且m，n是正整數(shù)，
設(shè)：（t為正整數(shù)）
則：
∵的末尾兩位數(shù)字為61，的末尾兩位數(shù)字為41，的末尾兩位數(shù)字為21，末尾兩位數(shù)字為01
∴t的最小值為5，
∴的最小值為10
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方，牢記相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
17．對(duì)于整數(shù)a、b定義運(yùn)算：（其中m、n為常數(shù)），如．
(1)填空：當(dāng)，時(shí)，__________；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)3
(2)81
【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算方法計(jì)算即可；
（2）根據(jù)條件結(jié)合新定義的運(yùn)算方法判斷出，，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：
，
故答案為：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算和冪的運(yùn)算法則，包括冪的乘方，同底數(shù)冪相乘的逆用，同底數(shù)冪相除的逆用，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用冪的運(yùn)算法則解決問(wèn)題．
18．觀察下面三行單項(xiàng)式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；
（2）第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；
（3）取每行的第9個(gè)單項(xiàng)式，令這三個(gè)單項(xiàng)式的和為當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）觀察第①行的前四個(gè)單項(xiàng)式，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得；
（2）分別觀察第②行和第③行的前四個(gè)單項(xiàng)式，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得；
（3）先計(jì)算整式的加減進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將x的值代入即可得．
【詳解】（1）第①行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，
第①行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，
第①行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，
第①行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，
歸納類(lèi)推得：第①行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，
則第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為，
故答案為：；
（2）第②行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，
第②行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，
第②行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，
第②行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，
歸納類(lèi)推得：第②行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，
則第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為，
第③行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，
第③行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，
第③行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，
第③行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，
歸納類(lèi)推得：第③行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，
則第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為，
故答案為：，；
（3）由題意得：，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
則，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律型問(wèn)題、整式的化簡(jiǎn)求值，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
19．閱讀理解：
我們通常學(xué)習(xí)的數(shù)都是十進(jìn)制數(shù)，使用的數(shù)碼共有10個(gè)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具體數(shù)時(shí)采用“逢十進(jìn)一”的原則，比如：，（這里我們規(guī)定：a≠0時(shí)，），又如：．而現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備都使用二進(jìn)制數(shù)，用到的數(shù)碼只有兩個(gè)：0和1，表示具體數(shù)時(shí)“逢二進(jìn)一”．二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化，二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算也和十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算類(lèi)似．
①我們可以把十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制整數(shù)．比如：，所以103用二進(jìn)制數(shù)碼表示是1100111，記為；
②也可以把十進(jìn)制分?jǐn)?shù)或者小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)，比如：，所以可以表示成二進(jìn)制小數(shù)，記為．
這里還可以把分子1和分母8都轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，在二進(jìn)制下用分了除以分母得到的二進(jìn)制小數(shù)表示：
由于，，所以，而可以類(lèi)比十進(jìn)制數(shù)一樣做除法，只是商和余數(shù)都只能是0或1：，所以=；
③與十進(jìn)制數(shù)類(lèi)似，二進(jìn)制也有循環(huán)小數(shù)，比如：
，由，可知．
問(wèn)題解決：
(1)將十進(jìn)制數(shù)35化成二進(jìn)制數(shù)為：（______）．二進(jìn)制小數(shù)化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)是______．
(2)將十進(jìn)制分?jǐn)?shù)化成二進(jìn)制小數(shù)：；．
(3)在十進(jìn)制中，循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，比如：將化為分?jǐn)?shù)形式．
設(shè)（A） 則（B）．
得：即，于是得到．
同樣，二進(jìn)中的循環(huán)小數(shù)也可以用類(lèi)似的方法化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)．
請(qǐng)二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化成十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，保留計(jì)算過(guò)程．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)十進(jìn)制與二進(jìn)制間的關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)十進(jìn)制與二進(jìn)制間的關(guān)系求解即可；
（3），進(jìn)而得，根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制間的關(guān)系解方程即可．
【詳解】（1）解：，
∴，
，
故答案為：，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：，；
（3）解：設(shè)，則
，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方，二進(jìn)制與十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)化，一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)化方法是解題的關(guān)鍵．
20．閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為第1項(xiàng)，記為，依此類(lèi)推，排在第位的數(shù)稱(chēng)為第項(xiàng)，記為．
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示．如：數(shù)列1，3，9，27，為等比數(shù)列，其中，公比為．然后解決下列問(wèn)題．
(1)等比數(shù)列3，6，12，的公比為 ，第4項(xiàng)是 ．
(2)如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為和公比（設(shè)為，則根據(jù)定義我們可依次寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：，，，，．由此可得第項(xiàng) （用和的代數(shù)式表示）．
(3)若一等比數(shù)列的公比，第2項(xiàng)是10，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)．
(4)已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)．
【答案】(1)2，24
(2)
(3)第1項(xiàng)是5，第4項(xiàng)是40
(4)1536
【分析】（1）根據(jù)第一項(xiàng)是3，第二項(xiàng)是6求出公比為2，再根據(jù)第三項(xiàng)是12求出第四項(xiàng)為24；
（2）發(fā)現(xiàn)的q的冪指數(shù)為項(xiàng)數(shù)減1，第n項(xiàng)；
（3）用第二項(xiàng)的10除以公比2得第一項(xiàng)是5，第四項(xiàng)為；
（4）設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)為，公比為q，根據(jù)第三項(xiàng)為12，第六項(xiàng)為96列方程組求出第一項(xiàng)為3，公共比為2，再求第十項(xiàng)是1536．
【詳解】（1）根據(jù)題意知公比，第4項(xiàng)是，
故答案為：2，24；
（2）根據(jù)定義我們可依次寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：，，，．由此可得第項(xiàng)，
故答案為：；
（3）根據(jù)題意知，第1項(xiàng)為，第4項(xiàng)為；
（4）設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)為，公比為q，
根據(jù)題意知，
，即，
則，
這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的概念，理解等比數(shù)列的概念，熟練運(yùn)用等比數(shù)列的概念和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
二、整式的乘法
類(lèi)型一、多項(xiàng)式乘法的及其應(yīng)用
21．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，求（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】令，分別求出，，，，最后根據(jù)分別代入化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】解：令，則
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∵
，
，
∵
∵，
∴，解得：，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是用換元法，將各個(gè)式子進(jìn)行改寫(xiě)化簡(jiǎn)．
22．關(guān)于的多項(xiàng)式：，其中為正整數(shù)，若各項(xiàng)系數(shù)各不相同且均不為0，我們稱(chēng)這樣的多項(xiàng)式為“親緣多項(xiàng)式”．
①是“親緣多項(xiàng)式”．
②若多項(xiàng)式和均為“親緣多項(xiàng)式”，則也是“親緣多項(xiàng)式”．
③多項(xiàng)式是“親緣多項(xiàng)式”且．
④關(guān)于的多項(xiàng)式，若，，為正整數(shù)，則為“親緣多項(xiàng)式”．
以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①將展開(kāi)，進(jìn)行判斷即可；②合并同類(lèi)項(xiàng)后，進(jìn)行判斷即可；③計(jì)算出，進(jìn)行判斷即可；④利用特殊值法進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①，各項(xiàng)系數(shù)各不相同且均不為0，
是“親緣多項(xiàng)式”，故①正確；
②，并不能確定各項(xiàng)系數(shù)各不相同且均不為0，
不是“親緣多項(xiàng)式”，故②錯(cuò)誤；
③，
是“親緣多項(xiàng)式”，
，
，
；故③正確；
④當(dāng)，，時(shí)：，三次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)相同，不是“親緣多項(xiàng)式”，故④錯(cuò)誤；
綜上：正確的有2個(gè)；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算．理解并掌握“親緣多項(xiàng)式”的定義是解題的關(guān)鍵．
23．在矩形內(nèi)將兩張邊長(zhǎng)分別為和的正方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（圖1和圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．當(dāng)時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用面積的和差分別表示出和，然后利用整式的混合運(yùn)算計(jì)算它們的差．
【詳解】解：，
，
．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟悉相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
24．建黨100周年主題活動(dòng)中，702班潯潯設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計(jì)原理是：如圖2，在邊長(zhǎng)為的正方形四周分別放置四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，構(gòu)造了一個(gè)大正方形，并畫(huà)出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作，每一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形面積記作，若，則的值是．
【答案】
【分析】根據(jù)圖形中陰影部分均為三角形，利用三角形面積公式，找到底和高可求出與面積，求面積使用正方形面積減去三個(gè)三角形面積，可求得，，利用已知條件進(jìn)行多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)即可得出答案．
【詳解】如圖所示，對(duì)需要的交點(diǎn)標(biāo)注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化簡(jiǎn)得：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目考察陰影部分面積的實(shí)質(zhì)是對(duì)多項(xiàng)式之間的化簡(jiǎn)求值，求出各部分陰影面積是題目難點(diǎn)．
25．閱讀以下材料：
已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“幸福數(shù)對(duì)”，例如，所以和與和都是“幸福數(shù)對(duì)”.
