初中數(shù)學(xué)北師大版七年級上冊4.2 比較線段的長短導(dǎo)學(xué)案

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知識清單
知識點01 線段大小比較
比較線段大小的方法：（1）目測法；（2）度量法；（3）疊合法
疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠(yuǎn)近來比較長短．如下圖：

【說明】線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．
知識點02 尺規(guī)作圖
僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖.
【說明】（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．
（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上面畫刻度．
（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度．
知識點03 線段的和與差
如下圖：線段AB上有一點C，則AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BC=AB表示AC長度與BC長度之和等于AB長度.
知識點04 線段的中點
線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖所示，點C是線段AB的中點，則AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【說明】若點C是線段AB的中點，則點C一定在線段AB上．
考點精析
考點一 尺規(guī)作圖
例1
根據(jù)所示圖形填空，已知：線段a、b，且a>3b，畫一條線段，使它等于a-3b．

（1）畫射線_____；
（2）在射線_____上，截取______=a；
（3）在線段______上，順次截取______=______=_______=b；線段______就是所要畫的線段．
【答案】(1)AF
(2)AF，AB
(3)BA，BC，CD，DE，AE
【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)作圖步驟，利用線段的和差定義求解即可．
（1）
解：畫射線AF，
故答案為：AF；
（2）
解：在射線AF上，截取AB＝a，
故答案為：AF，AB；
（3）
解：在線段BA上，順次截取BC＝CD＝DE＝b；線段AE就是所要畫的線段，
故答案為：BA，BC，CD，DE，AE．
例2
如圖，已知線段m，n，用尺規(guī)作圖法，作一條線段，使它等于m-n.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】在射線AP上截取AB=m，AC=n，則BC即為所作．
【詳解】如圖，線段BC為所作．
變1
如圖，已知線段a、b、c，用尺規(guī)作一條線段，使．要求：不寫作法，但要保留作圖痕跡，標(biāo)注大寫字母．

【答案】作圖見解析
【分析】根據(jù)線段的和差的尺規(guī)作圖方法作圖即可．
【詳解】解：如圖所示，線段AB即為所求；
先作射線AP，再以A為圓心，以線段a的長為半徑畫弧與射線AP交于點C，再以點C為圓心，以線段c的長為半徑畫弧交射線AP于D，再以D為圓心，以線段b的長為半徑畫弧交射線AP于E，最后以E為圓心，以線段b的長為半徑畫弧交射線AP于B，線段AB即為所求；
變2
如圖，已知線段a，b，用直尺和圓規(guī)在射線MH上作線段MP，使MP=3b-a，不寫作法，保留作圖痕跡．

【答案】見解析
【分析】在射線MH上依次截取MA=AB=BC=b，再在CM上截取CP=a，則MP滿足條件．
【詳解】解：如題所示：MP為所求．
考點二 線段的和差計算
類型一 線段的和差計算（1）
例1
如圖，已知線段AB＝4 cm，延長AB至點C，使AC＝11 cm．點D是AB的中點，點E是AC的中點，則DE的長為（ ）

【答案】B
【分析】根據(jù)線段中點得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵AB＝4 cm，點D是AB的中點，
∴AD＝AB＝2cm．
∵AC＝11cm，點E是AC的中點，
∴AE＝AC＝5.5 cm．
∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm
故選：B．
例2
延長線段AB到C，使，反向延長AC到D，使，若AB=8cm，則CD= cm．
【解題思路】根據(jù)題中線段的長度關(guān)系，即能求出CD的長度．
【解答過程】解：如圖，BC4，AC＝AB+BC＝8+4＝12cm，
AD6，CD＝AD+AC＝12+6＝18cm．
故答案為18．
例3
已知線段AB=10cm，線段AC=16cm，且AB、AC在同一條直線上，點B在A、C之間，此時AB、AC的中點M、N之間的距離為（ ）
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意，結(jié)合中點的性質(zhì)，分別算出、的長，然后再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計算，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
∵cm，
又∵的中點為，
∴，
∵cm，
∵的中點為，
∴，
∴．
故選：C
例4
如圖，點，點在線段上，點，點分別為，的中點．若，，則的長為______．

【答案】m+n
【分析】先根據(jù)中點的定義可得EC=AC、DF=BD，再根據(jù)線段的和差可得AC+BD=AB-CD=m-n，最后根據(jù)=EC+CD+DF求解即可．
【詳解】解：∵點、點分別為、的中點
∴EC=AC,DF=BD
∵，
∴AC+BD=AB-CD=m-n
∴=EC+CD+DF=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=( m-n)+n=m+n．
故答案為m+n．
變1
如圖，是線段上兩點，若，，且是中點，則的長等于（ ）

