廣東省深圳市部分學(xué)校2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（A卷）（原卷版+解析版）

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說明：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號等填寫在答題卷規(guī)定的位置上．
2．考生必須在答題卷上按規(guī)定作答：凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無效．
3．全卷共4頁，考試時間90分鐘，滿分100分．
一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1. 分式與的最簡公分母是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用最簡公分母的確定方法可得答案．
【詳解】分式與最簡公分母是，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了最簡公分母，關(guān)鍵是掌握如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．
2. 多項式的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)多項式的公因式的確定方法，即可求解．
【詳解】解：多項式的公因式是．
故選：C
【點睛】本題考查了公因式的定義．確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．
3. 數(shù)學(xué)中的對稱之美無處不在，下列四幅常見的垃圾分類標志圖案不考慮文字說明中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. 有害垃圾B. 可回收物
C. 廚余垃圾D. 其他垃圾
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【詳解】解：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
4. 計算的結(jié)果為（ ）
A. 1B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分式的加減運算，求解即可．
【詳解】解：原式．
故選：B．
【點睛】此題考查了分式的加減運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的有關(guān)運算法則．
5. 如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，且，平行四邊形的面積為，，則的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，平行四邊形的面積為48，
，
，
故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，△ABC是等腰直角三角形，DE是過點C的直線，BD⊥DE，AE ⊥DE ，則△BDC通過下列變換能與△ACE重合的是（ ）
A. 繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90度B. 沿AB的垂直平分線翻折
C. 繞AB的中點M順時針旋轉(zhuǎn)90度D. 沿DE方向平移
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理AAS得到，則BD=CE， CD=AE ．結(jié)合平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行判斷．
【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是過點C的直線，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、繞點C旋轉(zhuǎn)后，CD與AE不重合，即△BDC與△ACE不重合，故選項A不符合題意；
B、△BDC與△ACE不關(guān)于A B的中垂線對稱，則沿A B的中垂線翻折后BD與AE不重合，故選項B不符合題意；
C、因為△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以繞中點M逆時針旋轉(zhuǎn)90度，則△ACE與△BDC重合，故選項C符合題意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使點E與點D重合后，BD與AE不重合，故選項D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與平移的性質(zhì)及軸對稱．掌握無論旋轉(zhuǎn)還是平移，運動后的圖形與原圖形是全等的是解題的關(guān)鍵．
7. 四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四組條件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判斷這個四邊形是平行四邊形的條件共有（ ）
A 1組B. 2組C. 3組D. 4組
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐個判斷即可．
【詳解】如圖，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）∵在四邊形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（4）∵在四邊形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四邊形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形；
綜上所述，上述四組條件一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的有3組．
故選：C．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．
8. “某學(xué)校改造過程中整修門口的道路，但是在實際施工時，……，求實際每天整修道路多少米？”在這個題目中，若設(shè)實際每天整修道路，可得方程，則題目中用“……”表示的條件應(yīng)是（ ）
A. 每天比原計劃多修，結(jié)果延期10天完成
B. 每天比原計劃多修，結(jié)果提前10天完成
C. 每天比原計劃少修，結(jié)果延期10天完成
D. 每天比原計劃少修，結(jié)果提前10天完成
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查分式的實際運用．根據(jù)設(shè)實際每天整修道路，可得表示的含義，由此可得，表示的含義，由此即可求解．
【詳解】解：設(shè)實際每天整修道路，則表示：實際施工時，每天比原計劃多修，
∵方程，
其中表示原計劃施工所需時間，表示實際施工所需時間，
∴原方程所選用的等量關(guān)系為實際施工比原計劃提前10天完成．
故選：B．
9. 若關(guān)于的分式方程無解，則的值是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程為，由分式方程無解可得或，求出的值，再代入整式方程即可．