解決如下問(wèn)題：
(1)請(qǐng)判斷與是否是“幸福數(shù)對(duì)”？并說(shuō)明理由：
(2)為探究“幸福數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“幸福數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，且；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，且，試說(shuō)明，，，之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；
(3)若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為；另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為．若這兩個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)對(duì)”，求出這兩個(gè)兩位數(shù)．
【答案】(1)與是“幸福數(shù)對(duì)”，理由見(jiàn)解析
(2)；證明見(jiàn)解析
(3)和
【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和新定義“幸福數(shù)對(duì)”，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
（1）根據(jù)定義即可得到答案；
（2）根據(jù)定義得：，化簡(jiǎn)得；
（3）根據(jù)定義列等式，化簡(jiǎn)解方程可得的值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴與是“幸福數(shù)對(duì)”
（2）解：
理由如下，依題意，，
，
，
，，
∴．
即
（3）解：由（2）可得
即
∴
解得：，
則，；
，
∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別為：和．
26．對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它不同的性質(zhì)，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：
觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為1．
(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；
(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應(yīng)的延后值；
(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)題意，延后值為2，即將改為，化簡(jiǎn)即可；
（2）設(shè)延后值為k，將延后的代數(shù)式等于，使得各項(xiàng)系數(shù)相等，解方程即可；
（3）設(shè)延后值為m，使得各項(xiàng)系數(shù)相等，解方程即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，
（2）解：設(shè)相應(yīng)的延后值為k，得：，
化簡(jiǎn)得：，
，解得，
當(dāng)時(shí)，成立，
∴相應(yīng)的延后值是3．
（3）解：設(shè)相應(yīng)的延后值為m，得：，
化簡(jiǎn)得：，
，
將代入，可得
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，多項(xiàng)式的系數(shù)中字母求值，理解題意，清楚的列出代數(shù)式，并進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
27．若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過(guò)3次，令A(yù)＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義：M（b+d，a+b+c+d）為整式A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，我們規(guī)定次數(shù)超過(guò)3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，則a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，則A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），求整式B的表達(dá)式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多項(xiàng)式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），請(qǐng)直接寫(xiě)出整式E的表達(dá)式．
【答案】（1）（5，4）；（2）B＝3x－2；（3）或．
【分析】（1）根據(jù)整式得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得出B中x的次數(shù)為1次，設(shè)B＝nx+m，計(jì)算出，進(jìn)而表達(dá)出a，b，c，d的值，再根據(jù)C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；
（3）設(shè)，根據(jù)題意求出，進(jìn)而表達(dá)出a，b，c，d的值，再根據(jù)F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．
【詳解】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，4），
故答案為：（5，4），
（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，
（x﹣2）（x+2）＝x2－4是二次多項(xiàng)式，且C的次數(shù)不能超過(guò)3次，
∴B中x的次數(shù)為1次，
∴設(shè)B＝nx+m，
∴，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），
∴，，
解得：，，
∴B＝3x－2，
（3）根據(jù)題意：設(shè)，
∴
，
∴，
∵整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），
∴，，
，，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法和規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義解決問(wèn)題．
28．如圖，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在右側(cè)以為邊作正方形；若，，連接．

(1)請(qǐng)用含k，m的代數(shù)式表示；
(2)若，梯形的面積是三角形面積的4倍，求k的值；
(3)下列三個(gè)條件：①；②；③，依次為易、中、難，對(duì)應(yīng)的滿分值為1分、2分、3分，選擇其中一個(gè)條件，求三角形的面積（用含k的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)選擇：①；②時(shí)，的面積為；當(dāng)選擇；③時(shí)，的面積為或
【分析】（1）觀察圖形，找出，和之間的數(shù)量關(guān)系，求出答案；
（2）根據(jù)已知條件求出梯形的面積和的面積，然后根據(jù)梯形的面積是三角形面積的4倍，列出等式，再代入求值即可；
（3）選擇條件①，根據(jù)的面積梯形的面積的面積的面積，列出式子，進(jìn)行計(jì)算；選擇條件②，先求出，再根據(jù)條件①的思路求解；選擇條件③，分兩種情況、根據(jù)圖形面積間的關(guān)系求解即可．
【詳解】（1），，，
；
（2），，，四邊形是正方形，
，
，
，
梯形的面積為：，的面積為，梯形的面積是三角形面積的4倍，
，
整理可得，
把代入得：
，
解得：；
（3）若選擇：①，由（1），，
，
解得：，
，，
，，
梯形的面積為：，的面積為：，的面積為：，
的面積梯形的面積的面積的面積，
的面積為：；
若選擇：②，由（1），，
，
解得：，
，，
，，
梯形的面積為：，的面積為：，的面積為：，
的面積梯形的面積的面積的面積，
的面積為：；
若選擇：③，分兩種情況討論：
（i）點(diǎn)在的外部，由（1），，
，
∵，
∴。
解得：，
∴，，，
，，
梯形的面積為：，的面積為：，的面積為：，
的面積梯形的面積的面積的面積，
的面積為：；
（ii）點(diǎn)在的內(nèi)部，
如圖所示：由（1），，

，
，即，
∴，
，
，，，
的面積，的面積，的面積，正方形的面積，
的面積的面積的面積的面積正方形的面積，
的面積，
綜上可知：當(dāng)選擇：①；②時(shí)，的面積為；當(dāng)選擇；③時(shí)，的面積為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式乘法的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解線段與線段之間數(shù)量關(guān)系以及圖形與圖形之間的聯(lián)系．
29．如圖，長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形被分割為小塊，除陰影A，B兩塊外，其余塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短一邊長(zhǎng)為．
(1)分別用含，的代數(shù)式表示陰影A，B兩塊的周長(zhǎng)，并計(jì)算陰影A，兩塊的周長(zhǎng)和．
(2)分別用含，的代數(shù)式表示陰影A，B兩塊的面積，并計(jì)算陰影A，的面積差．
(3)當(dāng)取何值時(shí)，陰影A與陰影的面積差不會(huì)隨著的變化而變化，并求出這個(gè)值．
【答案】(1)陰影A的周長(zhǎng)為：，∴陰影的周長(zhǎng)為：，則其周長(zhǎng)和為：；
(2)陰影A的面積為：，陰影的面積為：，陰影A，的面積差為：；
(3)當(dāng)y=5時(shí)，陰影A與陰影的面積差不會(huì)隨著的變化而變化，這個(gè)值是100．
【分析】（1）由圖可知陰影A的長(zhǎng)為（），寬為（），陰影的長(zhǎng)為，寬為，從而可求解；
（2）結(jié)合（1），利用長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)題意，使含x的項(xiàng)提公因式x，再令另一個(gè)因式的系數(shù)為，從而可求解．
【詳解】（1）解：（1）由題意得：陰影A的長(zhǎng)為（），寬為（），
∴陰影A的周長(zhǎng)為：
∵陰影的長(zhǎng)為，寬為，
∴陰影的周長(zhǎng)為：，
∴其周長(zhǎng)和為：；
（2）∵陰影A的長(zhǎng)為（），寬為（），
∴陰影A的面積為：．
∵陰影的長(zhǎng)為，寬為，
∴陰影的面積為：，
∴陰影A，的面積差為：．
（3）∵陰影A與陰影的面積差不會(huì)隨著的變化而變化，
陰影A，的面積差．
∴當(dāng)，即時(shí)，陰影A與陰影的面積差不會(huì)隨著的變化而變化．
此時(shí)：陰影A，的面積差．
【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，代數(shù)式求值，與某個(gè)字母無(wú)關(guān)型問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)圖表示出兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬．
30．［知識(shí)回顧]
有這樣一類(lèi)題：
代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值；
通常的解題方法；
把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類(lèi)項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，即．
［理解應(yīng)用]
(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m的值；
(2)已知的值與x無(wú)關(guān)，求y的值；
(3)（能力提升）如圖1，小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中有兩個(gè)部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根據(jù)含項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；
（2）先根據(jù)整式的加減求出的值，再根據(jù)含項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；
（3）設(shè)，先求出，從而可得，再根據(jù)“當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變化時(shí)，的值始終保持不變”可知的值與的值無(wú)關(guān)，由此即可得．
【詳解】（1）解：
，