【答案】A
【分析】先根據(jù)CB=4cm，DB=7cm求出CD的長，再根據(jù)D是AC的中點求出AC的長即可．
【詳解】解：∵C，D是線段AB上兩點，CB=4cm，DB=7cm，
（cm），
∵D是AC的中點，
（cm）．
故選：A．
變2
線段MN上有P、Q兩點，MN=32cm，MP=17cm，PQ=6cm，求NQ的長．

【答案】
【分析】根據(jù)線段之間的和與差進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵M(jìn)N=32cm，MP=17cm，PQ=6cm，
∴NQ=MN-MP-PQ=9cm．
變3
如圖，點C、D是線段AB上任意兩點，點M是AC的中點，點N是DB的中點，若AB=a，MN
=b，則線段CD的長是（ ）

【解題思路】先由AB﹣MN＝a﹣b，得AM+BN＝a﹣b，再根據(jù)中點的性質(zhì)得AC+BD＝2a﹣2b，最后由CD＝AB﹣（AC+BD）即可求出結(jié)果．
【解答過程】解：∵AB＝a，MN＝b，
∴AB﹣MN＝a﹣b，
∴AM+BN＝a﹣b，
∵點M是AC的中點，點N是DB的中點，
∴AM＝MC，BN＝DN，
∴AC+BD＝AM+MC+BN+DN＝2（AM+BN）＝2（a﹣b）＝2a﹣2b．
∴CD＝AB﹣（AC+BD）＝a﹣（2a﹣2b）＝2b﹣a．
故選：A．
類型二 線段的和差計算（2）
例1
如圖，點為線段的中點，點為的中點，若，，則線段的長（ ）

【答案】C
【分析】應(yīng)用一條線上的線段和差關(guān)系進(jìn)行計算即可得出答案．
【詳解】解：∵點D為線段AB的中點，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，
∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，
∴AE＋AE＝8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵點C為DB的中點，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，
故選：C．
例2
如圖，點C是線段AB的中點，CD＝AC，若AD=2cm，則AB=（ ）

【答案】D
【分析】根據(jù)CD＝AC，設(shè)，則，根據(jù)AD＝2cm列出方程，即可求出AC的長度，再根據(jù)點C是線段AB的中點，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，
∵CD＝AC，
∴
∵AD＝2cm，
∴
∴
∴
∵點C是線段AB的中點，
∴
故選D．
變1
已知線段，延長到，使，為的中點，若cm，則（ ）

【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)中點的性質(zhì)可得，根據(jù)，結(jié)合已知條件即可求解．
【詳解】解：，
，
為的中點，
，
，
，
cm，
故選D
變2
如圖，已知，，點是線段的中點，求的長．

【答案】
【分析】根據(jù)已知條件求出和的長，根據(jù)線段中點求出，即可依據(jù)，求出的長．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵點是線段的中點，
∴，
∴
．
∴的長為．
類型三 線段的和差計算（3）
例1
如圖，長度為12cm的線段AB的中點是點M，點C在線段MB上，且，則線段AC的長為______．
【答案】8cm##8厘米
【分析】先由中點的定義求出AM，BM的長，再根據(jù)MC：CB=1：2的關(guān)系，求MC的長，最后利用AC=AM+MC得其長度．
【詳解】解：∵線段AB的中點為M，
∴AM=BM=6cm，
設(shè)MC=x，則CB=2x，
∴x+2x=6，解得x=2，
即MC=2cm，
∴AC=AM+MC=6+2=8（cm）．
例2
如圖所示，C，D兩點把線段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中點，DB＝12，求AM的長．

【答案】13.5
【分析】根據(jù)比例設(shè)出AC、CD、DB的長度，然后根據(jù)DB的長度求出三條線段的長度，從而得到AB的長度，再根據(jù)點M是AB的中點求出AM的長度．
【詳解】解：設(shè)AC＝2x，CD＝3x，DB＝4x，
∵DB＝12，
∴4x＝12，
解得x＝3，
∴AC＝2×3＝6，CD＝3×3＝9，
∴AB＝AC+CD+DB＝27，
又M為AB中點，
∴AM＝AB＝13.5．
例3
如圖，已知AB和CD的公共部分，線段AB，CD的中點E，F(xiàn)之間的距離是
10cm，則AB的長是 ．
【解題思路】設(shè)BD＝x，則AB＝3x，CD＝4x，由中點的定義可得EF（3x+4x）＝10，即可求解x值，進(jìn)而可求得AB的長．
【解答過程】解：設(shè)BD＝x，
∵BDABCD，
∴AB＝3x，CD＝4x，
∵線段AB，CD的中點E，F(xiàn)之間的距離是10cm，
∴EF＝BE+BFABCD﹣BD（AB+CD）﹣BD（3x+4x）﹣x＝10cm，
解得x＝4，
∴AB＝3x＝12（cm）．
故答案為12cm．
變1
如圖，點、、在線段上，，是的中點，，求線段的長．

