2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

這是一份2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)，共27頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)．
1. 9的算術(shù)平方根是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
由，可得9的算術(shù)平方根．
解：9的算術(shù)平方根是3，
故選C
【點(diǎn)撥】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，熟練的求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是解本題的關(guān)鍵．
2. 若，則（ ）
A. 6B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
解：等式兩邊乘以，得，
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
3. 計(jì)算：（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．
解：，
故選：B
【點(diǎn)撥】此題考查了整式的四則混合運(yùn)算，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4. 若直線（是常數(shù)，）經(jīng)過第一、第三象限，則的值可為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
通過經(jīng)過的象限判斷比例系數(shù)k的取值范圍，進(jìn)而得出答案．
∵直線（是常數(shù)，）經(jīng)過第一、第三象限，
∴，
∴的值可為2，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記比例系數(shù)與圖象經(jīng)過的象限之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點(diǎn)，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．
解：∵是等邊的邊上的高，
∴，
∵，
∴，
故選C
【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
6. 方程的解為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，然后解出的解要進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否為增根．
去分母得，
解方程得，
檢驗(yàn):是原方程的解，
故選A．
【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程的一般步驟，解題關(guān)鍵是熟記解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，即把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，注意分式方程需要驗(yàn)根．
7. 如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（ ）

A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得到答案．
解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，
∴，與互相平分，
∴四邊形是菱形，
∵，，
∴菱形的面積為．
故選：B
【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．
8. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)家群體是一個(gè)長壽群體，某研究小組隨機(jī)抽取了收錄約位數(shù)學(xué)家的《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中部分歲及以上的長壽數(shù)學(xué)家的年齡為樣本，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，統(tǒng)計(jì)圖表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如下，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. 該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家年齡
B. 統(tǒng)計(jì)表中的值為5
C. 長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多
D. 《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有110人
【答案】D
【解析】
利用年齡范圍為的人數(shù)為10人，對應(yīng)的百分比為，即可判斷A選項(xiàng)；由A選項(xiàng)可知該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡，根據(jù)即可判斷B選項(xiàng)；由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的占的百分比最大，即可判斷C選項(xiàng)；用乘以小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡中在歲的百分比，即可判斷D選項(xiàng)．
解：A．年齡范圍為的人數(shù)為10人，對應(yīng)的百分比為，則可得（人），即該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．由A選項(xiàng)可知該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的占的百分比最大，即長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
D．《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有人，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)撥】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，從扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表中獲取正確信息，進(jìn)行正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于人射角”．為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時(shí)，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如圖，過作平面鏡，可得，，而，再建立方程，可得，從而可得答案．
解：如圖，過作平面鏡，

∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查的是垂直的定義，角的和差運(yùn)算，角平分線的含義，屬于跨學(xué)科題，熟記基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵．
10. 如圖1，正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動路程為，線段的長為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
證明，，，則當(dāng)P與A，B重合時(shí)，最長，此時(shí)，而運(yùn)動路程為0或4，從而可得答案．
解：∵正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)，
∴，，，
當(dāng)P與A，B重合時(shí)，最長，
此時(shí)，
運(yùn)動路程為0或4，
結(jié)合函數(shù)圖象可得，
故選C
【點(diǎn)撥】本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取信息，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，確定函數(shù)圖象上橫縱坐標(biāo)的含義是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
解：，
故答案為：
【點(diǎn)撥】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式，掌握因式分解的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．
12. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則________（寫出一個(gè)滿足條件的值）．
【答案】（答案不唯一，合理即可）
【解析】
先根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，解得，根據(jù)的取值范圍，選取合適的值即可．
解：∵關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，
故答案為：（答案不唯一，合理即可）
【點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
13. 近年來，我國科技工作者踐行“科技強(qiáng)國”使命，不斷取得世界級的科技成果，如由我國研制的中國首臺作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國水下萬米作業(yè)型無人潛水器的空白；由我國自主研發(fā)的極目一號Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界記錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作“________米”．
【答案】
【解析】
根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反的意義解答即可．
解：把海平面以上9050米記作“米”，則海平面以下10907米記作米，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】此題考查了正負(fù)數(shù)的理解：在一個(gè)事件中，規(guī)定一個(gè)量為正，則表示相反意義的量為負(fù)，正確理解正負(fù)數(shù)表示一對相反的意義的量是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則________．

【答案】35
【解析】
由同弧所對的圓周角相等，得再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得，然后由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
解：是所對的圓周角，
是的直徑，
，
在中，，
故答案為: ．
【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
15. 如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則________．

【答案】
【解析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)即可得出結(jié)果．
解：在菱形中，，
，
，
，
，
在中，，
同理，，
，
，
在中，
．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動到處（倒水）所經(jīng)過的路程是________米．（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】
把半徑和圓心角代入弧長公式即可；
故填：．
【點(diǎn)撥】本題考查弧長公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確記憶公式，并正確代入公式是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共6小題，共32分．解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
解：
．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
18. 解不等式組：
【答案】
【解析】
先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集．
解：解不等式組：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
因此，原不等式組的解集為．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．
19. 化簡：．
【答案】
【解析】
先將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的加減計(jì)算，即可求解．
解：原式
．
【點(diǎn)撥】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行求解．
20. 1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：
如圖，已知，是上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）

①以點(diǎn)為圓心，長為半徑，自點(diǎn)起，在上逆時(shí)針方向順次截??；
②分別以點(diǎn)，點(diǎn)圓心，長為半徑作弧，兩弧交于上方點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交于，兩點(diǎn)．即點(diǎn)，，，將的圓周四等分．
【答案】見解析
【解析】
根據(jù)作圖提示逐步完成作圖即可．再根據(jù)圖形基本性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
解：如圖，