關(guān)于的多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)，
，
解得；
（2）令
，
原式=
，
的值與無(wú)關(guān)，
，
解得；
（3）解：設(shè)，
由圖可知，，，
則
，
當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變化時(shí)，的值始終保持不變，
的值與的值無(wú)關(guān)，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，涉及整式的乘法、整式的加減知識(shí)，熟練掌握整式加減乘法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
31．如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，分別將它們按照?qǐng)D1和圖2的形式擺放．
（1）用含有的代數(shù)式分別表示陰影面積：________，________，________；（不需要化簡(jiǎn)）
（2）如圖3，四邊形和均為正方形，且點(diǎn)在一條直線上，若長(zhǎng)為，長(zhǎng)為5，則：①求陰影部分的面積（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)時(shí)，陰影部分面積為多少？
【答案】（1），，；（2）①，②
【分析】（1）用含a和b的代數(shù)式表示出兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積公式即可得、；小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為b，寬為，根據(jù)面積公式即可得出；
（2）陰影部分的面積等于，代入數(shù)據(jù)即可．
【詳解】解：（1）由題意得：
故答案為：，，；
（2）①
．
②當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是列代數(shù)式，解第一問(wèn)的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件找出陰影部分圖形的邊長(zhǎng)或長(zhǎng)和寬，解決第二問(wèn)的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形面積用常見(jiàn)圖形的面積表示出來(lái)．
32．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；
（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若，則_____；
（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形圖形，則_______．
（4）如圖4所示，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一直線上，連接和，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足，你能求出陰影部分的面積嗎？
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42
【分析】（1）由大正方形等于9個(gè)長(zhǎng)方形面積的和；
（2）將所求式子轉(zhuǎn)化為，代入已知條件即可；
（3）將式子化簡(jiǎn)為，即可確定、、的值；
（4）陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積．
【詳解】解：（1）由圖可知大正方形面積為，大正方形由9個(gè)長(zhǎng)方形組成，則有；
故答案為；
（2）由（1）可得，
，，
；
故答案為155；
（3），
，，，
；
故答案為9；
（4）由已知，陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積，
即，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；熟練掌握因式分解的方法，能夠利用正方形與三角形面積靈活處理不規(guī)則圖形面積是解題的關(guān)鍵．
33．如圖1，O為數(shù)軸原點(diǎn)，在數(shù)軸上擺放一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，使得AB、CD的中點(diǎn)E、G恰好落在數(shù)軸上，AB＝16，BC＝EG＝6，點(diǎn)H為數(shù)軸上的點(diǎn)，HE＝2GO，HO＝3EG．
（1）點(diǎn)H所表示的數(shù)為 ；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位的速度從H出發(fā)沿折線H→E→B→C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿折線O→G→D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，記M、N、A三點(diǎn)所形成的三角形的面積為S，試用時(shí)間t表示S；
（3）如圖2，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣13，螞蟻甲以每秒5個(gè)單位的速度從點(diǎn)F開(kāi)始沿折線F→E→B→C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)螞蟻乙從點(diǎn)O出發(fā)沿折線O→G→D→A運(yùn)動(dòng)，乙在線段OG、DA上的速度是每秒4個(gè)單位，在線段GD上的速度則是每秒7個(gè)單位．當(dāng)一只螞蟻到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一只螞蟻也隨之停止運(yùn)動(dòng)，記運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t使得兩只螞蟻在長(zhǎng)方形ABCD上走過(guò)的路程恰好相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）-18；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）或．
【分析】（1）根據(jù)HO＝3EG可得HO=18，H點(diǎn)在負(fù)半軸，由此即可確定點(diǎn)H坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度確定點(diǎn)所在不同線段進(jìn)行討論，再分別由所構(gòu)成三角形求面積即可；
（3）根據(jù)兩只螞蟻?zhàn)哌^(guò)的路程恰好相等，設(shè)未知數(shù)列方程即可解答．
【詳解】解：（1）∵HO＝3EG，EG＝6，
∴HO＝18，
∴點(diǎn)H表示的數(shù)是-18；
故答案為：-18；
（2）∵HE＝2GO，
∴2GO+EG+GO=18，
又∵EG＝6，HO＝18，
∴GO=4，HE=8，
在長(zhǎng)方形ABCD中故，AB＝CD=16，AD=BC=EG=6，
∴，，
∵動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿折線O→G→D運(yùn)動(dòng)，
∴∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在線段GO上，；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在線段GD上，．
∵動(dòng)點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位的速度從H出發(fā)沿折線H→E→B→C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)6秒，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在線段HE上，；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在線段BE上，；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在線段BC上，；
I、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M、N在數(shù)軸上，如解圖1：
此時(shí)三角形面積，
∴，即；
II、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在HE上，點(diǎn)N在DG上，如解圖2：
此時(shí)三角形面積，
∴，即；
III、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在BE上，點(diǎn)N在DG上，如解圖3：
此時(shí)三角形面積，
∴，即；
IV、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在BE上，點(diǎn)N在DG上，如解圖3：
此時(shí)三角形面積，
∴，即；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（3）∵點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣13，點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)是-（6+4）=-10，
∴EF=3，
∴折線F→E→B→C長(zhǎng)=17，，
∵螞蟻甲以每秒5個(gè)單位的速度從點(diǎn)F開(kāi)始沿折線F→E→B→C運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵螞蟻乙從點(diǎn)O出發(fā)沿折線O→G→D→A運(yùn)動(dòng)，乙在線段OG、DA上的速度是每秒4個(gè)單位，在線段GD上的速度則是每秒7個(gè)單位．
∴螞蟻乙從起點(diǎn)O走到點(diǎn)G用時(shí)1秒，走到點(diǎn)D共用時(shí)秒，走到點(diǎn)A共用時(shí)秒，
∴當(dāng)時(shí)，螞蟻乙在線段OG上，此時(shí)不合題意；
當(dāng)時(shí)，螞蟻乙在線段GD上，依題意得：
，解得：；
當(dāng)時(shí)，螞蟻乙在線段DA上，依題意得：
，解得：
經(jīng)檢驗(yàn)：，均符合題意；
故當(dāng)或時(shí)，兩只螞蟻在長(zhǎng)方形ABCD上走過(guò)的路程恰好相等．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用整式乘法求三角形面積和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是用時(shí)間與速度的關(guān)系表示線段長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)在折線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所處的線段不同進(jìn)行討論解答是本題的難點(diǎn)，要注意畫(huà)圖和分析．
類(lèi)型二、平方差公式及其應(yīng)用
34．對(duì)于一個(gè)三位數(shù)，其十位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的差的兩倍，則我們稱(chēng)這樣的數(shù)為“倍差數(shù)”，則最小的“倍差數(shù)”為若一個(gè)數(shù)能夠?qū)懗桑ǎ鶠檎麛?shù)，且），則我們稱(chēng)這樣的數(shù)為“不完全平方差數(shù)”，記．例如，所以或．若一個(gè)小于的三位數(shù)（其中，，且，，均為整數(shù)）既是一個(gè)“不完全平方差數(shù)”，也是一個(gè)“倍差數(shù)”，則滿足條件的的最大值為．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義，可得百位數(shù)最小為1，再根據(jù)新定義確定十位數(shù)與個(gè)位數(shù)，即可得出最小的倍差數(shù)；由三位數(shù)小于，，得到的值，根據(jù)情況討論，可得答案．
【詳解】解：依題意，最小的“倍差數(shù)”百位數(shù)最小為1，當(dāng)十位為0時(shí)，則個(gè)位為1，
∴最小的“倍差數(shù)”是
∵三位數(shù)小于，，，
，
又∵是“倍差數(shù)”，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
，
，
∴或，
∴或；
而不是“不完全平方差數(shù)”，
∴的最大值．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查再新定義的情境下的整式的乘法運(yùn)算，掌握平方差公式的應(yīng)用，弄懂新定義的含義是解題的關(guān)鍵．
35．計(jì)算：．
【答案】
【分析】利用平方差公式將變形為，通過(guò)相鄰的項(xiàng)約分化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是將變形為．
36．若正整數(shù)滿足，這樣的三個(gè)整數(shù)（如：或）我們稱(chēng)它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)” ．當(dāng)時(shí)，共有組這樣的“完美勾股數(shù)” ．