【答案】
【分析】由是的中點，可求得BC=2BE=4cm，又由，可求出AC=10cm，從而求得AB=6cm，再根據(jù)，可求得BD=4cm，即可由DE=BD+BE求解．
【詳解】解：∵，且是的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴(cm)，，
∵，AD+BD=AB，
∴BD+BD=6cm
∴.
∴，
答：長為.
變2
如圖，已知BD＝16cm，，點C是線段BD的中點，那么AC＝ cm．
【解題思路】先由BD＝16cm，BDAB知ABBD＝40cm，再由點C是線段BD的中點知BCBD＝8cm，根據(jù)AC＝AB﹣BC求解可得答案．
【解答過程】解：∵BD＝16cm，BDAB，
∴ABBD16＝40（cm），
又∵點C是線段BD的中點，
∴BCBD＝8cm，
則AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），
故答案為：32．
變3
如圖，已知C是線段上的一點，，，求線段的長．

【答案】
【分析】根據(jù)即可得到，再根據(jù)AC+BC=AB進(jìn)行求解即可
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵AC+BC=AB，AB=10cm，
∴，
∴．
變4
如圖，已知點C在線段AB上，點M，N分別在線段AC與線段BC上，且MC，BN＝2NC．

（1）若AC＝9，BC＝6，求線段MN的長；
（2）若MC：NC＝5：2，MN＝7，求線段AB的長．
【答案】(1)8；
(2)13.5．
【分析】（1）由AC＝9及AM＝MC可求解CM的長，由BN＝2NC及BC＝6可求得CN的長，再利用MN＝CM+CN可求解；
（2）由MC：NC＝5：2，MN＝7，可求解MC，CN的長，結(jié)合AM＝MC，BN＝2NC可求解AM，BN的長，利用AB＝AM+MN+BN計算可求解．
（1）
解：（ 1）∵AM＝MC，
∴CM＝AC，
∵AC＝9，
∴CM＝6，
∵BN＝2NC，
∴CN＝BC，
∵BC＝6，
∴CN＝2，
∴MN＝CM+CN＝6+2＝8；
（2）
解：∵M(jìn)C：NC＝5：2，MN＝7，
∴MC＝5，CN＝2，
∵AM＝MC，BN＝2NC，
∴AM＝2.5，BN＝4，
∴AB＝AM+MN+BN＝2.5+7+4＝13.5．
類型四 線段的和差計算（4）
例1
已知線段AB＝6cm，在直線AB上畫線段BC，使BC＝2cm，則線段AC的長為（ ）
【答案】D
【分析】分情況討論，點C在線段AB上或點C在線段AB的延長線上．
【詳解】解：當(dāng)點C在線段AB上，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=AB-BC=6-2=4（cm）；
當(dāng)點C在線段AB的延長線上，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=AB+BC=6+2=8（cm）；
綜上，線段AC的長為4cm或8cm．
故選：D．
例2
若點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點，線段AB＝18cm，則線段的BD長為（ ）
【答案】C
【分析】根據(jù)線段中點的定義和線段三等分點的定義畫出圖形即可得到結(jié)論．
【詳解】解∶∵C是線段AB的中點， AB= 18cm，
∴AC=BC=AB=×18=9cm，
點D是線段AC的三等分點，
當(dāng)點D離點A較近，即AD=AC時，如圖1，
∵AD=AC，AC=9cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD= 18-3=15cm；
②當(dāng)點D離點C較近，即CD=AC時，如圖2，
∵CD=AC，AC=9cm，
∴CD=3cm，
∵BC=9cm，
∴BD= BC+CD=9+3=12cm，
故選：C．
例3
一條直線上有，，三點，，，點，分別是，的中點，則______．
【答案】或
【分析】因為直線上三點A、B、C的位置不明確，所以要分B在A，C兩點之間和A在C、B兩點之間兩種情況，分別結(jié)合圖形并根據(jù)中點的定義即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意由兩種情況
若B在A，C兩點之間，如圖：
則,
，
(cm)；
若C在A，B兩點之間，如圖：
則
，
(cm)，
故答案為：13cm或5cm．
例4
已知線段，點C是直線AB上的一點，且，若點E、F分別是線段AB、BC的中點，求線段EF的長．（要求畫出示意圖）
【答案】線段EF的長為8或4
【分析】先根據(jù)，，求出，再根據(jù)點E、F分別是線段AB、BC的中點，求出，，分兩種情況討論，求出EF的長即可．
【詳解】解：當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖所示：
∵，，
∴，
∵點E、F分別是線段AB、BC的中點，
∴，，
∴；
當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，如圖所示：
∵，，
∴，
∵點E、F分別是線段AB、BC的中點，
∴，，
∴；
綜上分析可知，線段EF的長為8或4．
變1
如果A、B、C三點共線，線段cm，cm，那么A、C兩點間的距離是______．
【答案】12cm或2cm
【分析】分兩種情況：點C在點B的右邊時，點C在點B的左邊時，根據(jù)直線上兩點間的距離來解決問題即可．
【詳解】解：如圖所示，點C、點C'的位置就是點C位置的兩種情況．
點C的位置有兩種情況，
點C在點B的右邊時，AC=7+5-12cm；
點C在點B的左邊時，AC=7-5=2cm．
故答案為：12cm或2cm．
變2
在直線線上取A、B、C三點，使，，點O是線段AC的中點，則線段OB的長是______．
【答案】1cm或4cm##4cm或1cm
【分析】分C在線段AB上和不在線段AB上兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點C不在線段AB上時，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB+BC=8cm，
∵O是線段AC的中點，
∴，
∴OB=OC-BC=1cm；
如圖2所示，當(dāng)C在線段AB上時，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB-BC=2cm，
∵O是線段AC的中點，
∴，
∴OB=OC+BC=4cm；
故答案為：1cm或4cm．
變3
在一條直線上順次取，，三點，使得，點是線段的中點，且，則______．
【答案】或
【分析】分兩種情況：①點在線段上；②點在線段上，然后根據(jù)線段的和差，可得的長，根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得的長，最后再根據(jù)線段的和差可求得的長．
【詳解】解：①點在線段上，如圖，
∵，，
∴，
∵點是線段的中點，
∴，
∴；
②點在線段上，如圖，
∵，，
∴，
∵點是線段的中點，
∴，
∴．
綜上所述，線段的長為或．
故答案為：或．
變4
已知點在直線上，且線段，，點、分別是、的中點，則的長為______．
【答案】6或12##12或6
【分析】由線段的中點，線段的和差倍分求出線段PQ的長為6或12．
【詳解】解：①點M在線段AB上時，如圖所示：
∵AB＝AM＋MB，AM＝BM，AB＝16，
∴AM＝4，BM＝12，
又∵Q是AB的中點，
∴AQ＝BQ＝AB＝×16＝8，
又∵M(jìn)Q＝BM?BQ，
∴MQ＝12?8＝4，
又∵點P是AM的中點，
∴AP＝PM＝AM＝×4＝2，
又∵PQ＝PM＋MQ，
∴PQ＝2＋4＝6；
②點M在線段AB的反向延長線上時，如圖所示：
同理可得：AQ＝AB＝×16＝8，
又∵AM＝BM，
∴AM＝AB＝×16＝8，
又∵點P是AM的中點，
∴AP＝AM＝8＝4，
又∵PQ＝PA＋AQ，
∴PQ＝4＋8＝12，
綜合所述PQ的長為6或12．
故答案為：6或12．
變5
如圖，點C為線段AD上一點，點B為線段CD的中點，且AD=10cm，BD=3cm．