即點(diǎn)，，，把的圓周四等分．
理由如下：
如圖，連接，

由作圖可得：，且，
∴等邊三角形，，
同理可得：，
∴，
∴A，O，D三點(diǎn)共線，為直徑，
∴，
設(shè)，而，
∴，，
由作圖可得：，而，
∴，，
∴由作圖可得，
而，
∴，
∴，
同理，
∴點(diǎn)，，，把的圓周四等分．
【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓弧與圓心角之間的關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，熟練掌握圖形的基本性質(zhì)并靈活應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．
21. 為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強(qiáng)愛國主義情感，某校組織七年級學(xué)生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：
A．南梁精神紅色記憶之旅（華池縣）；B．長征會師勝利之旅（會寧縣）；C．西路軍紅色征程之旅（高臺縣），且每人只能選擇一條線路．小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再從中隨機(jī)抽取一張卡片．
（1）求小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）本題考查了等可能時(shí)間的概率，帶入公式即可求解；
（2）先用列表法或樹狀圖法列舉出所有可能的情況，再帶入公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
（小亮抽到卡片）．
【小問2詳解】
列表如下：
或畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，兩人都抽到卡片的結(jié)果有1種，
所以，（兩人都抽到卡片）．
【點(diǎn)撥】本題考查列舉法求概率，正確用樹狀圖或者列表法列舉出所有情況，并找到符合條件的事件數(shù)量，正確帶入公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖1，某人的一器官后面處長了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】新生物處到皮膚的距離約為
【解析】
過點(diǎn)作，垂足為，在，用 與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯(lián)立求解即可．
解：過點(diǎn)作，垂足為．
由題意得，，，
在中，．
在中，．

∵，
∴，
∴．
答：新生物處到皮膚的距離約為．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，通過三角函數(shù)求解線段是求解本題的關(guān)鍵．
四、解答題：本大題共5小題，共40分．解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
23. 某校八年級共有200名學(xué)生，為了解八年級學(xué)生地理學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的八年級上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績進(jìn)行整理和分析（兩次測試試卷滿分均為35分，難度系數(shù)相同；成績用表示，分成6個(gè)等級：．；．；．；．；．；．）．下面給出了部分信息：
a．八年級學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績的統(tǒng)計(jì)圖如下：

b．八年級學(xué)生上學(xué)期期末地理成績在．這一組的成績是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c．八年級學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：________；
（2）若為優(yōu)秀，則這200名學(xué)生八年級下學(xué)期期末地理成績達(dá)到優(yōu)秀的約有________人；
（3）你認(rèn)為該校八年級學(xué)生的期末地理成績下學(xué)期比上學(xué)期有沒有提高？請說明理由．
【答案】（1）16 （2）35
（3）八年級，理由見解析
【解析】
（1）由中位數(shù)的概念，可知40人成績的中位數(shù)是第20、21位的成績；
（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體即可求解；
（3）根據(jù)平均成績或中位數(shù)即可判斷．
（1）
解：由中位數(shù)的概念，可知40人成績的中位數(shù)是第20、21位的成績，
由統(tǒng)計(jì)圖知A組4人，B組10人，C組10人，則中位數(shù)在C組，第20、21位的成績分別是16，16，
則中位數(shù)是；
故答案為：16；
（2）
解：(人)，
這200名學(xué)生八年級下學(xué)期期末地理成績達(dá)到優(yōu)秀的約有35人，
故答案為：35；
（3）
解：因?yàn)槌槿〉陌四昙墝W(xué)生的期末地理成績的平均分（或中位數(shù)）下學(xué)期的比上學(xué)期的高，所以八年級學(xué)生下學(xué)期期末地理成績更好．
【點(diǎn)撥】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)等知識，熟練掌握知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用的代數(shù)式表示；
（3）當(dāng)?shù)拿娣e為9時(shí)，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）把點(diǎn)代入，從而可得答案；
（2）把點(diǎn)代入，從而可得答案；
（3）利用三角形的面積先求解，可得的坐標(biāo)，可得，代入再解決的值即可．
（1）
解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴．
（2）
∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，
∴，
即．
（3）
如圖，連接．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：．
【點(diǎn)撥】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形面積，熟練的利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時(shí)，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出，根據(jù)得出，角平分線的定義得出，等量代換得出，進(jìn)而得出，即，即可得證；
（2）連接，得，則，進(jìn)而證明，得出，解，得出，則，進(jìn)而根據(jù)即可求解．
（1）
證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵為的半徑，
∴是的切線．

（2）
連接，得，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定定理，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
26. 【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）
【解析】
（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；
（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．
（1）①證明：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和關(guān)于對稱，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得．

∵和關(guān)于對稱，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵，
∴，
．
∴．
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考壓軸題，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
27. 如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)停止．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，請?jiān)趫D1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
（3）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動．連接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）四邊形是平行四邊形，理由見解析
（3）
【解析】
（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，，由點(diǎn)在上，可知，，連接，得出，則，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；
（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．
（1）
解：∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）
四邊形是平行四邊形．
理由：如圖1，作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，．
∵點(diǎn)在上，
∴，，
連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）
如圖2，由題意得，，連接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短），
∴的最小值為，
∵，
∴，
即的最小值為．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．年齡范圍（歲）
人數(shù)（人）
25
11
10
小剛
小亮
課題
檢測新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖

說明
如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．
測量數(shù)據(jù)
，，
學(xué)期
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
八年級上學(xué)期
15
八年級下學(xué)期
19