【答案】
【分析】由于，，大于等于小于的非偶數(shù)完全平方數(shù)有，一共個(gè)，可得共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．
【詳解】解：∵
∴，
∵，n為正整數(shù)，
∴為大于等于小于的非偶數(shù)完全平方數(shù)，
這樣的數(shù)有：，一共個(gè)，
∴共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是熟悉“完美勾股數(shù)”的定義，得到“完美勾股數(shù)”最小的數(shù)是非偶數(shù)完全平方數(shù)．
37．一個(gè)個(gè)位不為零的四位自然數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和等于百位與個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱(chēng)n為“隱等數(shù)”，將這個(gè)“隱等數(shù)”反序排列（即千位與個(gè)位對(duì)調(diào)，百位與十位對(duì)調(diào)）得到一個(gè)新數(shù)m，記．
(1)請(qǐng)任意寫(xiě)出一個(gè)“隱等數(shù)”n，并計(jì)算的值．
(2)若某個(gè)“隱等數(shù)”n的千位與十位上的數(shù)字之和為6，為正數(shù)，且能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，求滿足條件的所有“隱等數(shù)”n．
【答案】(1)；；
(2)或；
【分析】（1）根據(jù)“隱等數(shù)”的定義求解即可；
（2）設(shè)“隱等數(shù)”n的千位數(shù)、百位數(shù)分別為，可得，再根據(jù)能夠表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，確定出的值即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)，由“隱等數(shù)”的定義可得為“隱等數(shù)”
則
；
（2）設(shè)“隱等數(shù)”n的千位數(shù)、百位數(shù)分別為
由千位與十位上的數(shù)字之和為6可得十位數(shù)為，個(gè)位數(shù)為
則，
，
則
∵為正數(shù)，且能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差
可設(shè)（為自然數(shù)），
∴，即為4的奇數(shù)倍，
∵n的千位和十位上的數(shù)字之和為6
∴，
∴
∴，即
∴，或，
或．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用，平方差公式，解題的關(guān)鍵是理清思路，理解題意以及熟練掌握平方差公式．
38．閱讀：在計(jì)算的過(guò)程中，我們可以先從簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問(wèn)題，通過(guò)觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類(lèi)問(wèn)題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過(guò)程叫做特殊到一般．如下所示：
【觀察】①；
②；
③；
……
(1)【歸納】由此可得： ________；
(2)【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：計(jì)算：_______；
(3)計(jì)算：______；
(4)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)．
【分析】（1）利用已知得出式子變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案；
（2）利用（2）中變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；
（3）將轉(zhuǎn)化為，再利用（2）中變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；
（4）利用（2）中變化規(guī)律得出x的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）解：①；
②；
③；
……；
∴，
故答案為：；
（2）解：
；
（3）解：
；
故答案為：；
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差公式以及數(shù)字變化規(guī)律，正確得出式子之間的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
39．材料一：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那我們稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為連續(xù)平方差數(shù)，若，則96是連續(xù)平方差數(shù)；
材料二：對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)M，去掉個(gè)位數(shù)字后成為一個(gè)兩位數(shù)，去掉百位數(shù)字后成為一個(gè)兩位數(shù)，若為整數(shù)，則稱(chēng)M是一個(gè)關(guān)于9的對(duì)稱(chēng)數(shù)，若，則稱(chēng)545是關(guān)于9的對(duì)稱(chēng)數(shù)．
(1)請(qǐng)判斷56是否是連續(xù)平方差數(shù)，如果是請(qǐng)找出差為56的連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)；
(2)證明任何一個(gè)連續(xù)平方差數(shù)一定是8的倍數(shù)；
(3)已知一個(gè)三位數(shù)既是連續(xù)平方差數(shù)，又是關(guān)于9的對(duì)稱(chēng)數(shù)，求滿足條件的所有三位數(shù)．
【答案】(1)是連續(xù)平方差數(shù)
(2)見(jiàn)解析
(3)424，616，656，848，920，960．
【分析】（1）根據(jù)連續(xù)平方差數(shù)的定義即可判斷；
（2）設(shè)連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)分別為，利用平方差公式展開(kāi)，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)這個(gè)三位數(shù)為（均為小于10的自然數(shù)，且），根據(jù)兩個(gè)新定義及（2）的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)的整除性得出滿足條件的字母值，從而得到滿足條件的所有三位數(shù)．
【詳解】（1）解：56是連續(xù)平方差數(shù)，理由如下：
，
故56是連續(xù)平方差數(shù)；
（2）證明：設(shè)連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)分別為，
則，
∴任何一個(gè)連續(xù)平方差數(shù)一定是8的倍數(shù)；
（3）解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)為（均為小于10的自然數(shù)，且），
則是整數(shù)，且是整數(shù)，a＞b，
∴滿足條件的有：
，此時(shí)三位數(shù)為424；
或 5，此時(shí)三位數(shù)為616或656；
，此時(shí)三位數(shù)為848；
,此時(shí)三位數(shù)為960；
，此時(shí)三位數(shù)為920．
綜上所述，滿足條件的所有三位數(shù)有424，616，656，848,920，960．
【點(diǎn)睛】此題考查了約數(shù)與倍數(shù)，因式分解和平方差公式的內(nèi)容，根據(jù)連續(xù)平方差數(shù)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
40．根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問(wèn)題：
；；；；；
；；；；；
（1）試將以上各乘積分別寫(xiě)成一個(gè)平方差的形式，并寫(xiě)出其中一個(gè)的思考過(guò)程
（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大排列起來(lái)
（3）若用，，，，表示n個(gè)乘積，其中為正數(shù)，試由（1）（2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求寫(xiě)證明）
【答案】（1）11×29=202-92（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫(xiě)成平方差的形式即可．（2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫(xiě)即可．（3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越?。?br>【詳解】（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；
14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；
17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；
20×20=202-02
例如，11×29；假設(shè)11×29=□2-○2，
因?yàn)椤?-○2=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．
或11×29=（20-9）（20+9）=202-92
（2）這10個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20
（3）①若a+b=40，a，b是自然數(shù)，則ab≤202=400．
②若a+b=40，則ab≤202=400．
③若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則ab≤()2
④若a+b=m，則ab≤()2．
⑤若a，b的和為定值，則ab的最大值為()2．
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
則 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑧若a+b=m，a，b差的絕對(duì)值越大，則它們的積就越?。?br>【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
41．?dāng)?shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過(guò)圖形的面積發(fā)現(xiàn)．
(1)填表：【數(shù)的角度】
(2)【形的角度】如圖①，在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開(kāi)拼成新的長(zhǎng)方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為．
(3)【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．
(4)【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2時(shí)，;
時(shí)，a-b=．
(2)小空1 大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，作差即可．
小空2 把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別用含有a、b的代數(shù)式表示出來(lái)，再按照長(zhǎng)方形面積公式計(jì)算即可．
(3)根據(jù)第(2)小題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出等量關(guān)系即可．
(4)每?jī)蓚€(gè)數(shù)為一組按照根據(jù)第（3）小題寫(xiě)出的規(guī)律進(jìn)行變形，問(wèn)題即可解決．
【詳解】（1）
（2）小明的方法:大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，，
∴陰影部分的面積為a2-b2；
小紅的方法：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b，寬為a-b，
∴陰影部分的面積為(a+b)(a-b)．
故答案為：
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【點(diǎn)睛】本題是一道綜合性題目，通過(guò)代數(shù)計(jì)算填表和面積法兩種方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平方差公式．然后再運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