（1）圖中共有幾條線段；
（2）求線段AC的長；
（3）點E若在直線AD上，且AE=2cm，求BE的長．
【答案】(1)6條線段
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)線段的定義找出線段即可；
（2）先根據(jù)點B為CD的中點，BD=3cm求出線段CD的長，再根據(jù)AC=AD-CD即可得出結(jié)論；
（3）分點E在AC上和點E在CA延長線上兩種情況，先求得AB=AC+BC=7cm，再分別根據(jù)BE=AB-AE、BE=AB+AE可得答案．
（1）
解：圖中共有1+2+3=6條線段，
∴共有6條線段；
（2）
∵點B為CD的中點.
∴CD=2BD，
∵BD=3cm，
∴CD=6cm，
∵AC=AD-CD且AD=10cm，CD=6cm，
∴AC=4cm；
（3）
如圖1，當(dāng)E在線段AC上時，
∵AB=AD-BD=7cm，AE=2cm，
∴BE=AB-AE=5cm，
如圖2，當(dāng)E在CA延長線上時，
∵AB=AD-BD=7cm，AE=2cm，
∴BE=AB+AE=9cm，
綜上，BE的長為5cm或9cm．
類型五 線段的和差計算（5）
例1
如圖，、是線段上的點，若，，則圖中以、、、為端點的所有
線段的長度之和為（ ）

【分析】先根據(jù)線段的定義表示出所有的線段，然后整理成用、表示形式，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：以、、、為端點的所有線段分別是、、、、、共6條，
長度之和為：
．
故選：．
例2
如圖，已知線段長度為，長度為，則圖中所有線段的長度和為 ．

【分析】依據(jù)線段長度為，可得，依據(jù)長度為，可得，進(jìn)而得出所有線段的長度和．
【解答】解：線段長度為，
，
又長度為，
，
圖中所有線段的長度和為：，
故答案為：．
例3
如圖，，是線段上的兩點，且，已知圖中所有線段長度之和為81，則長為（ ）

