黑龍江省哈爾濱市第一二二中學(xué)校2024屆高三下學(xué)期校二?？荚嚁?shù)學(xué)試題及答案

這是一份黑龍江省哈爾濱市第一二二中學(xué)校2024屆高三下學(xué)期校二?？荚嚁?shù)學(xué)試題及答案，共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、單選題
1．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則等于（ ）
A．0.14B．0.62C．0.72D．0.86
2．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“為第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知橢圓的左?右焦點分別為，過橢圓左焦點的直線與橢圓相交于兩點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知圓的方程為，過第一象限內(nèi)的點作圓的兩條切線，，切點分別為，若，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．6
8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知（其中）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．的最小正周期為
C．不等式的解集為
D．將的圖象向右平移個單位長度變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是
10．關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（ ）
A．若過點可以作曲線的兩條切線，則
B．若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
C．若在上恒成立，則
D．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的范圍為
11．已知復(fù)數(shù)和，則下列命題是真命題的是（ ）
A．若滿足，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓
B．若滿足，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是橢圓
C．若滿足，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是雙曲線
D．若滿足，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是拋物線
三、填空題
12．如圖，正六邊形的邊長為1， ．
13．測量塔高AB時，選取與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個測量點C與D，現(xiàn)測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為，測塔高 ．
14．已知點是等軸雙曲線的左右頂點，且點是雙曲線上異于一點，，則 ．
四、解答題
15．已知橢圓的兩個焦點分別為，且橢圓過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作直線交橢圓于兩點，是弦的中點，求直線的方程.
16．中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，使我國一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國.某新能源汽車配件企業(yè)積極加大科研力度，生產(chǎn)效益逐步攀升.該企業(yè)在今年1月份至5月份的生產(chǎn)利潤（單位：億元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則認(rèn)為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性）
(2)為擴大生產(chǎn)，該企業(yè)在M大學(xué)啟動了校園招聘，分別招聘A、B兩個工程師崗位，兩個崗位都各設(shè)有3門筆試科目.M大學(xué)的碩士畢業(yè)生張無忌決定參加這次應(yīng)聘，且每門科目考試是否通過相互獨立.若張無忌報考A崗位，每門筆試科目通過的概率依次為，，，其中；若張無忌報考B崗位，每門筆試科目通過的概率均為.且張無忌只能報考A，B兩個崗位中的一個.若以筆試中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，得出張無忌更有希望通過A崗位的筆試，試求的取值范圍.
附：參考數(shù)據(jù)：，，.
相關(guān)系數(shù).
17．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，.

