2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學九年級（上）月考數學試卷（12月份）(含解析）

這是一份2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學九年級（上）月考數學試卷（12月份）(含解析），共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
1.如圖，一個實木正方體內部有一個圓錐體空洞，它的俯視圖是( )
A.
B.
C.
D.
2.一個不透明的袋子中裝有個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同經過多次試驗發(fā)現，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中的黃球個數最有可能是( )
A. B. C. D.
3.若是銳角，，則的值是( )
A. B. C. D.
4.若點是線段的黃金分割點，且，則等于( )
A. B.
C. D. 或
5.下列說法正確的是( )
A. 四條邊相等的四邊形是正方形
B. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
C. 對角線相等的四邊形是矩形
D. 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
6.如圖，四邊形是平行四邊形，：：，，則四邊形的面積是( )
A.
B.
C.
D.
7.某班畢業(yè)時，每位同學將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送張照片，如果全班有名同學，根據題意，列出方程( )
A. B.
C. D.
8.下面四個圖中反比例函數的表達式均為，則陰影部分的圖形的面積為的有( )
A. 個B. 個C. 個D. 個
9.函數和函數是常數，且在同一平面直角坐標系中的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如圖，在正方形中，，分別為，的中點，，交于點，連接，則：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.若，則 ______．
12.若是方程的一個根，則代數式的值為______．
13.若點，，在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是______．
14.數學興趣小組想測量一棵樹的高度，在陽光下，一名同學測得一根長為米的竹竿的影長為米．同時另一名同學測量一棵樹的高度時，發(fā)現樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上如圖，其影長為米，落在地面上的影長米，則樹高為________米．
15.如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸正半軸上，反比例函數的圖象經過該菱形對角線的交點，且與邊交于點若點的坐標為，則點的坐標是______．
三、解答題：本題共7小題，共55分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
解方程：
；
；
計算：．
17.本小題分
從一副撲克牌中取出四張牌，他們的牌面數字分別為，，，，將這四張撲克牌背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄下數字后放回，稱為抽牌一次．
若隨機抽牌一次，抽到數字的概率為 ．
將這四張撲克牌背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，不放回；再從剩余的三張牌中隨機抽取一張請利用“列表”或“畫樹狀圖”的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數字之和為偶數的概率．
18.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為、，．