【詳解】解：，
，
去分母得：，
整理得：，
關(guān)于的分式方程無解，
或，
解得：或，
當時，，解得：，
當時，，解得：，
的值是或，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：化分式方程為整式方程；讓最簡公分母為0確定增根；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
10. 如圖，四邊形中，AD//BC，，M是上一點，且，點E從點A出發(fā)以的速度向點D運動，點F從點C出發(fā)，以的速度向點B運動，當其中一點到達終點，另一點也隨之停止，設(shè)運動時間為，則當以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，t的值是（ ）
A. B. 3C. 3或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】當3t≤3時，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得3-3t=t；當3t＞3時，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得3t-3=t；解方程即可．
【詳解】當3t≤3時，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，
得3-3t=t，
解得t=；
當3t＞3時，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，
得3t-3=t，
解得t=，
故選D．
【點睛】本題考查了動點問題，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理，靈活選擇判定方法，合理分類是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11. 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再逆用平方差公式進行因式分解．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．
12. 如圖所示的圖案，可以看作是一個四邊形（陰影部分）按順時針方向通過5次旋轉(zhuǎn)得到的，每次旋轉(zhuǎn)的角度是 _____．
【答案】##60度
【解析】
【分析】圖中的圖案有6個菱形組成，則每次旋轉(zhuǎn)60度；一共旋轉(zhuǎn)了5次．
【詳解】解：每次旋轉(zhuǎn)了．
故答案為：．
【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．
13. 如圖，平行四邊形中，對角線相交于點，若，則圖中陰影部分面積是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】過A作AH⊥BC于H，通過解直角三角形，即可得到AH的長，進而得到平行四邊形ABCD的面積，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到圖中陰影部分的面積＝×S?ABCD．
【詳解】解：如圖所示，過A作AH⊥BC于H，則∠AHB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
，
∴S平行四邊形ABCD＝BC?AH＝3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴S△AOF＝S△COE，
∴圖中陰影部分的面積＝×S?ABCD＝，
故答案為：
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的運用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
14. 如圖，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，若，，，，則的周長為______．
【答案】4a+2b
【解析】
【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80，再等角對等邊即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，
∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
則?ABCD的周長為2AD+2CD=4a+2b，
故答案為：4a+2b．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖所示，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是_________．
【答案】1.5．
【解析】
【分析】取AC的中點G，連接EG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF，然后利用“邊角邊”證明△DCF和△GCE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EG，然后根據(jù)垂線段最短可得EG⊥AD時最短，再根據(jù)∠CAD=30°求解即可．
【詳解】解：如圖，取AC的中點G，連接EG，
∵旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等邊△ABC的對稱軸，
∴CD=BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，
此時
∴EG=AG=1.5，
∴DF=1.5．
故答案為：1.5．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
三、解答題（共7小題，滿分55分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
17.
（1）先化簡，再求值： ， 其中x為，0，1，2中的一個合適的數(shù)值．
（2）解方程．
【答案】（1），4

（2）
【解析】
【分析】（1）先通分計算括號內(nèi)的部分，在因式分解約分即可得到答案；
（2）去分母化成整式方程，解整式方程，最后檢驗是否為增根即可得到答案．
【小問1詳解】
解：原式
，
∵當，0，1時原分式無意義，
∴，
當時，
原式；
【小問2詳解】
解：方程兩邊同乘，得
，
解得，
檢驗：當時，，
∴原分式方程的解是．
【點睛】本題考查分式化簡求值及解分式方程，解題的關(guān)鍵是因式分解及檢驗．
18. 如圖，在平面直角坐標系中，即△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）將△ABC以點O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C1．
（2）平移△ABC，若點A的對應(yīng)點A2的坐標為（﹣5，﹣2）；則點B的對應(yīng)點坐標是_____________
（3）將△ABC以點O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°，直接寫出點A對應(yīng)點的坐標___________
（4）若將△A1B1C1繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標為__________．
