人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點突破期末復(fù)習(xí)專題1.5空間向量的探索性問題（強化訓(xùn)練）（2份打包，原卷版+解析版）

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題型一平行中的探索性問題
1．如圖所示，在四棱錐，面，底面為正方形．
(1)求證：面；
(2)已知，在棱上是否存在一點，使面，如果存在請確定點的位置，并寫出證明過程；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點為線段的中點時，面，理由見解析
【分析】（1）通過證明和即可證明面.
（2）由幾何知識建立空間直角坐標系，根據(jù)點在棱上，設(shè)出正方形邊長，的長，進而表達出點坐標，通過面解出點坐標，即可確定點的位置.
【詳解】（1）在四棱錐中，面，面，面，
∴，，
在正方形中，，
∵面，面,面，，
∴面
（2）建立空間直角坐標系如下圖所示：
設(shè)，
則
∴，，，，
∴，
在面中，，，
設(shè)面的一個法向量為，
∴即，解得，
當(dāng)時，，即，
若面，則，
∴，
解得：，
∴，
∴當(dāng)點為線段的中點時，面.
2．如圖，正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長是，點為側(cè)棱上的點．
(1)求正四棱錐的體積；
(2)若平面，求二面角的大??；
(3)在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)時，平面．
【分析】（1）作出輔助線，找到正四棱錐的高，并求出長度，利用錐體體積公式求出答案；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角的大??；
（3）在第二問的基礎(chǔ)上，設(shè)，通過得到的坐標，結(jié)合求出的值，求出答案.
【詳解】（1）連接BD與AC相交于點O，連接SO，
因為正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長是，
所以SO⊥平面ABCD，，
即SO為正四棱錐的高，
故正四棱錐的高，
正方形ABCD的面積為，
所以正四棱錐的體積；
（2）以為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，
建立坐標系如圖．由（1）知高．
于是，
，，
故，從而，
所以平面的一個法向量，
平面的一個法向量．
由圖可知二面角為銳角，設(shè)所求二面角為，
則，
所求二面角的大小為；
（3）在棱上存在一點使平面．
由（2）得是平面的一個法向量，
且，設(shè)，
則，
而，即當(dāng)時，，
而不在平面內(nèi)，故平面．
3．已知直角梯形中，，，，，，為的中點，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一點，使得平面？
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)為的中點時，平面，證明見解析；
(2)二面角的余弦值為.
【分析】（1）取的中點為， 證明，利用線面平行判定定理證明平面；
（2）建立空間直角坐標系，求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求二面角的余弦值.
【詳解】（1）當(dāng)點為的中點時，平面，證明如下：
由已知，
所以四邊形為矩形，
所以，，
已知，點為的中點，則，
又，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以在上存在一點，使得平面；
’
（2）因為平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又，
以點為原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，，
所以，故，
取，可得，
所以為平面的一個法向量，
設(shè)平面的法向量為，，
所以，故，
取，可得，
所以為平面的一個法向量，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，
則，觀察圖象可得，
所以.
所以二面角的余弦值為.

4．如圖，直三棱柱中，，D是的中點．
(1)求異面直線與所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)異面直線與所成角的大小為；
(2)二面角的余弦值為；
(3)存在點，使得平面，此時.
【分析】（1）建立空間直角坐標系，求直線與的方向向量，利用向量夾角公式求夾角；
（2）求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；
（3）設(shè)，再求的坐標，由條件列方程求，由此可得結(jié)論.
【詳解】（1）以點為原點，以為軸的正方向建立空間直角坐標系；
由已知，，，，
所以，，
所以，
設(shè)異面直線與所成角的大小為，則，
又，所以，
所以異面直線與所成角的大小為；
（2）因為，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則
，故，
令，則，，
所以為平面的一個法向量，
平面的一個法向量為，
所以，
觀察圖象可得二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為；
（3）假設(shè)存在點，使得平面，
設(shè)，
因為，，，
則，所以，又
所以，
向量為平面的一個法向量，
由已知，所以，
所以，
所以存在點，使得平面，此時.