畫出將向左平移個單位，再向上平移個單位后的，并寫出點的對應點的坐標；
以原點為位似中心，在位似中心的同側畫出的一個位似，使它與的相似比為，并寫出點的對應點的坐標；
若內部任意一點的坐標為，直接寫出經過的變化后點的對應點的坐標用含、的代數式表示．
19.本小題分
如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作于點，延長到點，使得，連接，
求證：四邊形是矩形；
連接，若，，求的長．
20.本小題分
某種商品的標價為元件，由于疫情的影響，銷量不佳，店家經過兩次降價后的價格為元件，并且兩次降價的百分率相同．
求該種商品每次降價的百分率；
若該種商品進價為元件，若以元件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各種費用元，在每件降價幅度不超過元的情況下，若每件降價元，則每天可多售出件，如果每天盈利元，每件應降價多少元？
21.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點，與軸相交于另一點，連接點是線段上方拋物線上的一個動點，過點作交線段于點求拋物線的解析式；
求的最大值，并寫出此時點的坐標；
在軸上找一點，拋物線上找一點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．
22.本小題分
【問題背景】如圖，在中，，于，求證：∽；
【變式遷移】如圖，已知，為上一點，且，若，求的值；
【拓展創(chuàng)新】如圖，四邊形中，，，為邊上一點，且，，直接寫出的值．
答案和解析
1.【答案】
解：從上面看得該幾何體的俯視圖是：
．
故選：．
根據俯視圖是從上面看到的圖形判定即可．
此題主要考查了簡單組合體的三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
2.【答案】
解：設袋子中黃球的個數可能有個，根據題意得：
，
解得：，
經檢驗是原方程的解，
袋子中黃球的個數可能是個．
故選：．
設袋子中黃球的個數可能有個，根據概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案．
本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確題意，計算出黃球的個數．
3.【答案】
解：，
，
．
故選：．
判斷出可得結論．
本題考查同角三角函數的關系，解題的關鍵是求出的值．
4.【答案】
解：點是線段的黃金分割點，且，
，
故選：．
根據黃金分割的定義進行計算，即可解答．
本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．
5.【答案】
解：、四條邊相等的四邊形是菱形，故原說法錯誤，故此選項不符合題意；
B、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故原說法錯誤，故此選項不符合題意；
C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原說法錯誤，故此選項不符合題意；
D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原說法正確，故此選項符合題意；
故選：．
根據菱形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質逐項分析即可得到答案．
本題主要考查了菱形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質，熟練掌握它們的判定方法是解此題的關鍵．
6.【答案】
解：四邊形是平行四邊形，
，，
：：，
：：，
：：，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
四邊形的面積．
故選：．
先根據平行四邊形的性質得到，，再推出：：，接著利用可判斷∽，則根據相似三角形的性質，，利用三角形面積公式得到，所以，然后根據平行四邊形的性質得到，最后計算即可．
本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．也考查了平行四邊形的性質．
7.【答案】
解：設全班有名同學，根據題意，
故選：．
設全班有名同學，每位同學送出張照片，據此列出一元二次方程，即可求解．
本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．
8.【答案】
解：第個圖中，陰影面積為，
故符合題意；
第個圖中，陰影面積為，
故不符合題意；
第個圖中，陰影面積為，
故符合題意；
第個圖中，陰影面積為，
故不符合題意；
故選：．
根據反比例函數比例系數的幾何意義，三角形的面積公式，分別求出四個圖形中陰影部分的面積，即可求解．
本題考查了反比例函數中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引軸、軸垂線，所得矩形面積為，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，解此類題一定要正確理解的幾何意義．也考查了反比例函數的對稱性，三角形的面積．
9.【答案】
解：當時：
函數的圖象過一、二、三象限，函數的圖象開口向下；
不正確，不符合題意．
當時：
函數的圖象過二、三、四象限，函數的圖象開口向上；
不正確，不符合題意．
函數的對稱軸為直線，
A正確，符合題意；不正確，不符合題意．
故選：．
分別分析當和時兩種情況下兩個函數在同一平面坐標系中的圖象，并結合二次函數的對稱軸進行綜合判斷即可．
本題考查一次函數及二次函數的圖象，熟悉它們圖象的性質是本題的關鍵．
10.【答案】
解：延長、交于，
在和中
，
≌，
，
，
．
，
∽，
，
，
：：．
故選：．
延長、交于，證明≌，可得，進而可以求證∽，可得出結論．
本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
11.【答案】
解：設，那么，，，
．
故答案是：．
先設，可得，，，再把、、的值都代入所求式子計算即可．
本題考查了比例的性質．解題的關鍵是先假設，得出，，，降低計算難度．
12.【答案】
解：是一元二次方程的一個根，
，
，
．
故答案為：．
先根據一元二次方程解的定義得到，然后利用整體代入的方法計算代數式的值．
本題考查了代數式求值，一元二次方程的解的概念：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
解：由題知，拋物線的開口向上，且對稱軸是直線，
函數圖象上的點，離對稱軸越近，函數值越小，
，
，
故答案為：．
根據圖象上的點的橫坐標距離對稱軸的遠近來判斷縱坐標的大?。?br>本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的增減性．
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了相似三角形的應用，經過樹在教學樓上的影子的頂端作樹的垂線和經過樹頂的太陽光線以及樹所成三角形，與竹竿，影子、光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹高．本題實際是一個直角梯形的問題，可以通過作垂線分解成直角三角形與矩形的問題．在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．
解：設從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是米．
則有，解得．
樹高是米，
故填．
15.【答案】
解：過點作，垂足為，
，，
，
菱形，
，
，，
是菱形的對角線交點，
，代入得，，
反比例函數的關系式為：，
設直線的關系式為，將，代入得：
且，
解得：，，
直線的關系式為，
將反比例函數與直線聯(lián)立方程組得：
解得：，舍去，
，
故答案為：
由的坐標為，可求出菱形的邊長，進而求出、、的坐標，確定反比例函數的關系式，直線的關系式，聯(lián)立求出交點坐標即可．
考查反比例函數的圖象和性質，一次函數以及菱形的性質等知識，求出反比例函數和一次函數的關系式是解決問題的關鍵．
16.【答案】解：，
移項，得，
除以，得，
配方，得，
即，
開方得，
解得：，；
，
整理得：，
，
或，
解得：，；
原式

