適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直一教師用書新人教A版必修第二冊(cè)

8.6.2　直線與平面垂直(一) 1.直線與平面垂直的定義 如果直線l與平面α內(nèi)的　　　　　直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.? 2.直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”“無數(shù)條直線”? 3.直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的　　　　　垂直,那么該直線與此平面垂直.? 4.直線與平面所成的角 (1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的　　　　所成的角.? (2)范圍:　　　　　.? 【基礎(chǔ)鞏固組】 一、單選題 1.(教材改編題)若兩直線l1與l2異面,則過l1且與l2垂直的平面 (　　) A.有且只有一個(gè) B.可能存在,也可能不存在 C.有無數(shù)多個(gè) D.一定不存在 2. 如圖,P為△ABC所在平面α外一點(diǎn),PB⊥α,PC⊥AC,則△ABC的形狀為 (　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 3.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是 (　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=,則PC與平面ABCD所成角的大小為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.90° 二、多選題 5.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的: ①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正五邊形的兩邊. 那么能保證該直線與平面垂直的是 (　　) A.① B.② C.③ D.④ 6.如圖所示,在四個(gè)正方體中,EF是正方體的一條體對(duì)角線,點(diǎn)M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出EF⊥平面MNP的圖形為 (　　) 三、填空題 7.將一本書打開后豎立在桌面上(如圖),則書脊所在直線AB與桌面的位置關(guān)系為　　　　.? 8.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為,則AC1與面ABB1A1所成的角為　　　　.? 四、解答題 9.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,AC與BD交于點(diǎn)O.求證:BD⊥平面PAC. 10.如圖,在四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. 求證:SD⊥平面SAB. 【素養(yǎng)提升組】 一、選擇題 1.如圖,在三棱錐A-BCD中,若各條棱都相等,則AB所在直線與平面BCD所成角的余弦值為 (　　) A. B. C. D.1 2.如圖所示,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是 (　　) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 二、填空題 3.四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB=4,則直線PB與平面PAC所成角為　　　　.? 4.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AA1,AB的中點(diǎn),則EF與直線AC1所成角的大小為　　　　;EF與對(duì)角面BDD1B1所成角的正弦值是　　　　.? 三、解答題 5.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形, ∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2.點(diǎn)D,D1分別是棱AC,A1C1的中點(diǎn). (1)求證:D,B,B1,D1四點(diǎn)共面; (2)求直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值的大小. 6.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°, CE⊥AB1,垂足為E,D為AB的中點(diǎn). 求證:(1)CD⊥AA1; (2)AB1⊥平面CED. 8.6.2　直線與平面垂直(一) 必備知識(shí)·落實(shí) 1.任意一條 2.定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的,但是不可說成“無數(shù)條直線”,因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直,該直線與這個(gè)平面不一定垂直. 3.兩條相交直線 4.射影　0°≤θ≤90° 知能素養(yǎng)·進(jìn)階 【基礎(chǔ)鞏固組】 1.B　當(dāng)l1⊥l2時(shí),過l1且與l2垂直的平面有一個(gè),當(dāng)l1與l2不垂直時(shí),過l1且與l2垂直的平面不存在. 2.B　由PB⊥α,AC?α得PB⊥AC, 又AC⊥PC,PC∩PB=P, 所以AC⊥平面PBC,AC⊥BC. 3.C　取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO, 則BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC, 所以BD⊥AC,又BD,AC異面. 所以AC,BD不相交. 4.C　連接AC. 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.因?yàn)锳C=,PA=, 所以tan∠PCA===.所以∠PCA=60°. 5.ACD　根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的;選項(xiàng)A,C,D中給定的兩條直線一定相交,能保證直線與平面垂直;而B中梯形的兩邊可能是上、下底邊,它們互相平行,不滿足定理?xiàng)l件. 6.AD　對(duì)于AD,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得:EF⊥MN,EF⊥MP,可得EF⊥平面MNP.