5．中國正在由“制造大國”向“制造強國”邁進，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術(shù)的重要基石．如圖所示的一塊木料中，是正方形，平面，，點，是，的中點．
(1)若要經(jīng)過點和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請說明理由并計算截面周長；
(2)若要經(jīng)過點B，E，F(xiàn)將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請說明理由．
【答案】(1)詳見解析；
(2)詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，設(shè)的中點為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得就是應(yīng)畫的線，然后根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得截面周長；
（2）建立空間直角坐標系，可得平面的法向量，設(shè)平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得的位置，進而即得.
【詳解】（1）因為平面，平面，
所以平面，又平面，
設(shè)平面平面，則，
設(shè)的中點為，連接，則，又，
所以，即為，就是應(yīng)畫的線，
因為平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，即截面為直角梯形，又，
所以，，
所以，截面周長為；
（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸的正向建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)平面，設(shè)，又，
∴，，
由，可得，即，
即為的三等分點，連接，即就是應(yīng)畫的線.
6．如圖，底面為直角梯形的四棱柱中，側(cè)棱底面，為的中點，且為等腰直角三角形，，，．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)線段上是否存在點，使平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)當(dāng)F滿足時，有平面．
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明平面，即可證明；
（2）建立空間坐標系，利用向量法即可求直線與平面所成角的正弦值；
（3）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合空間直角坐標系即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，，
∵，∴，
∵四邊形是直角梯形， ，,
∴四邊形為正方形，∴，
又，為平面內(nèi)的兩條相交直線，
∴平面，由平面，∴.
（2）∵平面平面，且，
∴平面，∴，
由，，兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵為等腰直角三角形，
∴，設(shè)，
則，，
∴，
則平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值是．
（3）存在，且時，有平面，
證明如下：由，，
∴，，
設(shè)平面FBD的法向量為，
則，即，
令，則，
∵，即，
∵平面，∴平面．
即當(dāng)滿足時，有平面．
7．如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是且的菱形，和都是正方形．將兩個正方形分別沿，折起，使與重合于點．設(shè)直線過點且垂直于菱形所在的平面，點是直線上的一個動點，且與點位于平面同側(cè)（圖2）．
(1)設(shè)二面角的大小為，若，求線段的長的取值范圍；
(2)若在線段上存在點，使平面平面，求與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)時，恒有.
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）設(shè)菱形的中心為，以為原點，對角線，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標系如圖．設(shè)，得到平面和平面的法向量，從而得到二面角的余弦值的表達式，再根據(jù)其范圍，得到的范圍；
（2）假設(shè)存在滿足題意的點，令，從而得到點坐標，得到∥平面，則，得到等式，解出.
【詳解】（1）因為，平面，故平面，
設(shè)菱形的中心為，以為原點，對角線，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標系如圖，設(shè)，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得．
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得．
二面角的大小為，由題設(shè)可得．
，，
，整理得且，
又，解得，
所以的取值范圍是.
（2）設(shè)BE＝t，t＞0，，
令，則，
解得，則，
，，
且，則為平行四邊形，從而，
平面，平面，得平面，
由平面平面，得平面，，
，化簡得：，（ta），即，
所以當(dāng)0＜t＜a時，，即當(dāng)時，恒有.
8．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.
(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)設(shè)為側(cè)棱上一點，四邊形是過兩點的截面，且平面，是否存在點，使得平面平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)在側(cè)棱PD上存在點Q且當(dāng)時，使得平面BEQF⊥平面PAD.
【分析】對于（1），取AB中點為H，先由條件證得PH⊥平面ABCD，后可得答案.
對于（2），由（1）分析可知AB⊥AC，建立以A為原點的空間直角坐標系，找到平面BEQF，平面PAD法向量，后可得答案.
【詳解】（1）證明：取棱AB長的一半為單位長度.
則在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根據(jù)余弦定理，
得
得，故AB⊥AC.
又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB.
又平面ABCD，AC⊥平面PAB，則平面ABCD⊥平面PAB.
取AB中點H，連接PH，CH.
因是等邊三角形，則PH⊥AB，又PH 平面PAB，
平面ABCD 平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD.
得∠PCH是CP與平面ABCD所成的角.
在直角三角形中，，
，.
故，即為所求.
（2）假設(shè)存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.
如圖，以A為原點，分別以為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則，
，
設(shè)是平面PAD的法向量，則
，取.
設(shè)，其中.