【分析】設(shè)，根據(jù)，得到，，，，，再把各線段相加即可．
【解答】解：設(shè)，
，
，，
，，，
所有線段長度之和為81，
．
，
．
故選：．
變1
如圖，已知，是線段上的兩點，是線段的中點，若，，則圖中所有線段的和是 ．

【分析】首先根據(jù)線段中點的定義可得，再找出圖中所有的線段，根據(jù)線段的和差可得答案．
【解答】解：，，
，
是線段的中點，
，
圖中所有線段的和是：．
故答案為：16.5．
變2
如圖，點、在線段上．，，，則圖中所有線段的和
是 ．

【分析】根據(jù)線段的和差，可得的長，根據(jù)拆項法，可得，，根據(jù)交換律、結(jié)合律，可得答案．
【解答】解：圖中線段有、、、、、，共六條線段．
其中，
，
，，
，
，
故圖中所有線段的和為，
故答案為：53．
變3
已知：如圖，，為線段上的兩點，點為的中點，若，圖中所有線段的和為80（不重復(fù)計），則線段的長是 ．

【分析】先找出圖中所有的線段，然后根據(jù)題目的已知條件即可解答．
【解答】解：由題意得：
，
，
，
，
，
，
點為的中點，
，
，
故答案為：15．
變4
如圖，在線段上有、兩點，長度為，長為整數(shù)，則以，，，為端點的所有線段長度和不可能為（ ）

【分析】根據(jù)數(shù)軸和題意可知，所有線段的長度之和是，然后根據(jù)，線段的長度是一個正整數(shù)，可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，
圖中以，，，這四點中任意兩點為端點的所有線段長度之和是：，
以、、、為端點的所有線段長度和為長度為3的倍數(shù)多1，
以、、、為端點的所有線段長度和不可能為21．
故選：．
考點三 線段和差的綜合應(yīng)用
例1
如圖，已知點、、在同一直線上，、分別是、的中點．

（1）若，，求的長；
（2）若，，求的長；
（3）若，，求的長；
（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中能得到什么結(jié)論？

【分析】（1）由于點、、在同一直線上，、分別是、的中點，由此即可得到，，而，由此就可以求出的長度；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以知道，然后把，代入即可求出的長度；
（3）方法和（2）一樣，直接把，代入即可求出結(jié)果．
（4）根據(jù)（1）（2）（3）可以得出的長度始終等于線段的一半．
【解答】解：（1），，
，
點、、在同一直線上，、分別是、的中點，
，，
；
（2）根據(jù)（1）得；
（3）根據(jù)（1）得；
（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中能得到線段始終等于線段的一半，與的點的位置無關(guān)．
例2
（1）如圖，已知點在線段上，且，，點、分別是、的中
點，要求線段的長度，可進(jìn)行如下的計算．請?zhí)羁眨?br>解：因為是的中點，所以 ，因為，所以．
因為是的中點，所以，因為，所以 ．所以 ．
（2）對于（1），如果，，其他條件不變，請求出的長度．

【分析】（1）已知，的長度，點，分別為，的長度．則，，，從而可求出的長度．
（2）將第一問中得到的中和的具體值分別換成，即可用，表示的的長度．
【解答】解：（1）由分析可得題中應(yīng)填：；；
（2）因為是的中點，所以，
因為，所以
因為是的中點，所以，
因為，所以，
所以．
例3
如圖，點在線段上，點、分別是、的中點．

（1）若，，求線段的長；
（2）若為線段上任一點，滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？并說明理由．你能用一句簡潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？
（3）若在線段的延長線上，且滿足，、分別為、的中點，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)“點、分別是、的中點”，先求出、的長度，再利用即可求出的長度即可，
（2）當(dāng)為線段上一點，且，分別是，的中點，則存在，
（3）點在的延長線上時，根據(jù)、分別為、的中點，即可求出的長度．
【解答】解：（1），點是的中點，
，
，點是的中點，
，
，
線段的長度為，
（2），
當(dāng)為線段上一點，且，分別是，的中點，則存在，
（3）當(dāng)點在線段的延長線時，如圖：
則，
是的中點，
，
點是的中點，
，
．
變1
（1）如下圖，已知點在線段上，且，，點，分別是，的中點，求線段的長度．
（2）在（1）中，如果，，其它條件不變，你能猜出的長度嗎？請你用一句簡潔的話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．
（3）對于（1）題，如果我們這樣敘述它：“已知線段，，點在直線上，點，分別是，的中點，求的長度．”結(jié)果會有變化嗎？如果有，求出結(jié)果．