而BC無法得出EF⊥平面MNP. 7.【解析】設(shè)桌面所在平面為平面α, 由AB⊥BC,AB⊥BE, 且BC?平面α,BE?平面α,且BC∩BE=B, 可得AB⊥平面α. 答案:垂直 8.【解析】取A1B1中點(diǎn)D,連接C1D,AD, 因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的底面邊長為2, 側(cè)棱長為2, 所以C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1, 因?yàn)锳1B1∩AA1=A1, 所以C1D⊥平面ABB1A1, 所以AC1與平面ABB1A1所成的角為∠DAC1, 因?yàn)镃1D==,AD==3, 所以tan∠DAC1==, 所以∠DAC1=. 所以AC1與平面ABB1A1所成的角為. 答案: 9.【證明】因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BD⊥AC, 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD, 所以BD⊥PA,PA∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC. 10.【證明】因?yàn)锳B∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1, 所以底面ABCD為直角梯形, AD==. 因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形, 所以SA=SB=AB=2. 又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD⊥SA. 連接BD,則BD==, 所以BD2=SD2+SB2, 所以SD⊥SB. 又SA∩SB=S, 所以SD⊥平面SAB. 【素養(yǎng)提升組】 1.A　因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中, AB=BC=CD=DA=AC=BD, 所以四面體ABCD為正四面體, 所以點(diǎn)A在平面BCD上的投影為正△BCD的中心O,連接AO,BO, 則∠ABO為AB所在直線與平面BCD所成角, 令A(yù)B=BC=CD=DA=AC=BD=a, 則BO=×a=a, 在Rt△ABO中,cos∠ABO===. 2.C　因?yàn)锽D是菱形ABCD的一條對(duì)角線,菱形對(duì)角線互相垂直,所以AC⊥BD. 因?yàn)镸C⊥平面ABCD,所以MC⊥BD, 因?yàn)镸C和AC相交于點(diǎn)C, 所以BD⊥平面ACM, 因?yàn)镸A?平面AMC,所以MA⊥BD. 又因?yàn)镸A與BD是異面直線, 所以MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交. 3.【解析】連接BD交AC于點(diǎn)O,連接PO. 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BD 又底面ABCD是正方形,所以BD⊥AC, 因?yàn)镻A∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC. 則PO為PB在平面PAC上的射影. 所以∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角. 因?yàn)镻A=AB=4, 所以O(shè)A=OB=2,PO==2. 所以tan∠BPO==,得∠BPO=30°. 所以直線PB與平面PAC所成的角為30°. 答案:30° 4.【解析】由正方體的性質(zhì)知,B1C1⊥平面ABB1A1, 所以B1C1⊥EF,連接AB1,A1B, 因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1為正方形, 所以AB1⊥A1B, 因?yàn)镋,F分別是AA1,AB的中點(diǎn), 所以EF∥A1B,所以AB1⊥EF, 又B1C1∩AB1=B1,B1C1,AB1?平面AB1C1, 所以EF⊥平面AB1C1,所以EF⊥AC1, 即EF與直線AC1所成角的大小為. 取B1D1的中點(diǎn)O,連接OA1,OB,則A1O⊥B1D1, 因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1O, 因?yàn)锽1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1?平面BDD1B1, 所以A1O⊥平面BDD1B1, 因?yàn)镋F∥A1B,所以EF與平面BDD1B1所成的角也為A1B與平面BDD1B1所成的角,即∠A1BO, 在Rt△A1BO中,sin∠A1BO==, 所以EF與平面BDD1B1所成角的正弦值為. 答案:　 5.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D,D1分別是棱AC,A1C1的中點(diǎn),所以DD1∥CC1,因?yàn)镃C1∥BB1,所以DD1∥BB1, 所以D,B,B1,D1四點(diǎn)共面. (2)作C1F⊥B1D1,垂足為F, 因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1,C1F?平面A1B1C1, 所以直線BB1⊥直線C1F, 因?yàn)镃1F⊥直線B1D1且BB1與B1D1相交于B1,所以直線C1F⊥平面DBB1D1,所以∠C1BF即為直線BC1與平面DBB1D1所成的角.在Rt△C1BF中,BC1=2,C1F=,sin∠C1BF=. 6.【證明】(1)由題意知,AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以CD⊥AA1. (2)因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB. 因?yàn)镃D⊥AA1,AB∩A1A=A,AB?平面A1B1BA,A1A?平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA. 因?yàn)锳B1?平面A1B1BA,所以CD⊥AB1. 由題意知CE⊥AB1. 因?yàn)镃D∩CE=C,CD?平面CED,CE?平面CED, 所以AB1⊥平面CED.