則
連接EF，因AC∥平面BEQF，，平面PAC∩平面BEQF=EF，
故AC∥EF，則取與同向的單位向量.
設(shè)是平面BEQF的法向量，
則，
取.
由平面BEQF⊥平面PAD，知，有，解得.
故在側(cè)棱PD上存在點Q且當(dāng)時，使得平面BEQF⊥平面PAD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及線面角，及立體幾何中的動點問題.對于（1），關(guān)鍵能在各種線面關(guān)系中做出相應(yīng)線面角的平面角.對于（2），求動平面的法向量時，可利用線面平行關(guān)系找到動平面內(nèi)向量的共線向量.
題型二垂直中的探索性問題
9．如圖，正方形ABCD所在平面外一點P滿足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．
(1)求點A到平面PCD的距離；
(2)線段BP上是否存在點E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出該點位置，若不存在，則說明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由見解析.
【分析】（1）利用等積法，根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定及性質(zhì)結(jié)合條件即得；
（2）利用坐標法，設(shè)，結(jié)合條件可得，進而即得.
【詳解】（1）由題意，，
由PB⊥平面ABCD，PB?平面PBC，
可得平面PBC⊥平面ABCD，
而DC⊥BC，且平面平面，平面ABCD，
∴DC⊥平面PBC，平面PBC，
可得DC⊥PC，
∵CD＝3，PC＝，
∴，
設(shè)A到平面PCD的距離為h，則，
即h＝，
∴點A到平面PCD的距離為；
（2）以B為坐標原點，分別以BC、BA、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則D（3，3，0），C（3，0，0），P（0，0，4），
設(shè)，則，，
若DE⊥平面PAC，則，
解得，不合題意，
故線段BP上不存在點E，使得DE⊥平面PAC．
10．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1A的中點．
(1)求證：BC1∥平面CEF；
(2)在棱A1B1上是否存在點G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的長度；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，．
【分析】（1）連結(jié)AD1，則FE∥BC1，由此能證明BC1∥平面CEF．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在棱A1B1上存在點G，使得EG⊥CE，且．
【詳解】（1）連結(jié)AD1，則BC1∥AD1，AD1∥FE，∴FE∥BC1，
∵FE?面CEF，BC1?面CFE，
∴BC1∥平面CEF．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，
假設(shè)棱A1B1上是存在點G，使得EG⊥CE，設(shè)A1G＝λ（0≤λ≤1），
則G（1，λ，1），，C（0，1，0），
，，
∵EG⊥CE，∴， 解得．
∴在棱A1B1上存在點G，使得EG⊥CE，且．
11．如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正方形，平面平面，，，點是的中點，
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)證明：在線段上存在點，使得.并求的值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析，.
【分析】(1)連接，，記兩直線的交點為，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面；
(2)證明，，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面；
(3) 以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，由垂直關(guān)系列方程求出即可.
【詳解】（1）連接，，記兩直線的交點為，因為四邊形是正方形，所以為的中點，又點為的中點，所以，平面，平面，所以平面；
（2）因為，，，所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因為平面，所以，因為四邊形是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面；
（3）因為平面，，故以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，， ，，
設(shè)在線段上存在點，使得，且， 則，
所以，
因為，若，則，解得：，
所以在線段上存在點，使得且.
12．正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，先將△ABC沿CD翻折成直二面角．
(1)求二面角E－DF－C的余弦值；
(2)在線段BC上是否存在一點，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．
【答案】(1)；
(2)在線段BC上存在點，使，證明見解析.
【分析】（1）建立空間直角坐標系，求平面和平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式可求二面角E－DF－C的余弦值；
（2）設(shè)，由條件列方程求點坐標即可.
【詳解】（1）由已知，
所以為二面角的平面角，
又二面角為直二面角，所以，
以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
所以
設(shè)平面EDF的法向量為，則，即，
取，則，
所以為平面的一個法向量，
又為平面的一個法向量，
，
∴二面角E－DF－C的余弦值為．
（2）設(shè)，則，
因為，
所以，
∴，
又，，
∵，
∴，
∴，
把代入上式得，
∴，
∴，
∴在線段BC上存在點，使AP⊥DE．
13．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點.
(1)證明：平面ABCD
(2)在線段AN上是否存在點S，使得平面AMN，如果存在，求出線段AS的長度.