42．我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式是；
（2）如圖3，用四塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么?(用含有，的式子表示)；
（3）通過(guò)上述的等量關(guān)系，我們可知: 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小，則積越（填“ 大”“或“小”）；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小，則和越（填“ 大”或“小”）．
【答案】（1）；（2）；
（3）大 小
【分析】（1）圖2面積有兩種求法，可以由長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的矩形面積求出，也可以由兩個(gè)邊長(zhǎng)為a與邊長(zhǎng)為b的兩正方形，及4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形面積之和求出，表示即可；
（2）陰影部分的面積可以由邊長(zhǎng)為x+y的大正方形的面積減去邊長(zhǎng)為x-y的小正方形面積求出，也可以由4個(gè)長(zhǎng)為x，寬為y的矩形面積之和求出，表示出即可；
（3）兩正數(shù)和一定，則和的平方一定，根據(jù)等式，得到被減數(shù)一定，差的絕對(duì)值越小，即為減數(shù)越小，得到差越大，即積越大；當(dāng)兩正數(shù)積一定時(shí)，即差一定，差的絕對(duì)值越小，得到減數(shù)越小，可得出被減數(shù)越?。?br>【詳解】（1）看圖可知，
（2）
（3）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則積越大；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則和越小.
【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算，此題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
43．已知，如圖1，我們?cè)?018年某月的日歷中標(biāo)出一個(gè)十字星，并計(jì)算它的“十字差”（將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱(chēng)為該十字星的“十字差”)該十字星的十字差為，再選擇其它位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48．
（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長(zhǎng)方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的“十字差”也是一個(gè)定值，則這個(gè)定值為．
（2）若將正整數(shù)依次填入6列的長(zhǎng)方形數(shù)表中，不同位置十字星的“十字差”是一個(gè)定值嗎?如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若將正整數(shù)依次填入k列的長(zhǎng)方形數(shù)表中(k≥3)，繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)“十字差”為與列數(shù)有關(guān)的定值，請(qǐng)用表示出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）24；（2）是，這個(gè)定值是35，理由見(jiàn)解析；（3）定值為，證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)題意求出相應(yīng)的“十字差”，即可確定出所求定值；
（2）設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x-1，x+1，上下兩數(shù)分別為x-6，x+6，進(jìn)而表示出十字差，化簡(jiǎn)即可得證；
（3）設(shè)十字星中心的數(shù)為y，表示出十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)，進(jìn)而表示出十字差，化簡(jiǎn)即可得證．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，
故答案為：24；
（2）是，這個(gè)定值是35．理由如下：
設(shè)十字星中心的數(shù)為，則十字星左右兩數(shù)分別為，，上下兩數(shù)分別為，，
十字差為：．
故不同位置十字星的“十字差”是一個(gè)定值，這個(gè)定值為35；
(3)定值為，證明如下：
設(shè)設(shè)十字星中心的數(shù)為y，則十字星左右兩數(shù)分別為，，上下兩數(shù)分別為，，
十字差為：，
故這個(gè)定值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意以及熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
類(lèi)型三、完全公式及其應(yīng)用
44．已知多項(xiàng)式，多項(xiàng)式．
①若多項(xiàng)式是完全平方式，則或
②
③若，，則
④若，則
⑤代數(shù)式的最小值為2022
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】①利用完全平方公式的形式求解；
②利用整式的加減運(yùn)算和配方法求解；
③利用完全平方和和完全平方差公式求解；
④利用完全平方和和完全平方差公式求解；
⑤利用完全平方公式和配方法求解．
【詳解】解：①多項(xiàng)式是完全平方式，
，故結(jié)論正確；
②
，
而，
，故結(jié)論正確；
③，，
，
，
根據(jù)②故結(jié)論錯(cuò)誤；
④
，
；故結(jié)論正確；
⑤
，
，，
當(dāng)，時(shí)有最小值為2022，
但是根據(jù)②，
結(jié)論錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和配方法的應(yīng)用，同時(shí)也利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求最值，題目比較難．
45．配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或?qū)⒁粋€(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決問(wèn)題．
定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b為整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．
例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．
解決問(wèn)題：
(1)已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a，b為整數(shù)）的形式：______；
(2)若可配方成（m，n為常數(shù)），則______；
(3)探究問(wèn)題：已知，求的值．
(4)已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k的值．
【答案】(1)
(2)2
(3)-1
(4)
【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；
（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；
（3）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義即可求解．
【詳解】（1）解：∵29是“完美數(shù)”，
∴29=52+22；
（2）解：∵x2-4x+5
=（x2-4x+4）+1
=（x-2）2+1，
又∵x2-4x+5=（x-m）2+n，
∴m=2，n=1，
∴mn=2×1=2．
故答案為：2；
（3）解：x2+y2-2x+4y+5=0，
x2-2x+1+（y2+4y+4）=0，
（x-1）2+（y+2）2=0，
∴x-1=0，y+2=0，
解得x=1，y=-2，
∴x+y=1+（-2）=-1；
（4）解：當(dāng)k=13時(shí)，S是“完美數(shù)”，
理由如下：S=x2+4y2+4x-12y+13
=x2+4x+4+4y2-12y+9
=（x+2）2+（2y-3）2，
∵x，y是整數(shù)，
∴x+2，2y-3也是整數(shù)，
∴S是一個(gè)“完美數(shù)”．
【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
46．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
例如，由圖1可以得到：
(1)由圖2可以得到：_____
(2)利用圖2所得的等式解答下列問(wèn)題：
①若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，求的值；
②若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）本題考查了完全平方公式的幾何背景，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖2中幾何圖形的面積，即通過(guò)大正方形面積等于六個(gè)小正方形面積之和建立等式，即可解題．
（2）本題考查冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算，以及因式分解的運(yùn)用，先將用冪的形式表示出來(lái)，再結(jié)合（1）的方法即可求解．
【詳解】（1）解：由圖知，．
（2）解：①由圖2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴．
47．現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是、、．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為和的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為的正方形）．
(1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為，結(jié)論①；
圖2中的大正方形的面積又可以用含字母、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論②
圖3中的大正方形的面積又可以用含字母、、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論③．
(2)思考：
結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到個(gè)等式______
結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到個(gè)等式______
(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作、、，且．，求的值．
(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊，斜邊，求圖中陰影部分面積和．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)6
【分析】（1）圖2的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上兩個(gè)正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積；
（2）根據(jù)兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解；
（3）根據(jù)結(jié)論②求出，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（4）根據(jù)結(jié)論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：圖2大正方形面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上兩個(gè)正方形的面積，
∴圖2面積為：；
圖3大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積，
∴圖3面積可表示為：；
故答案為：；
（2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式：；
結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式：，即．
故答案為：．
（3）解：，
，
，
，
，
解得；
（4）解：由（3）可知：，
∴陰影部分面積和為：，
，
∴陰影部分面積和為：12×3×4=6．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的運(yùn)算的運(yùn)用，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