．
【解析】利用配方法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可；
根據有理數的乘方、特殊角的三角函數值化簡，然后進行二次根式的加減運算即可．
此題考查了解一元二次方程，特殊角的三角函數值，熟練掌握解一元二次方程的方法、熟記各特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
17.【答案】
解：若隨機抽牌一次，抽到數字的概率為，
故答案為：；
樹狀圖如圖所示．
共有種等可能的結果，其中抽取的這兩張牌的牌面數字之和為偶數的有種，
故抽取的這兩張牌的牌面數字之和為偶數的概率為．
根據概率公式即可得出答案；
畫樹狀圖，共有種等可能的結果，抽取這兩張牌的牌面數字之和為偶數的結果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．
18.【答案】解：如圖所示，為所求三角形．；
如圖所示，為所求三角形．；
．
【解析】利用平移的性質得出對應點坐標位置進而得出答案；
畫出一個以點為位似中心的，使得與的相似比為即可；
根據相似比即可求得．
本題考查了位似變換作圖，平移變換作圖，熟練掌握網格結構，準確找出對應點的位置以及坐標是解題的關鍵．
19.【答案】證明：四邊形是菱形，
且，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形；
解：四邊形是菱形，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
四邊形是菱形，
，
．
【解析】根據菱形的性質得到且，推出四邊形是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；
根據菱形的性質得到，根據勾股定理和直角三角形的性質即可得到結論．
本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質定理是解題的關鍵．
20.【答案】解：設該種商品每次降價的百分率為，
依題意，得：，
解得：，不合題意，舍去，
答：該種商品每次降價的百分率為；
設每件商品應降價元，根據題意，得：
，
解方程得，，
在降價幅度不超過元的情況下，
不合題意舍去．
答：每件商品應降價元．
【解析】設該種商品每次降價的百分率為，根據該商品的原價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；
關系式為：每件商品的盈利原來的銷售量增加的銷售量每天盈利，為了減少庫存，計算得到降價多的數量即可．
此題主要考查了一元二次方程的應用，得到現在的銷售量是解決本題的難點；根據每天盈利得到相應的等量關系是解決本題的關鍵．
21.【答案】解：對于，當時，，當時，，
故點、的坐標分別為：，，
則，
解得：，
則拋物線的表達式為：；
過點作軸交于點，

當時，，
解得，，
點的坐標是，
設直線的表達式為，把點和點的坐標代入，
，
解得，
直線的表達式為：，
設點，則，
則，
，
當時，的最大值為，
此時，
則點的坐標為，
軸，則，
在中，，，，
則，
則，
則，
即當最大時，最大，
故的最大值為：，
即的最大值為，此時點的坐標為；
設點、點，，
當是對角線時，
由中點坐標公式得：且，
解得：不合題意的值已舍去，
故點的坐標為；
當或為對角線時，由中點坐標公式得：
或且，
解得：或，
即點的坐標為：或或，
綜上，點的坐標為：或或或．
【解析】先求出點和點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
過點作軸交于點，求出直線的表達式為：，設點，則，則，當時，的最大值為，則點的坐標為，利用三角函數得到，則當最大時，最大，得到的最大值為，即可得到答案；
設點、點，則，分當是對角線、當或為對角線三種情況分別進行求解即可．
此題考查了二次函數的圖象和性質、一次函數的圖象和性質、待定系數法求函數解析式、解直角三角形、勾股定理等知識，數形結合和分類討論是解題的關鍵．
22.【答案】解：，，
，
，，
，
∽；
如圖，過點作于點，

則，
，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
又，
，
；
如圖，過點作于點，延長，相交于點，

，，
，
設，則，，
，，，
，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
．
【解析】利用同角的余角相等得，即可證明結論；
過點作于點，利用兩個角相等證明∽，得，從而得出答案；
過點作于點，延長，相交于點，設，則，，首先利用證明≌，得，，再根據∽，得，，最后根據∽，進而解決問題．
本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，利用前面探索的結論和方法解決新問題是解題的關鍵．