【答案】（1）見解析 （2）（-3，0）
（3）（2，3） （4）（-1，-2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；
（2）先根據(jù)點A（-3，2）經(jīng)過平移后得到點（-5，-2），得到△ABC的平移方式為向左平移2個單位長度，向下平移4個單位長度，由此求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)圖形，然后根據(jù)得到的圖形即可得到答案；
（4）先得到，， ，，再由旋轉(zhuǎn)中心在線段和線段的垂直平分線上，即可得到旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（-1，-2）．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：∵點A（-3，2）經(jīng)過平移后得到點（-5，-2），
∴△ABC的平移方式為向左平移2個單位長度，向下平移4個單位長度，
∴點B（-1，4）向左平移2個單位長度，向下平移4個單位長度的對應(yīng)點坐標為（-3，0），
故答案為：（-3，0）；
【小問3詳解】
解：如圖所示，是△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形，
∴點A對應(yīng)點的坐標為（2，3）；
故答案為：（2，3）；
【小問4詳解】
解：如圖所示，，， ，，
∵旋轉(zhuǎn)中心在線段和線段垂直平分線上，
∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（-1，-2）．
故答案為：（-1，-2）．
【點睛】本題主要考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形，平移作圖，根據(jù)平移前后點的坐標判斷平移方式，根據(jù)平移方式確定平移后點的坐標，找旋轉(zhuǎn)中心等等，解題的關(guān)鍵是熟知平移相關(guān)知識．
19. 某超市用3000元購進某種干果銷售，由于銷售狀況良好，很快售完．超市又調(diào)撥9000元資金購進該種干果，但這次的進價比第一次的進價提高了20%，購進干果的數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，如果超市此時按每千克9元的價格出售，當大部分干果售出后，余下的100千克按售價的8折售完．
（1）該種干果的第一次進價是每千克多少元？
（2）超市第二次銷售該種干果盈利了多少元？
【答案】（1）該種干果的第一次進價是每千克5元；（3）超市第二次銷售該種干果盈利了4320元．
【解析】
【分析】（1）設(shè)該種干果的第一次進價是每千克元，則第二次的進價為，再根據(jù)題中“購進干果的數(shù)量是第一次的2倍還多300千克”可列出關(guān)于x的分式方程，求解即可；
（2）結(jié)合（1）得第二次購進干果的數(shù)量為，表示出第二次的銷售總價，再減去第二次的進價即可.
【詳解】解：（1）設(shè)該種干果的第一次進價是每千克元，
根據(jù)題意，得．
解得：．
經(jīng)檢驗：是原方程的解．
答：該種干果的第一次進價是每千克5元．
（2）
答：超市第二次銷售該種干果盈利了4320元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，把握題中等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
20. 我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．
①分組分解法：
例如：．
②拆項法：
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分組分解法）；
②（拆項法）；
（2）已知：、、為的三條邊，，求的周長．
【答案】（1）①；②
（2）7
【解析】
【分析】（1）①將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）先利用完全平方公式對等式的左邊變形，再根據(jù)偶次方的非負性可得出、、的值，然后求和即可得到答案．
【小問1詳解】
解：①
；
②
；
【小問2詳解】
解：，
，
，
，
，
，
，
故的周長為：7．
【點睛】本題考查了因式分解的方法，運用完全平方公式進行計算，本題主要包括分組分解法、運用平方差公式進行分解、運用完全平方公式進行分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法、拆項法的實質(zhì)．
21. 如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE//AB交AC于點F，CE//AM，連結(jié)AE．
（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）成立，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先判斷出∠ECD=∠ADB，進而判斷出△ABD≌△EDC，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出四邊形DMGE是平行四邊形，借助（1）的結(jié)論即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，
∵AB∥ED，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；
【小問2詳解】
解：結(jié)論成立，理由如下：
如圖，過點M作MG∥DE交CE于G，
∵CE∥AM，
∴四邊形DMGE是平行四邊形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）知，AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解綁的關(guān)鍵．
22. 如圖所示，在平行四邊形中，平分交邊于，交于．

（1）求證：；
（2）求證：；
（3）延長交于點，延長到，使，若，，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而即可得出；
（2）由題意可得：，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，則，即可得結(jié)論；
（3）連接，作于，由題意可求，，即可求，根據(jù)勾股定理可求的長，根據(jù)勾股定理可列出方程，可求出，，，的長度，再根據(jù)勾股定理可求的長，由題意可證，即可得的長．
【小問1詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
；
【小問2詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
；
【小問3詳解】
解：如圖連接，作于，

四邊形是平行四邊形，
，
，
，且，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
在中，，且，
，
，
在和中，，，
，
，
，
中，，
，
四邊形是平行四邊形，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，添加恰當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．