【分析】（1）（2）在一條直線或線段上的線段的加減運算和倍數(shù)運算，首先明確線段間的相互關(guān)系，最好準(zhǔn)確畫出幾何圖形，再根據(jù)題意進(jìn)行計算；
（3）會出現(xiàn)兩種情況：①點在線段上；②點在的延長線上．不要漏解．
【解答】解：（1），，點，分別是，的中點，
；
（2），直線上相鄰兩線段中點間的距離為兩線段長度和的一半；
（3）如圖，有變化，會出現(xiàn)兩種情況：
①當(dāng)點在線段上時，；
②當(dāng)點在的延長線上時，．
變2
如圖①點在線段上，點、分別是、的中點，且滿足，．

（1）若，，求線段的長；
（2）若點為線段上任意一點，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？直接寫出你的猜想結(jié)果；
（3）若點在線段的延長線上，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請在圖②中畫出圖形，寫
出你的猜想并說明理由．

【分析】（1）根據(jù)、分別是、的中點，求出、的長度，；
（2）根據(jù)（1）的方法求出；
（3）作出圖形，，，所以．
【解答】解：（1）、分別是、的中點，
，，
，
所以的長為．
（2）同（1），．
（3）圖如右，．
理由：由圖知
．
變3
（1）如圖，已知點在線段上，且，，點、分別是、的中點，求線段的長度；
（2）若點是線段上任意一點，且，，點、分別是、的中點，請直接寫出線段的長度；（用、的代數(shù)式表示）
（3）在（2）中，把點是線段上任意一點改為：點是直線上任意一點，其他條件不變，則線段的長度會變化嗎？若有變化，求出結(jié)果．

【分析】（1）根據(jù)點、分別是、的中點，先求出、的長度，則；
（2）根據(jù)點、分別是、的中點，，，所以；
（3）長度會發(fā)生變化，分點在線段上、點在、之間和點在、之間三種情況討論．
【解答】解：（1），點是的中點
，點是的中點
線段的長度為．
（2）．
（3）線段的長度會變化．
當(dāng)點在線段上時，由（2）知
當(dāng)點在線段的延長線時，如圖：
則
點是的中點
點是的中點
當(dāng)點在線段的延長線時，如圖：
則
同理可求：
綜上所述，線段的長度變化，，，．
例4
如圖，是定長線段上一點，、兩點分別從、出發(fā)以、的速度沿直線向左運動在線段上，在線段上）
（1）若、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；

（2）在（1）的條件下，是直線上一點，且，求的值．

（3）在（1）的條件下，若、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動點在線段上），、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．

【分析】（1）根據(jù)、的運動速度知，再由已知條件求得，所以點在線段上距離的處；
（2）由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)求得；然后求得，從而求得與的關(guān)系；
（3）當(dāng)點停止運動時，有，從而求得與的數(shù)量關(guān)系；然后求得以表示的與的值，所以．
【解答】解：（1）根據(jù)、的運動速度知：
，
，即，
點在線段上的處；
（2）如圖：
，
；
又，
，
，
．
當(dāng)點在的延長線上時
所以
所以；
（3）②．
理由：當(dāng)時，點停止運動，此時，
①如圖，當(dāng)，在點的同側(cè)時
②如圖，當(dāng)，在點的異側(cè)時
當(dāng)點停止運動，點繼續(xù)運動時，的值不變，所以，．
變4
已知：如圖1，是定長線段上一定點，、兩點分別從、出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示在線段上，在線段上）
（1）若，當(dāng)點、運動了，求的值．
（2）若點、運動時，總有，直接填空： ．
（3）在（2）的條件下，是直線上一點，且，求的值．

【分析】（1）計算出及的長，進(jìn)而可得出答案；
（2）根據(jù)圖形即可直接解答；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)點在線段上時，②當(dāng)點在線段的延長線上時，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)點、運動了時，，
，，
．
（2）設(shè)運動時間為，
則，，
，，
又，
，
即，
，
，
故答案為：．
（3）當(dāng)點在線段上時，如圖
，又
，，即．
當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖
，又
，即．綜上所述
課后強(qiáng)化
1.尺規(guī)作圖：已知線段a、b，求作線段AB，使得AB=a+2b．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】作圖見解析
【分析】如圖，先作射線AF，再在射線AF上依次截取AD=a，DE=EB=b，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，線段 即為所求作的線段，
【點睛】本題考查的是作一條線段等于已知線段，一條線段等于已知線段的和，掌握“基本作圖的方法與步驟”是解本題的關(guān)鍵．
2.如圖，已知線段a、b、c，用尺規(guī)求作線段AB，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）．