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)
【分析】(1)連接，由題意可知：四邊形為平行四邊形，得到，利用線面平行的判定即可證明；
(2)根據(jù)題意，建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關(guān)點的坐標，假設(shè)在線段上存在點，
使得平面，求得的坐標，可設(shè)，由平面可得關(guān)于的方程組，
解得的值，可得的坐標以及的值，從而得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明，連接，
因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，
所以,平面,,所以平面ABCD.
（2）由題意知：兩兩垂直，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
假設(shè)在線段上存在點，使得平面，連接，設(shè)，
因為，，
所以，則，
由平面可得，，即，解得：，
此時，，
故當(dāng)時，平面.
14．如圖，在長方體中，點為的中點，且，，點在線段上．
(1)問：是否存在一點，使得直線平面？若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由．
(2)若是線段的中點，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)不存在，理由見解析
(2)
【分析】（1）假設(shè)直線平面，利用線面垂直的性質(zhì)則有，進而可證明，與實際情況不符，從而證明不成立；（2）分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系．空間向量法求平面與平面的夾角的余弦值即可.
【詳解】（1）不存在．
理由如下：若直線平面，則必有．
如圖，連接，假設(shè)，
因為平面，所以，
又因為，所以平面，
所以，顯然不成立，
所以線段上不存在點，使得直線平面．
（2）分別以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
易知點，，，，，
則，，．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得平面的一個法向量為．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得平面的一個法向量為．
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E是PA的中點.
(1)求證：平面BDE.
(2)若直線BE與平面PCD所成角的正弦值為，求PA的長度.
(3)若PA=2，線段PC上是否存在一點F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)PA長為2或4
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定可得平面ADP，進而以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面BDE的法向量，再證明即可；
（2）由（1），設(shè)平面PCD的法向量為，得出，再根據(jù)線面角的向量方法求解可得或；
（3）令，再根據(jù)，與平行列式求解，進而根據(jù)空間向量模長公式求解即可.
【詳解】（1）因為平面ABCD，平面ABCD，所以.
因為ABCD為正方形，所以.
又，且平面ADP，所以平面ADP.
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，
則，，，，，，
所以，，.
設(shè)平面BDE的法向量為，
則，即，
令，則，，得.
由題意得.
因為平面BDE，所以平面BDE.
（2）由（1）知，，.
設(shè)平面PCD的法向量為，
則，即，
令，則，，得，
又，
設(shè)直線BE與平面PCD所成的角為，
則，解得或，所以PA長為2或4.
（3）存在，理由如下：因為，所以，
令，所以，
，，
所以，解得，則，
故.
16．如圖所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．
(1)證明：；
(2)在平面內(nèi)尋求一點，使得平面，求此時二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可證明；
（2）根據(jù)四點共面、線面垂直等求出點的坐標，再利用空間向量坐標運算即可求得二面角的平面角的正弦值.
【詳解】（1）因為，、都垂直平面，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
，則，
所以，則，故；
（2）設(shè)平面的法向量為，
則，令，則
設(shè)，則，由于平面，所以，則，所以，即，
又平面，故存在實數(shù)，且滿足，使得，
故，解得，所以
設(shè)平面的法向量為，又
則，令，則
設(shè)平面的法向量為，又
則，令，則，
所以，所以
則二面角的平面角的正弦值為.
題型三夾角中的探索性問題
17．在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，點在底面上的射影為棱的中點，且與底面所成角為，點為線段上一動點．
(1)求證：；
(2)是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，且點為的中點
【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；
（2）分析可知，平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)點，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：連接，為等邊三角形，為的中點，則，
因為點在底面上的射影為點，則平面，
平面，，
，、平面，平面，
平面，.
（2）解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
因為平面，所以，與底面所成的角為，
則、、，設(shè)點，其中，
，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
，設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
由已知可得，可得，
，解得，即點.
因此，當(dāng)點為的中點時，二面角的余弦值為．
18．如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.
(1)證明：平面平面；
(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由條件證明，，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；
（2）證明平面，建立空間直角坐標系，，求平面，平面的法向量，由條件列方程求即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，所以，
所以，又因為，
，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因為，，∴，
又∵，，平面，
∴平面，
∴、、兩兩垂直，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
因為，，
所以.