48．結(jié)合圖形我們可以通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算面積，從而可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；
(2)我們可以利用（1）中的關(guān)系進(jìn)行求值，例如，若x滿足，可設(shè)，，則，．則______．
(3)若x滿足，則的值為_(kāi)_____；
(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個(gè)面積為的大長(zhǎng)方形，則______；
(5)如圖3，已知正方形的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）方法一是直接將兩個(gè)正方形的面積相加，方法二是用大的正方形面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即可得到等式；
（2）根據(jù)（1）中得到的關(guān)系式直接代入即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)（2）中的方法可得到結(jié)果；
（4）根據(jù)得到的大長(zhǎng)方形的面積展開(kāi)，可以得到一個(gè)關(guān)系式，由關(guān)系式中可知道用的紙張分別是多少，計(jì)算其和即可；
（5）先根據(jù)陰影部分構(gòu)造出來(lái)等式，然后根據(jù)兩次完全平方公式得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：方法一：陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，即；
方法二：陰影部分也可以看作邊長(zhǎng)為的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即，
兩種方法可得出：；
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴；
（3）解：設(shè)，，
∵x滿足，
∴，
∵，
∴，
∴的值為；
（4）解：，
A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，
根據(jù)可知要拼出一個(gè)面積為的大長(zhǎng)方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，
則；
（5）解：由圖知，，
∴，
∵長(zhǎng)方形的面積是24，
∴，
設(shè)，，
則，，
由，得，
∴，
∴，
即，
∴陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式的變形適用，熟練掌握完全平方公式以及能夠用換元法解題是解題的關(guān)鍵．
49．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．

(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．
方法1：___________；
方法2：___________．
(2)請(qǐng)你直接寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系．
根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：
(3)已知，，求___________．
(4)已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)16
【分析】（1）利用陰影部分直接求和和總面積減去空白部分面積兩種方法列出正確結(jié)果；
（2）由圖2中陰影部分的面積表示可得：；
（3）由可得，故，，即可得出結(jié)果；
（4）設(shè)，，可得，從而利用及的值可求得此題結(jié)果．
【詳解】（1）解：陰影兩部分求和為，用總面積減去空白部分面積為，
故答案為：，；
（2）解：由題意得，；
（3）解：由（2）題結(jié)論可得，
，時(shí)，
，
；
；
（4）解：設(shè)，，
可得，
，
，
又，
且由，
可得，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)完全平方公式的幾何背景準(zhǔn)確列式，并能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題．
50．用幾個(gè)小的長(zhǎng)方形、正方形拼成一個(gè)大的正方形，然后利用兩種不同的方法計(jì)算這個(gè)大的正方形的面積，可以得到一個(gè)等式，利用這些等式也可以求一些不規(guī)則圖形的面積．

(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；
(2)如圖2，由幾個(gè)面積不等的小正方形和幾個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形，試用不同形式表示這個(gè)大正方形的面積，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？該結(jié)論用等式表示為_(kāi)_____；
(3)利用（2）中的結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知，，求的值；
(4)如圖3，由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為m，n的正方形拼在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，連接BD、BF，若，，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，求圖3中陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)為，而大正方形由兩個(gè)邊長(zhǎng)為a，b的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形組成即可得出答案；
（2）分別表示出大正方形中每一個(gè)小正方形的面積及長(zhǎng)方形的面積，然后根據(jù)這些小正方形的面積及長(zhǎng)方形的面積等于大正方形的面積即可得出答案；
（3）由（2）得結(jié)論可得，然后將代入進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；
（4）分別求出，，，再根據(jù)又得，然后由（1）可知：，從而得，再將進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）依題意得：；
故答案為：．
（2）依題意得：；
故答案為：．
（3）由（2）可知：，
∴，
即：，
又∵
∴；
（4）
．
當(dāng)，時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了集合背景下的完全平方公式及其應(yīng)用，理解題意，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解答此題的關(guān)鍵．
51．【知識(shí)生成】
【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
【直接應(yīng)用】（1）若，，求的值；
【類(lèi)比應(yīng)用】（2）填空：①若，則 ；
②若，則 ；
【知識(shí)遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板如圖2所示放置，其中，，在一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．

【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形可得答案；
（2）①設(shè)，，則，，由進(jìn)行計(jì)算即可；
②設(shè)，，則，，由進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）設(shè)，，由題意可得，，，由求出的值即可．
【詳解】解：（1），
∴，
∴，
∵，
，
答：；
（2）①設(shè)，，則，，
，
故答案為：7；
②設(shè)，，則，，
，
故答案為：3；
（3）設(shè)，，
，，
，，
即，，
，
即，
，
答：一塊直角三角板的面積為30．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，掌握完全平方公式的變形是正確解答的關(guān)鍵．
52．對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)與，我們規(guī)定：．例如：．

(1)若是一個(gè)完全平方式，求常數(shù)的值；
(2)若，且，求的值；
(3)在（2）的條件下，將長(zhǎng)方形及長(zhǎng)方形按照如圖方式放置，其中點(diǎn)分別在邊上，連接，若，，，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)4
(3)136
【分析】（1）由題目中的規(guī)定可知，根據(jù)完全平方公式的特征確定答案即可；
（2）根據(jù)題目中的規(guī)定求出等號(hào)左邊部分，可得，再借助完全平方公式，將代入求解即可；
（3）根據(jù)三角形面積公式將陰影部分的面積表示出來(lái)，得到含，的整式，再代入求值即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得，
∵是一個(gè)完全平方式，
∴，
解得；
（2）根據(jù)題意，可得
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，，
∵四邊形和四邊形均為長(zhǎng)方形，
∴，，，，
∴，，
∴陰影部分的面積為
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算、完全平方公式的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識(shí)，熟練掌握完全平方公式并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
53．【閱讀材料】
“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：北師大版七年級(jí)下冊(cè)教材在學(xué)習(xí)“完全平方公式”時(shí)，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問(wèn)題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問(wèn)題．

【方法應(yīng)用】
根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問(wèn)題：
(1)由圖2可得等式： ；由圖3可得等式： ；
(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問(wèn)題：若，，則 ；
(3)如圖4，若用其中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形（無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接）．
①請(qǐng)畫(huà)出拼出后的長(zhǎng)方形；
② ；
(4)如圖4，若有3張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，4張邊長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形紙片，5張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)可以為 ．
【答案】(1)
(2)155
(3)①見(jiàn)解析；②9
(4)
【分析】（1）用兩種不同的方法表示出大長(zhǎng)方形的面積，以及大正方形的面積，即可得出結(jié)論；
（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；
（3）①根據(jù)，得到大長(zhǎng)方形是由2張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形，5張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼成，畫(huà)圖即可；②根據(jù)①可知的值，代入求解即可；
（4）根據(jù)拼接成的是正方形，得到選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：由圖2知，∵大長(zhǎng)方形的面積，
大長(zhǎng)方形的面積3個(gè)小正方形的面積+3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，
∴；
由圖3知，∵大正方形的面積，
大正方形的面積＝3個(gè)正方形的面積+2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積+2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積+2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，
∴；
故答案為：，．
（2）∵由（1）知：，
∴，
，
把代入，
．
故答案為：155．