【答案】見解析
【分析】在射線l上截取AD=a，再從AD上截取CD=b，CB=c，進(jìn)而得出AB的長．
【詳解】解：如圖所示，AB即為所求．
3.已知點M在線段AB上，在①AB＝2AM；②BM＝AB；③AM＝BM；④AM+BM＝AB四個式子中，能說明M是線段AB的中點的式子有（ ）
【答案】C
【分析】根據(jù)線段中點的定義，借助圖形逐一判斷即可．
【詳解】解：如圖：
∵AB=2AM，
∴點M是線段AB的中點，
∵BM=AB，
∴點M是線段AB的中點，
∵AM=BM，
∴點M是線段AB的中點，
故①②③都能說明點M是線段AB的中點，
根據(jù)：④AM+BM=AB，不能判斷點M是線段AB的中點，
故選：C．
4.已知點P，Q在線段上，P是線段的中點，Q是線段的中點，，則的長為（ ）
【答案】C
【分析】根據(jù)中點定義求得AQ=AP，AP=AB，從而AQ==3，進(jìn)而利用線段和差即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵P是線段的中點，Q是線段的中點，
∴AQ=AP，AP=AB，
∴AQ=，
∵，
∴AQ=3，
∴BQ=AB-AQ=12-3=9，
故選C．
5.已知：C是線段AB中點，D是線段AC的中點，E是線段BC的中點，若DE=10cm，則線段AD的長（ ）
【答案】A
【分析】先畫出圖形，再利用線段中點的含義證明從而可得答案．
【詳解】解：如圖，
∵C是線段AB中點，D是線段AC的中點，E是線段BC的中點，
∴
∴
∵
∴
故選A
6.C是線段上一點，是的中點，若，，則的長為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先求出，再根據(jù)線段中點的定義詳解．
【詳解】解：如圖，，，
．
是的中點，
．
故答案是：．
7.如圖，已知點C是線段上的點，D是延長線線上的點，且，，，求的長.

【答案】
【分析】根據(jù)，，可求出的長，即可得的長，根據(jù)，可求出的長，即可得．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
8.如圖，點C，E是線段AB上兩點，點D為線段AB的中點，AB=6，CD=1．

（1）求BC的長；
（2）若AE：EC＝1：3，求EC的長．
【答案】(1)BC＝2
(2)EC＝3
【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義得到BDAB＝3，由線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）由線段中點的定義得到ADAB＝3，得到AC＝AD+CD＝4，根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．
（1）
解：∵點D為線段AB的中點，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∵CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2；
（2）
∵點D為線段AB的中點，AB＝6，
∴ADAB＝3，
∵CD＝1，
∴AC＝AD+CD＝4，
∵AE：EC＝1：3，
∴EC4＝3．
9.如圖，C、D是線段上兩點，且AC：CD：BD =2：3：4，若E為AC的中點，F(xiàn)為DB的中點，EF=4.8cm，求AB的長．

【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)，根據(jù)E為AC的中點，F(xiàn)為DB的中點，EF=4.8cm，列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵AC：CD：BD =2：3：4，
∴設(shè)，
∵E為AC的中點，F(xiàn)為DB的中點，
，
，
，
，
解得，
．
10.如圖所示，點在線段上，點，分別為，的中點．

（1）若，，求線段，的長；
（2）若點在線段的延長線上，且滿足，點，分別是線段，的中點，請畫出圖形，并用的式子表示的長度．
【答案】(1)，
(2)畫圖見解析，
【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義得到MC=AC=3cm，NC=BC=3.5cm，然后利用，進(jìn)行計算；
（2）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行計算即可求解．
（1）
解：∵點是的中點，，
∴，
∵，
∴，
又∵點為的中點，
∴，
∴．
（2）
如圖所示：
∵點是的中點，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴．
11.如圖，已知線段，，點M是AC的中點．

（1）求線段AM的長；
（2）在CB上取一點N，使得，求線段MN的長．
【答案】(1)4
(2)9
【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系，可得，根據(jù)點M是AC的中點，可得；
（2）由，求得,根據(jù)點M是AC的中點，求得，根據(jù)即可求解．
（1）
解：線段，，
∴，
又∵點M是AC的中點．
∴，即線段AM的長度是4；
（2）
解：∵，，
∴，
又∵點M是AC的中點，，
∴，
∴，即MN的長度是9 ．
12.如圖，B、C兩點把線段AD分成了2：3：4三部分，M是AD的中點，CD=16，求：

（1）MC的長
（2）BM：AB的值．
【答案】(1)2
(2)5：4
【分析】（1）根據(jù)線段之間的比，算出三條線段的長度，再求出AD的總長，根據(jù)中點的定義得出MD的長，運用線段的和差關(guān)系MC=MD-CD算出即可；
（2）求出BM和AB的值，再求出比即可．
（1）
由AB：BC：CD=2：3：4，設(shè)AB=，BC=，CD=
∵CD=16，
∴，
∴，
∴AB=，BC=，
∴AD=AB+BC+CD=36，
又∵M(jìn)是AD的中點，
∴ AM=MD=18
由線段的和差，得MC=MD-CD=18-16=2
（2）
由⑴得AM=18，AB=8，
∴BM=AM-AB=10，
∴BM=AM-AB=18-8=10
∴BM：AB=5：4
13.點A、B、C在同一直線上，，，則（ ）
【答案】C
【分析】分兩種情況分別計算，即可分別求得．
【詳解】解：當(dāng)點C在線段AB上時，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，
當(dāng)點C在線段BA的延長線上時，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，
故BC的長為12cm或8cm，
故選：C．
14.若點A、B、C在一條直線上，且，，則線段的長為______．
【答案】3cm或9cm##9cm或3cm
【分析】分點C在點B的左側(cè)和右側(cè)兩種情況計算即可．
【詳解】當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，
AC=AB+BC=3+6=9（cm）；
當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，
AC=AB-BC=6-3=3（cm）；
故答案為：3cm或9cm．
15.如圖所示，是線段的中點，是線段的中點，已知圖中所有線段的長度之和為39，求線段
的長度．