則，，，，
平面的一個法向量為，
，設(shè)，
，
，
設(shè)平面法向量為，
則，所以，
取，則，，
故為平面的一個法向量，
所以，
解得，符合題意
即，∴.
【點睛】
19．四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是直角梯形，，，，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)側(cè)棱上是否存在異于端點的一點，使得二面角的余弦值為，若存在，求的值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，且
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出平面，可得出，利用勾股定理推導(dǎo)出，再結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；
（3）設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因為平面平面，平面平面，
平面，，所以，平面，
因為平面，所以，，
取的中點，連接，
在直角梯形中，，，，，
因為為的中點，則，且，
所以，四邊形為正方形，所以，，且，
所以，，，
因為，所以，，故，
因為，、平面，所以，平面.
（2）解：因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、，
由（1）知平面，所以，平面的一個法向量為，
因為，則，
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
（3）解：設(shè)，其中，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，可得，
因為二面角的余弦值為，則，
整理可得，因為，解得，
且當(dāng)時，由圖可知，二面角為銳角，
因此，側(cè)棱上存在異于端點的一點，使得二面角的余弦值為，且.
20．如圖，圓柱的軸截面是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦交于點，其中．
(1)證明：平面平面;
(2)判斷上底面圓周上是否存在點，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長;若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點，的長為．
【分析】（1）將面面垂直轉(zhuǎn)化為平面，根據(jù)圓和圓柱的性質(zhì)可證；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量可解.
【詳解】（1）證明：由題意可知：在下底面圓中，為直徑．
因為
所以為弦的中點，且．
因為平面．
所以平面．
因為平面．
所以平面平面．
（2）
設(shè)平面交圓柱上底面于，交于點．
則二面角的大小就是二面角的大小．
分別以下底面垂直于的直線、為軸建立空間直角坐標系如圖所示．
因為，底面圓半徑為3，所以．
則，設(shè)．
所以，
．設(shè)平面的一個法向量為．
由得：即：
令則．
設(shè)平面的一個法向量為．
由得：即：
令可得
所以
化簡得，解得：或(舍)．
即：．又因為平面平面，平面平面
所以，且為的中點．
所以．
所以存在點，使得二面角的余弦值為的長為．
21．如圖，四棱錐，平面，且，，，是邊長為2的正三角形．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)線段上是否存在點E，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請指出點E的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)；
(3)存在，點與點重合.
【分析】（1）取中點為，連結(jié).由已知可得出，，進而可得出四邊形為平行四邊形，所以.進而根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出；
（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.寫出各點的坐標，求出平面的法向量.由已知可得即為平面的一個法向量.然后根據(jù)向量法，即可求出結(jié)果；
（3）.然后表示出，根據(jù)向量法求出線面角.令，整理即可得出的值.
【詳解】（1）如圖1，取中點為，連結(jié).
因為是中點，所以.
因為，所以，所以.
因為是邊長為2的正三角形，是中點，
所以，所以，所以.
則在四邊形中，有，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為，平面，平面，所以平面.
（2）
由已知平面，平面，
所以，.
以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，如圖2建立空間直角坐標系.
則，，，，，，
所以，，，.
設(shè)是平面的一個法向量，
則有，取，可得，
所以，是平面的一個法向量.
因為平面，所以即為平面的一個法向量.
因為，
所以，平面與平面夾角的余弦值為.
（3）存在，當(dāng)點與點重合時，滿足條件.
設(shè).
由（2）知，，所以，
所以.
又是平面的一個法向量，
則.
令，整理可得，，
解得或（舍去）.
所以，，即當(dāng)點與點重合時，滿足條件.
22．如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點，，，.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）先證明，結(jié)合，由線面垂直判定定理和定義證明，取中點G，由面面垂直性質(zhì)定理證明平面，由此可得，最后利用線面垂直判定定理證明平面；
【詳解】（1）為等邊三角形，D為中點，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
，
取中點G，連接，
為等邊三角形，
，
平面平面，平面平面，平面.
平面，
，
與相交，，平面，
平面；
（2）以為坐標原點，，所在直線為x軸，y軸，過C且與平行的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，，，，，
設(shè)，則
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，所以，
取，可得，
為平面的一個法向量，
取平面的一個法向量為，
則，
解得，此時，
在線段上存在點F使得平面與平面的夾角為，且.