(1)求證：平面平面；
(2)若二面角的大小為，點在棱上，且，求直線與平面所成角的正弦值.
18．已知數(shù)列和滿足．若為等比數(shù)列，且
(1)求與；
(2)設(shè).記數(shù)列的前項和為．
（i）求；
（ii）求正整數(shù)，使得對任意，均有．
19．對于函數(shù)及實數(shù)m，若存在，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)．
(1)若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；
(2)己知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿足；
①在上，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值1；
②對任意，有．
求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．
月份
1
2
3
4
5
生產(chǎn)利潤（億元）
2
6
8
9
10
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進行計算即可.
【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，
且,
所以，
，
所以，
故選:D.
2．C
【分析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】
對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調(diào)，D錯誤.
故選：C.
3．D
【分析】
解不等式確定集合B，求出，根據(jù)集合的子集含義以及集合的交集和并集運算，判斷各選項，即得答案.
【詳解】
由題意知，，
解得或，
則，，
則不是B的子集，不是的子集，，，
故選：D．
4．C
【分析】由二倍角公式、充分必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為或，
所以“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件.
故選：C.
5．C
【分析】
根據(jù)全概率公式計算可得.
【詳解】設(shè)事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機超過”，事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近視”，
則，，
所以，
則．
故選：C
6．B
【分析】
設(shè)出關(guān)鍵線段長度，余弦定理構(gòu)建齊次方程求解即可.
【詳解】
設(shè)橢圓的焦距為，有，
在中，由余弦定理有，有，
可得，有.
在中，由余弦定理有，
可得.
故選：B.
【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：
①求出，代入公式；
②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．
7．C
【分析】
根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，得到，利用基本不等式，即可求解.
【詳解】
如圖所以，因為過點作圓的兩條切線，可得，
由，即，
所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為.
故選：C.
8．D
【分析】
令且恒成立，根據(jù)的極值點得到矛盾，有兩個不同的零點，利用三次函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性，進而求參數(shù)范圍.
【詳解】
由題意，令，
若恒成立，易知：當(dāng)時，當(dāng)時，
所以是的極小值點，不合題意，故有兩個不同零點．
設(shè)的兩個零點分別為，則，
結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知： ，
在、上，單調(diào)遞減，在、上，單調(diào)遞增，是的極大值點，符合題意，
此時需，得，所以實數(shù)的取值范圍為．
故選：D.
9．ACD
【分析】
對于A，由圖象得周期以及對稱軸，由此即可驗算；對于B，由即可舉出反例；對于C，直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可驗算；對于D，由平移變換法則結(jié)合三角函數(shù)奇偶性即可得解.
【詳解】對于A，由圖可知函數(shù)周期，解得，
當(dāng)時，函數(shù)取最大值，
所以，解得，
又，所以，，故A正確；
對于B，由題意，
所以，故B錯誤；
對于C，由題意，即，
所以，解得，故C正確；
對于D，將的圖象向右平移個單位長度后，
對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
若為偶函數(shù)，
所以，解得，
又，所以當(dāng)時，，故D正確.
故選：ACD.
10．ABC
【分析】根據(jù)題意可知點在下方及軸上方，從而可對A判斷；設(shè)出切點，求出切線方程，再結(jié)合題意中的幾何條件，從而可對B判斷；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別可求出的單調(diào)性及最值情況，畫出相應(yīng)圖象，從而可對C、D判斷求解.
【詳解】對A：由題意知可知當(dāng)點在曲線的下方和軸上方才可以作出兩條切線，
所以，故A正確.
對B：由在上恒成立，等價于在上橫在上方，
設(shè)的切點坐標(biāo)為，其切線方程為，
對應(yīng)的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，將代入解得，其切線斜率，
所以實數(shù)的取值范圍為，故B正確.
對C：若在上恒成立，則在時恒成立，
即，，設(shè)，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，取到極大值也是最大值為，所以，故C正確.
對D：由C知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，取到極小值，當(dāng)時，取到極大值，
而時，恒成立，故可畫出函數(shù)的圖象如下：
要求函數(shù)的零點，即求與圖象的交點個數(shù)，
所以可知或時，有且只有一個零點，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】方法點睛：
（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；
（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
（3）證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
11．AB
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，逐項分析判斷.
【詳解】
設(shè)，由，得，
若滿足，表示復(fù)平面內(nèi)點與點之間的距離為定值2，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓，故A選項正確；
若滿足，表示復(fù)平面內(nèi)點到點與的距離之和為3，
又，滿足橢圓的定義，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是橢圓，B選項正確；
若滿足，表示復(fù)平面內(nèi)點到點與的距離之差為2，
又，不滿足雙曲線的定義，C選項錯誤；
可化為，若滿足，
表示復(fù)平面內(nèi)點到點與的距離相等，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是直線，D選項錯誤.
故選：AB.
12．-1
【分析】
由正六邊形性質(zhì)，結(jié)合向量線性運算及數(shù)量積運算即可
【詳解】由正六邊形性質(zhì)，，
.
故答案為：-1.
13．
【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，再利用正弦定理及直角三角形邊角關(guān)系計算作答.
【詳解】如圖，線段AB是塔，在地平面內(nèi)，，，，
則有，由正弦定理得：，
直角中，，則，
所以塔高.
故答案為：
14．
【分析】
根據(jù)等軸雙曲線可得，據(jù)此可得關(guān)于的正切的方程，從而可求.
【詳解】
因為雙曲線為等軸雙曲線，故，故，
設(shè)，則，，且，
，
即，
，，
，而，故即.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)設(shè)橢圓方程，將代入橢圓方程，結(jié)合即可求解.
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，得出，再由中點坐標(biāo)知，求出值，即可得到直線方程.
【詳解】（1）橢圓的兩個焦點分別為，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，
則①，
又橢圓過點，所以②，聯(lián)立①②解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點，
設(shè)直線的方程為，即，
設(shè)，
則，消去得，
，
所以，，
又是弦的中點，所以，解得，
故直線的方程為
16．(1)，y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系
(2)
【分析】
（1）計算相關(guān)系數(shù)r，再進行判斷即可；
（2）分別計算通過A，B兩個崗位的科目數(shù)學(xué)期望，再比較大小判斷即可.
【詳解】（1）由題意，，故y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.
（2）由題意，因為每門科目考試是否通過相互獨立，故張無忌通過A崗位的3門筆試門數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，
通過B崗位的3門筆試門數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，
故若張無忌更有希望通過A崗位的筆試，則，又，解得.
即的取值范圍
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理求出，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；
（2）建立合適的空間之間坐標(biāo)系，求出相關(guān)法向量，根據(jù)線面角的空間向量求法即可.
【詳解】（1）證明:由余弦定理得，
所以，
因此，
又因為平面，
所以面，
又因為平面，
故平面平面.
（2）由于，
所以二面角的平面角為，即，
在平面內(nèi)過點作的垂線，交于，
由平面平面，且平面，平面平面，得平面，
以為坐標(biāo)原點，為，，軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，由于
則，即，
令，則，
所以
設(shè)直線與平面所成角為，
，
，
因此直線與平面所成角的正弦值為.

18．(1)，
(2)（i）；（ii）4
【分析】（1）根據(jù)題意，求出，得出；求得，求出；
（2）（i）由（1）利用分組求和，裂項相消法求出；（ii）由的表達(dá)式分析項的正負(fù)可得解.
【詳解】（1）由題意，知，且，，又， ，
又有，得公比（舍去），
所以數(shù)列的通項公式為，
所以，
故數(shù)列的通項公式為.
（2）(i)由（1）知，，
,
所以；
（ii）因為；當(dāng)時，，
而，
得，
所以當(dāng)時，，
綜上對任意恒有，故．
19．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.
（2）根據(jù)滿足的性質(zhì)，推出其對稱性以及周期，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)推出，即說明不存在，使得，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）
由題意可知，
故，
則m的取值范圍為；
（2）證明：因為在上，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值1，
且為定義在上的奇函數(shù)，
故在上當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值-1，
由對任意，有，可知圖象關(guān)于點對稱，
又，即，
故2a為函數(shù)的周期，
故，
，
當(dāng)時，，
時，，
若，，，此時有為最大值；
當(dāng)時，，
時，，
若，，此時有為最大值，
由于，故，
即不存在，使得，
所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于要理解函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義，明確其含義，繼而結(jié)合定義去解決問題，特別是第2問的證明，要結(jié)合定義說明不存在，使得成立.