（3）①∵，
可以看成2張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形，5張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼成的大長(zhǎng)方形的面積，
如圖：

②由①知：，
∴．
故答案為：9．
（4）3張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片的面積為，4張邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方形紙片的面積為，5張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片的面積為，要想從中取出若干張紙片拼成一個(gè)正方形（無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接），則選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，
∴可以選取1張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片、2張邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方形紙片、1張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，此時(shí)圍成的正方形面積為，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)，
也可以選取1張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片、4張邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方形紙片、4張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，此時(shí)圍成的正方形面積為，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)，
∴拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與幾何圖形的面積．熟練掌握完全平方公式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，是解題的關(guān)鍵．
54．在整式乘法的學(xué)習(xí)中，我們采用了構(gòu)造幾何圖形的方法研究代數(shù)式的變形問(wèn)題．借助直觀、形象的幾何圖形，加深對(duì)照式乘法的認(rèn)識(shí)和理解，感悟代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系．如圖1，現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)，以及長(zhǎng)為a．寬為b的長(zhǎng)方形Ⅲ號(hào)卡片足夠多，我們可以選取適量的卡片拼接成幾何圖形（卡片間不重疊、無(wú)縫隙）．解答下列問(wèn)題：

(1)圖2的長(zhǎng)方形是由圖1中的卡片拼接而成，則這個(gè)幾何圖形表示的等式是______；
(2)若想用幾何圖形表示等式，圖3給出了所拼接的幾何圖形的一部分，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形；
(3)若用圖1中的卡片拼得一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，求共用了多少?gòu)埧ㄆ?br>(4)設(shè)，，Ⅰ號(hào)、Ⅱ號(hào)和Ⅲ號(hào)每種卡片各有9張．從其中取若干張卡片（每種卡片至少取1張），若把取出的這些卡片拼成一個(gè)正方形，當(dāng)所拼正方形的邊長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所用卡片的最少數(shù)量．
【答案】(1)；
(2)見(jiàn)解析；
(3)共用了84張卡片；
(4)16張．
【分析】（1）得出圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由面積公式可得答案；
（2）根據(jù)等式，所拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，需要Ⅰ卡片2張，Ⅱ卡片1張，Ⅲ卡片3張，在所給定的圖3中補(bǔ)全即可；
（3）計(jì)算出，再根據(jù)Ⅰ卡片，Ⅱ卡片，Ⅲ卡片的面積可得數(shù)量；
（4）根據(jù)所拼成的是邊長(zhǎng)最大的正方形，再結(jié)合三種卡片的數(shù)量，可得最大正方形的邊長(zhǎng)為，計(jì)算出，即可得出需要卡片的張數(shù)．
【詳解】（1）圖2是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，
故答案為：；
（2）用幾何圖形表示等式，即需要卡片Ⅰ2張，卡片Ⅱ1張，卡片Ⅲ3張，
所以所拼成的圖形如下：（不唯一）

（3），
所以Ⅰ號(hào)卡片用了15張，Ⅱ號(hào)卡片用了28張，Ⅲ號(hào)卡片用了41張，共用了84張卡片；
（4）根據(jù)題意可得，所拼成的正方形邊長(zhǎng)最大，即卡片Ⅰ用的要盡可能的多，每條邊上最多是3個(gè)，又由于三種卡片均要使用，因此正方形的邊上還應(yīng)有卡片Ⅱ，所以邊長(zhǎng)可以為，但邊長(zhǎng)為時(shí)，卡片的數(shù)量不足，因此最大邊長(zhǎng)為，
所以所拼成的最大正方形的面積為，
即Ⅰ號(hào)卡片用9張，Ⅱ號(hào)卡片用6張，Ⅲ號(hào)卡片用1張，共用16張卡片，
答：把取出的這些卡片拼成一個(gè)正方形，當(dāng)所拼正方形的邊長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所用卡片的最少數(shù)量是16張．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法以及完全平方公式的結(jié)果特征是正確解答的前提．
55．閱讀理解：
若滿足，求的值．
解：設(shè)，，
則，．
∴
；
類(lèi)比探究：
（1）若滿足，求的值．
（2）若滿足，求的值．友情提示（2）中的可通過(guò)逆用積的乘方公式變成．
（3）若滿足，求的值．
解決問(wèn)題：
（4）如圖，正方形和長(zhǎng)方形重疊，重疊部分是長(zhǎng)方形其面積是，分別延長(zhǎng)、交和于、兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形和都是正方形，四邊形是長(zhǎng)方形設(shè)，，，，延長(zhǎng)至，使，延長(zhǎng)至，使，過(guò)點(diǎn)、作、垂線，兩垂線交于點(diǎn)，求正方形的面積（結(jié)果是一個(gè)具體的數(shù)值）

【答案】（1）2560；（2）31；（3）1026；（4）3636
【分析】（1）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）將轉(zhuǎn)化為，即，再根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（3）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（4）根據(jù)已知可得，，從而可得，再根據(jù)題意得：，，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用（3）的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：（1）設(shè)，，
則，，
，
的值為2560；
（2）∵，
，
，
設(shè)，，
則，，
，
的值為；
（3）設(shè)，，
則，，
，
，
的值為；
（4）∵，，，，
，，
長(zhǎng)方形的面積是，
，
由題意得：，，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
則，，
正方形的面積
，
正方形的面積為3636．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，理解例題的解題思路是解題的關(guān)鍵．
56．知識(shí)生成：我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．
例如：由圖①可以得到，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)直接應(yīng)用：若，，直接寫(xiě)出的值為_(kāi)__________；
(2)類(lèi)比應(yīng)用：填空：
①若，則___________；
②若，則___________；
(3)知識(shí)遷移：如圖②，一農(nóng)家樂(lè)準(zhǔn)備在原有長(zhǎng)方形用地（即長(zhǎng)方形）上進(jìn)行裝修和擴(kuò)建，先用長(zhǎng)為120m的裝飾性籬笆圍起該長(zhǎng)方形用地，再以，為邊分別向外擴(kuò)建正方形、正方形的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為，求原有長(zhǎng)方形用地的面積．

【答案】(1)
(2)①②
(3)
【分析】（1），即可求解；
（2）①，即可求解；②可求，即可求解；
（3）設(shè)，，可得，可求，可得，即可求解．
【詳解】（1）解：
，
，
故答案：．
（2）解：①
，
，
，
故答案：；
②因?yàn)椋?br>所以，
，
，
，
故答案：．
（3）解：設(shè)，，
則，所以；
由題意得，
因?yàn)椋?br>所以
，
所以．
所以原有長(zhǎng)方形用地的面積為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，掌握、、、之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
57．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．
(1)觀察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出、、之間的等量關(guān)系是________；
(2)利用（1）中的結(jié)論，若，，求的值；
(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，分別以、為邊在的同側(cè)作正方形和正方形，連接、、，當(dāng)時(shí)，的面積記為，當(dāng)時(shí)，的面積記為，以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，的面積記為，計(jì)算的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）通過(guò)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，大正方形是由四個(gè)矩形與中間的小正方形組成，據(jù)此進(jìn)一步分析求解即可；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)一步代入計(jì)算即可；
（3）連接，證明出，再利用的面積與△的面積相等得出，從而得到據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算即可．
【詳解】（1）由圖1和圖2中矩形的面積為等量得：
故答案為：；
（2）由（1）中公式可得：
．
同理可得：
；
（3）連接，
在正方形和正方形中，，
，
∴和的邊上的高相等，
．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
……
當(dāng)時(shí)，，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，觀察圖形，找出相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
58．【閱讀理解】
“若x滿足，求的值”
解：設(shè)，，則，，所以
【解決問(wèn)題】
(1)若x滿足，求的值．
(2)若x滿足，求的值．
(3)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，，，長(zhǎng)方形EFGD的面積是240，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）．

【答案】(1)109
(2)
(3)陰影部分的面積為964
【分析】（1）仿照舉例進(jìn)行解答即可；
（2）設(shè)，，則，，，最后根據(jù)即可解答；
（3）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，，結(jié)合題意可得，設(shè)，，從而得到的值，再根據(jù)舉例求出，最后求出即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)，，則，，
∴；
（2）解：設(shè)，，則，，，，
∴．
（3）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，，，
∴，，
∴，
設(shè)，，
∴，，
∴，
∴陰影部分的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平分公式的應(yīng)用、閱讀理解能力等知識(shí)點(diǎn)，熟記完全平分公式并靈活轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