23．已知底面是正方形，平面，，，點、分別為線段、的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）法一：分別取、的中點、，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
法二：以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；
（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值；
（3）假設(shè)存在點，使得，其中，求出向量的坐標，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解之即可.
【詳解】（1）證明：法一：分別取、的中點、，連接、、，
由題意可知點、分別為線段、的中點．所以，，
因為，所以，所以點、、、四點共面，
因為、分別為、的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又因為，平面，平面，所以平面，
又因為，、平面，所以平面平面，
因為平面，所以平面；
法二：因為為正方形，且平面，所以、、兩兩互相垂直，
以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
所以，易知平面的一個法向量，
所以，所以，
又因為平面，所以平面．
（2）解：設(shè)平面的法向量，，，
則，取，可得，
所以平面的一個法向量為，
易知平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角余弦值為；
（3）解：假設(shè)存在點，使得，其中，
則，
由（2）得平面的一個法向量為，
由題意可得，
整理可得．即，
因為，解得或，所以，或．
24．如圖，正三棱柱中，，點為線段上一點（含端點）.
(1)當(dāng)為的中點時，求證：平面
(2)是否存在一點，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量方法證明，結(jié)合，化簡線面垂直判定定理證明平面；
(2) 設(shè)，，求平面與平面的法向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾角余弦，由條件列方程求即可.
【詳解】（1）由已知，平面，為等邊三角形，
以點為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，
則，，
作軸，，，
則，
則，
而
∴
∴
由菱形性質(zhì)知
∵平面，平面，
∴平面；
（2）由(1)，，
為平面的一個法向量，
設(shè)，，則
所以，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取可得，，
所以為平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面所成角為，則
解得：或（均符合題意）
所以存在一點，，使平面與平面所成角的余弦值為.
題型四距離中的探索性問題
25．如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長方形，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線和平面所成角的正弦值；
(3)在線段上是否存在一點T，使得點T到直線的距離是，若存在求的長，不存在說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）由于，所以，
根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）設(shè)N是的中點，連接，則，MA，MB，MN，兩兩相互垂直.
以M為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)直線和平面所成角為，則；
（3）設(shè)，則，
過T作，則，
∵，
∴，
∴，∴或（舍）
∴.
26．如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，且，E為PD的中點．
(1)求證：；
(2)求二面角的大小；
(3)在側(cè)棱PC上是否存在點F，使得點F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）作出輔助線，證明線面垂直，進而證明線線垂直；
（2）建立空間直角坐標系，用空間向量求解二面角；
（3）設(shè)出F點坐標，用空間向量的點到平面距離公式進行求解.
【詳解】（1）證明：連接BD，設(shè)BD與AC交于點O，
連接PO．因為，所以．
四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，則．
又，所以平面PBD，
因為平面PBD，所以．
（2）因為，所以，所以由（1）知平面ABCD，
以O(shè)為原點，，，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，
建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，
所以，，，
設(shè)平面AEC的法向量，則，
即，令，則
平面ACD的法向量，，
所以二面角為；
（3）存在點F到平面AEC的距離為，理由如下：
由（2）得，，
設(shè)，則，
所以點F到平面AEC的距離，
解得，，所以．
27．圖1是直角梯形ABCD，，，四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，以BE為折痕將折起，使點C到達的位置，且，如圖2.
(1)求證：平面平面ABED；
(2)在棱上是否存在點P，使得P到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為
【分析】（1）作出輔助線，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，從而證明出線面垂直，面面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解出點P的坐標，從而得到線面角.
【詳解】（1）取BE的中點F，連接AF，，
因為四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，
所以均為等邊三角形，
故⊥BE，⊥BE，且，
因為，所以，
由勾股定理逆定理得：AF⊥，
又因為，平面ABE，
所以⊥平面ABED，
因為平面，
所以平面平面ABED；
（2）以F為坐標原點，F(xiàn)A所在直線為x軸，F(xiàn)B所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則，
設(shè)，，，
故，
解得：，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
故，
令，則，故，
其中
則，
解得：或（舍去），
則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
28．如圖，在梯形中，，，分別是的中點，且交于點O，現(xiàn)將梯形沿對角線AC翻折成直二面角.
