2023-2024學年浙江省金華市金東區(qū)九年級（上）期中數學試卷（含解析）

這是一份2023-2024學年浙江省金華市金東區(qū)九年級（上）期中數學試卷（含解析），共32頁。試卷主要包含了選擇題.，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
1．下列所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上
B．任意買一張電影票，座位號是7的倍數
C．從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球
D．太陽從西邊升起
2．下列各組線段中，成比例線段的一組是（ ）
A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．1，3，5，7D．2，4，6，8
3．二次函數y＝2（x+1）2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
4．如圖，△OAB繞點O順時針旋轉得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，當點C恰好在AB上時，則∠BCD的度數是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．55°
5．兩個相似三角形的周長之比是，則它們的面積之比為（ ）
A．1：3B．3：1C．D．
6．下列四個命題中，真命題的是（ ）
A．三點確定一個圓
B．相等的圓心角所對的弦相等
C．圓心角是圓周角的2倍
D．90°的圓周角所對的弦是直徑
7．如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB＝8，OE＝3，則CE的長是（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．已知線段AB＝1，E，F(xiàn)分別為其上的兩個黃金分割點，則EF的長是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論錯誤的是（ ）
A．b2＞4acB．a+b+c＞0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0
10．如圖，點P為正方形ABCD的外接圓O的上一點，連結PA，PB，PC，則的值為（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分）
11．若，則＝ ．
12．在不透明的口袋中裝有5個紅球，2個黃球，1個白球，它們除顏色外其余均相同，若從中隨機摸一個球，是黃球的概率為 ．
13．如圖，BC∥DE，且，DE＝4，則BC＝ ．
14．已知二次函數y＝x2﹣4x+1，當﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是 ．
15．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在弧AB上的點D處，折痕交OA于點C，則陰影部分的面積為 （結果保留π）．
16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，若，則點D到AB的距離是 ，△AEF的周長是 ．
三、解答題（本大題共有8小題，共66分）
17．已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）經過點（1，4）．
（1）求二次函數與x軸的交點坐標．
（2）求a的值．
18．如圖，在4×4的方格紙中，線段AB的兩個端點都在1×1小方格的格點上，分別按下列要求畫圖．
（1）將線段AB繞點O順時針旋轉90°得線段A1B1．
（2）以點O為位似中心，畫出線段A2B2，使線段A1B1與A2B2是位似圖形，且位似比為1：2．
19．為備戰(zhàn)區(qū)足球比賽，某校足球小將在距離門框15米處進行大量射門練習后，得到數據如下表：
（1）請你根據上表，估計該足球小將射中球門的概率為 （精確到0.01）．
（2）已知該足球小將1000次射門中包括左右腳射門、頭球射門3個技術動作練習，若左腳、右腳、頭球射門次數比為3：5：2，且左腳射中次數為240次，求左腳射中概率．
20．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E在邊AC上，∠AEB＝∠EDB．
（1）求證：△BDE∽△BEA．
（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的長度．
21．為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：
（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；
（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？
22．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直徑BD與弦AC交于點E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求證：AB＝AC．
（2）當AE＝4，CE＝6時，求：
①的值；
②CD的長．
23．探究解決以下問題：
24．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且點A坐標為（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖2，y軸上存在一點D，使⊙D經過B，C兩點，求點D的坐標．
（3）如圖3，連結BC，點P（不與A，B，C三點重合）為拋物線上一動點，連結BP，CP，在點P運動過程中，△BPC 中是否存在一個內角，使其等于∠ABC，若存在，求出此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案
一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請選出一個符合題意的正確選項填涂在答題卷內，不選、多選、錯選均不給分）.