59．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家曾說(shuō)：數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合思想是解決問(wèn)題的有效途徑．請(qǐng)閱讀材料完成：
(1)算法賞析：若x滿足，求的值．
解：設(shè)則
∴
請(qǐng)繼續(xù)完成計(jì)算．
(2)算法體驗(yàn)：若滿足，求的值；
(3)算法應(yīng)用：如圖，已知數(shù)軸上A、B、C表示的數(shù)分別是m、10、13．以AB為邊作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，延長(zhǎng)ED交FC于P．若正方形ACFG與正方形ABDE面積的和為117，求長(zhǎng)方形AEPC的面積
【答案】(1)過(guò)程見(jiàn)解析，12
(2)1260
(3)54
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab求解即可；
（2）按（1）方法進(jìn)行即可求解；
（3）正方形ACFG的邊長(zhǎng)為13-m，面積為（13-m）2，正方形ABDE的邊長(zhǎng)為10-m，面積為（10-m）2，可得（13-m）2+（10-m）2=117，設(shè)13-m=p，10-m=q，則p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-g=13-m-10+m=3，利用求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)則
∴
=（a+b）2-2ab
=（-4）2-2×2
=16-4
=12．
（2）解：設(shè)，
則，a+b=10，
；
（3）解：正方形ACFG的邊長(zhǎng)為13-m，面積為（13-m）2，正方形ABDE的邊長(zhǎng)為10-m，面積為（10-m）2，則有（13-m）2+（10-m）2=117，
設(shè)13-m=p，10-m=q，則p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3，
所以長(zhǎng)方形AEPC的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和數(shù)形結(jié)合思想，靈活變形完全平方公式成為解答本題的關(guān)鍵．
60．?dāng)?shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它包含兩個(gè)方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”．請(qǐng)你使用數(shù)形結(jié)合這種思想解決下面問(wèn)題：
圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D2的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)觀察圖2，用兩種方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到一個(gè)等式，請(qǐng)使用代數(shù)式，，ab寫(xiě)出這個(gè)等式_____________．
(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．
(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根據(jù)圖2中，各個(gè)部分面積與大正方形面積之間的關(guān)系可得答案；
（2）由（1）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，，得出，，根據(jù)完全平方公式計(jì)算出的值即可．
【詳解】（1）解：如圖2，大正方形的邊長(zhǎng)為，因此面積為，
小正方形的邊長(zhǎng)為，因此面積為，
每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，因此面積為，
由面積之間的關(guān)系可得：
，
故答案為：（答案不唯一）；
（2）解：由（1）得，
，，
；
即的值是4；
（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，則，，
，兩正方形的面積和，
，，
，
，
，
陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及圖形中面積之間的關(guān)系．
61．（1）如圖，整個(gè)圖形是邊長(zhǎng)為的正方形，其中陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，請(qǐng)根據(jù)圖形，猜想與存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）根據(jù)（1）中得出的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
甲、乙兩位司機(jī)在同一加油站兩次加油，兩次油價(jià)有變化，兩位司機(jī)采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40升油，乙每次加油費(fèi)都為300元．設(shè)兩次加油時(shí)，油價(jià)分別為m元/升，n元/升（，，且）．
①求甲、乙兩次所購(gòu)的油的平均單價(jià)各是多少？
②通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，甲、乙哪一個(gè)兩次加油的平均油價(jià)比較低？
【答案】（1），證明見(jiàn)解析；
（2）①甲兩次所加油的平均單價(jià)為；乙兩次所加油的平均單價(jià)為；②乙兩次加油的平均油價(jià)比較低
【分析】（1）根據(jù)圖形，結(jié)合陰影總分的面積的表示方法的不同，即可求解；
（2）①根據(jù)平均油價(jià)=總價(jià)錢(qián)+總油量，進(jìn)行求解即可；②結(jié)合①進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）猜想的結(jié)論為：．
∵．
∴．
（2）①甲兩次所加油的平均單價(jià)為；
乙兩次所加油的平均單價(jià)為．
②∵，∵，，且．
∴，．∴，即．
所以，乙兩次加油的平均油價(jià)比較低．
【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的加減及完全平方公式，列代數(shù)式，理解清楚題意，找到相應(yīng)的等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
62．【知識(shí)生成】
我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問(wèn)題．
(1)根據(jù)圖1，可以得到等式：，從而驗(yàn)證了完全平方公式．這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______（填選項(xiàng)）：
A．分類(lèi)討論 B．轉(zhuǎn)化 C．由特殊到一般 D．?dāng)?shù)形結(jié)合
(2)根據(jù)圖2，可以得到等式：______；
(3)①圖3是由幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，可以得到等式______；
②已知，．利用①中所得到的等式，直接寫(xiě)出代數(shù)式的值為_(kāi)_____；
(4)畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示．
【知識(shí)遷移】
(5)①類(lèi)似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．如圖4，是用2個(gè)小正方體和6個(gè)小長(zhǎng)方體拼成的一個(gè)棱長(zhǎng)為的大正方體．用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，可以得到的等式為_(kāi)_____；
②已知，，利用①中所得的等式，直接寫(xiě)出代數(shù)式的值為_(kāi)_____．
(6)圖5表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：______．
【答案】(1)D
(2)
(3)①；②29
(4)見(jiàn)解析
(5)①；②35
(6)
【分析】（1）體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合；
（2）根據(jù)圖形的面積的兩種不同計(jì)算方法得到完全平方公式；
（3）①先用正方形的面積公式表示出面積，再用幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形的面積的和表示大正方形的面積，由兩個(gè)結(jié)果相等即可得出結(jié)論；
②利用①中的等式直接代入求得答案即可；
（4）根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可畫(huà)出圖形，將展開(kāi)即可；
（5）①如圖3，由圖形體積的兩種不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解；
（6）根據(jù)兩個(gè)圖形體積相等即可列出恒等式．
【詳解】（1）解：這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合；
故選：D；
（2）解：由題意得陰影部分的面積．
故答案為：；
（3）解：①∵正方形面積為，
小塊四邊形面積總和為，
∴由面積相等可得：；
故答案為：；
②由①可知，
∵，，
∴，
故答案為：29；
（4）解：面積為的長(zhǎng)方形如圖所示：
∴；
（5）解：①用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，
得到的等式為；
②∵，，
∴
．
故答案為：；35；
（6）解：左邊體積大正方體的體積小長(zhǎng)方體的體積；
右邊體積長(zhǎng)方體的體積；
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方式的幾何背景，掌握完全平方公式的幾個(gè)特征是正確判斷的前提，用代數(shù)式表示圖形的面積、體積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．
63．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問(wèn)題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問(wèn)題．
【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問(wèn)題：
(1)由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；
(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問(wèn)題：若，，則__________；
(3)如圖4，若用其中張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)分別為、的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形（無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接），則______；
(4)如圖4，若有3張邊長(zhǎng)為的正方形紙片，4張邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方形紙片，5張邊長(zhǎng)為的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)可以為_(kāi)_____．
【方法拓展】
(5)已知正數(shù)，，和，，，滿足．試通過(guò)構(gòu)造邊長(zhǎng)為的正方形，利用圖形面積來(lái)說(shuō)明．
【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)155
(3)9
(4)a+2b；
(5)見(jiàn)解析
【分析】（1）大長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，也等于3個(gè)小正方形和3個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和，兩種方法求得的大長(zhǎng)方形的面積相等，即“等積法”得到等式．
（2）用（1）的結(jié)論變形后代入求值．
（3）觀察（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形找到x、y、z對(duì)應(yīng)的值，代入求值．
（4）通過(guò)分析，找到可以拼成正方形的可能的情況，然后找到正方形的邊長(zhǎng)最大，
（5）通過(guò)構(gòu)造邊長(zhǎng)為k的正方形，用3個(gè)長(zhǎng)方形的面積表示al+bm+cn，用面積直觀地說(shuō)明al+bm+cn