(1)證明：平面；
(2)證明：；
(3)若，試問在線段上是否存在點，使得三棱錐的體積為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，
【分析】（1）由中位線證明線線平行，進而證明線面平行；（2）作出輔助線，證明出線線垂直，利用題干中的面面垂直得到線面垂直，進而證明出線線垂直；（3）利用余弦定理得到，利用第二問結(jié)論和等體積法求出，利用體積之比得到線段之比.
【詳解】（1）因為梯形中，，分別是的中點，且交于點O，由平行線分線段成比例可得：是的中點，故是△的中位線，所以∥，又因為平面，平面，所以平面.
（2）取得中點，連接
因為，CD=2，所以AG//DC，AG=DC，∴四邊形ADCG是平行四邊形，
∴CG=AD=2，∴CG=AG=GB，∴∠ACB=90°，即
又平面平面，且平面平面
平面
又平面，
（3）存在點，得三棱錐的體積為，此時，理由如下：因為∠ADC=60°，則△ACD是等邊三角形，所以AC=2，∠BAC=60°，因為，由余弦定理可得：，解得：，由（2）知：平面，所以，
又因為，所以，因為，所以,.
29．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖.
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大??；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可證得為等邊三角形，取中點，由等腰三角形三線合一和勾股定理可證得、，由線面垂直和面面垂直的判定可證得結(jié)論；
（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設(shè)存在且，由共線向量可表示出點坐標，利用點到面的距離的向量求法可求得，進而由二面角的向量求法求得結(jié)果.
【詳解】（1）在圖中取中點，連接，，
，，，，，
，，，四邊形為矩形，，
，又，為等邊三角形；
又，為等邊三角形；
在圖中，取中點，連接，
為等邊三角形，，，
，又，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，
設(shè)棱上存在點且滿足題意，
即，解得：，即，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
，
到平面的距離為，解得：，
，
又平面的一個法向量，
，
又二面角為銳二面角，二面角的大小為.
30．圖1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點C到達的位置，且．
(1)求證：平面平面ABED．
(2)在棱上是否存在點P，使得點P到平面的距離為？若存在，求出直線EP與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）在圖1中，連接，交于O，由幾何關(guān)系可得，，結(jié)合圖2易得 是二面角 的平面角，由勾股定理逆定理可證，進而得證；
（2）以，， 為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，設(shè) ，，求得，同時求出平面的法向量，由點面距離的向量公式求得，進而求得，結(jié)合向量公式可求直線EP與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）如圖所示：
在圖1中，連接，交于O，因為四邊形是邊長為2的菱形，并且，所以，且．
在圖 2 中， 相交直線 ，均與 垂直， 所以 是二面角 的平面角， 因為 ， 所以 ，，所以平面 平面 ；
（2）由 （1） 知， 分別以，， 為 x，y，z 軸建立如圖 2 所示的空間直角坐標系， 則 ，，，，， ，，，，.
設(shè) ，，
則 .
設(shè)平面 的法向量為 ，
則， 即 ， 取 ，
因為點 到平面 的距離為 ，
所以 ， 解得 ，
則 ， 所以 .
設(shè)直線 與平面 所成的角為 ，
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .
31．如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線段上一點.
(1)若，求證：平面；
(2)若，，異面直線與成角，二面角的余弦值為，在線段上是否存在點，使得點到直線的距離為，若存在請指出點的位置，若不存在請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)線段上存在點，為靠近或靠近的三等分點
【分析】（1）過點作，交于點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形得出，然后利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）證明出平面，過點作交于點，并以點為坐標原點，、、所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法結(jié)合二面角的余弦值為，求出的值，再利用空間中點到直線的距離公式即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）（1）過點作，交于點，連接，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
所以四邊形為平行四邊形，則，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）由異面直線與成角，即，
∵，，∴平面，
∵，過點作交于點，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為，、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，
可得平面的一個法向量為，
由于二面角的余弦值為，
則，解得，
則，
假設(shè)線段上存在點，使得點到直線的距離為，
設(shè)，
∴，
則，
∴，，
∴點到直線的距離為，
解得或，
所以線段上存在點，為靠近或靠近的三等分點時，使得點到直線的距離為.
題型一
平行中的探索性問題
題型二
垂直中的探索性問題
題型三
夾角中的探索性問題
題型四
距離中的探索性問題