【分析】結(jié)合圖形可知，圖形中共有6條線段，分別用的代數(shù)式表示出6條線段，根據(jù)題意列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)，則，，，．
解得
．
答：線段的長為6．
16.如圖，是線段的中點，是線段的中點，已知圖中所有線段的長度之和為26，則線段的
長度為 ．

【分析】設(shè)，根據(jù)線段的中點得出，，，，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：設(shè)，
是線段的中點，是線段的中點，
，，，，
，
，
解得：，
即，
故答案為：4．
17.如圖，點，，在線段上，線段，是線段上靠近點的三等分點．點為線段的中點，且圖中所有線段的長度和是線段的長度的10倍，求的長度．

【分析】利用是線段上靠近點的三等分點，可以先求出與的長，所有線段的長度共有10條，表示出所有線段的長度和，利用方程思想即可求解．
【解答】解：是線段上靠近點的三等分點，
，
，
設(shè)為，
點為線段的中點，
，，
，，，
圖中共有10條線段，它們的線段和為：
，
圖中所有線段的長度和是線段的長度的10倍，
，
解得：，
則，
答：的長度是．
18.（1）如圖，點C在線段AB上，線段，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長．
（2）對于（1），如果敘述為：“已知線段，點C在直線AB上，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長．”，結(jié)果會有變化嗎？如果有，畫出圖形，求出結(jié)果．

【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由已知條件可知，MN=MC+NC，又因為點M、N分別是AC、BC的中點，則MC=AC，NC=BC，故MN=MC+NC=（AC+BC），由此即可得出結(jié)論；
（2）本題應(yīng)考慮到A、B、C三點之間的位置關(guān)系的多種可能，即當(dāng)點C在線段AB上，點C在線段AB的延長線上，分2種情況討論即可．
【詳解】解：（1）∵AC=6cm，且M是AC的中點，
∴MC=AC==3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，
∴線段MN的長度是5cm；
（2）分2種情況：
當(dāng)點C在線段AB上，
由（1）得MN=5cm，
當(dāng)C在線段AB的延長線上時，如圖，

∵AC=6cm，且M是AC的中點，
∴MC=AC=×6=3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，
∴當(dāng)C在直線AB上時，或．
19.（1）已知：如圖，點在線段上，線段，，點、分別是、的中點，求的長度．
（2）根據(jù)（1）的計算過程與結(jié)果，設(shè)，其它條件不變，你能猜出的長度嗎？請用一句簡潔的語言表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．
（3）若把（1）中的“點在線段上”改為“點在直線上”，其它條件不變，結(jié)論又如何？請說明你的理由．

【分析】（1）
（2）由（1）即可得出規(guī)律．
（3）畫出簡單的圖形，數(shù)形結(jié)合會很簡單．
【解答】解：（1）點、分別是、的中點，
，，
．
（2）的長度是．
已知線段分成兩部分，它們的中點之間的距離等于原來線段長度的一半．
（3）分情況討論：當(dāng)點在線段上時，由（1）得；
當(dāng)點在線段延長線上時，．
課程標(biāo)準(zhǔn)
1.熟練掌握尺規(guī)作圖的方法；
2.掌握線段大小比較的常用方法；
3.熟練掌握計算線段的長度.
A．3cm
B．3.5cm
C．4cm
D．4.5cm
A．13cm
B．6cm
C．3cm
D．1.5cm
A．6cm
B．5cm
C．7cm
D．4cm
A．2b-a
B．2（a-b）
C．A-b
D．（a+b）
A．7
B．
C．6
D．5
A．3cm
B．2.5cm
C．4cm
D．6cm
A．13cm
B．14cm
C．15cm
D．16cm
A．4cm
B．8cm
C．6cm
D．8cm或4cm
A．6cm
B．15cm
C．12cm或15cm
D．12cm或6cm
A．24
B．22
C．20
D．26
A．9
B．
C．
D．以上都不對
A．
B．
C．
D．
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
A．3
B．6
C．9
D．12
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．20cm
A．12cm
B．8cm
C．12cm或8cm
D．以上均不對