1．下列所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上
B．任意買一張電影票，座位號是7的倍數
C．從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球
D．太陽從西邊升起
【分析】根據隨機事件和必然事件的概念進行解題即可．
解：A、投擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上是隨機隨機，不符合題意；
B、任意買一張電影票，座位號是7的倍數是隨機隨機，不符合題意；
C、從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球是必然事件，符合題意；
D、太陽從東邊升起，西邊落下，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查隨機事件和倍數，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．
2．下列各組線段中，成比例線段的一組是（ ）
A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．1，3，5，7D．2，4，6，8
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．
解：A、1×4≠2×3，故本選項錯誤；
B、2×6＝3×4，故本選項正確；
C、1×7≠3×5，故本選項錯誤；
D、2×8≠4×6，故本選項錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查了比例線段，熟記成比例線段的定義是解題的關鍵．注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．
3．二次函數y＝2（x+1）2﹣2的頂點坐標是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
【分析】由拋物線的頂點坐標式可求得答案．
解：∵二次函數y＝2（x+1）2﹣2
∴頂點坐標為（﹣1，﹣2），
故選：B．
【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．
4．如圖，△OAB繞點O順時針旋轉得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，當點C恰好在AB上時，則∠BCD的度數是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．55°
【分析】由旋轉得∠AOB＝∠COD，可推導出2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠BOC，而∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，即可求得∠AOB＝55°，然后可以求出∠AOC，接著利用旋轉的性質即可求解．
解：∵△OAB繞點O順時針旋轉得到△OCD，
∴∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∠OCD＝∠A，
∵∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，
∴2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOC＝95°+15°＝110°，
∴∠AOB＝55°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝（180°﹣∠AOC）＝70°，
∴∠OCD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACO﹣∠OCD＝40°．
故選：B．
【點評】此題重點考查旋轉的性質，由∠AOB＝∠COD推導出2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠BOC是解題的關鍵．
5．兩個相似三角形的周長之比是，則它們的面積之比為（ ）
A．1：3B．3：1C．D．
【分析】根據相似三角形的性質：周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方求解即可．
解：∵兩個相似三角形的周長之比為1：，
∴兩個相似三角形的相似比為1：，
∵相似三角形面積的比等于相似比的平方，
∴它們相應的面積之比是1：3．
故選：A．
【點評】本題考查對相似三角形性質的理解．（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．
6．下列四個命題中，真命題的是（ ）
A．三點確定一個圓
B．相等的圓心角所對的弦相等
C．圓心角是圓周角的2倍
D．90°的圓周角所對的弦是直徑
【分析】由圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，確定圓的條件，即可判斷．
解：A、不共線的三點確定一個圓，故A不符合題意；
B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故B不符合題意；
C、同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，故C不符合題意；
D、90°的圓周角所對的弦是直徑，正確，故D符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，確定圓的條件，命題與定理，掌握以上知識點是解題的關鍵．
7．如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB＝8，OE＝3，則CE的長是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】連接OA，根據垂徑定理求出AE，再根據勾股定理求出OA，最后根據線段的和差求解即可．
解：如圖，連接OA，
∵線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝4，
∵OE＝3，
∴OA＝＝5，
∴OC＝OA＝5，
∴CE＝OC+OE＝8，
故選：A．
【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，根據垂徑定理求出AE的長是解此題的關鍵．
8．已知線段AB＝1，E，F(xiàn)分別為其上的兩個黃金分割點，則EF的長是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據黃金比為分別求出AF、BE，結合圖形計算，得到答案．
解：∵E、F是線段AB的兩個黃金分割點，AB＝1，
∴AF＝BE＝AB＝，
∴EF＝AF+BE﹣AB＝﹣2，
故選：C．
【點評】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比為是解題的關鍵．
9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論錯誤的是（ ）
A．b2＞4acB．a+b+c＞0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0
【分析】由拋物線與x軸交點個數可判斷可判斷A選項，由圖象可得x＝1時y＞0，可判斷B選項．由圖象可得x＝﹣1時y＜0可判斷C選項．由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置可判斷選項D．
解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，選項A正確．
∵x＝1時，y＞0，
∴a+b+c＞0，選項B正確．
由圖象可得x＝﹣1時y＜0，
∴a﹣b+c＜0，選項C正確．
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵拋物線與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，選項D錯誤．
故選：D．
【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系．解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系．
10．如圖，點P為正方形ABCD的外接圓O的上一點，連結PA，PB，PC，則的值為（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】首先根據題意畫出圖形，然后延長PA到E，使AE＝PC，連接BE，易證得△ABE≌△CBP，繼而可證得△BEP是等腰直角三角形，則可求得答案．
解：延長PA到E，使AE＝PC，連接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：＝，
故選：B．
【點評】此題考查了圓的內接多邊形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分）
11．若，則＝ ．
【分析】利用設k法進行計算即可解答．
解：∵，
∴設b＝2k，a＝3k，
∴＝＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握設k法是解題的關鍵．
12．在不透明的口袋中裝有5個紅球，2個黃球，1個白球，它們除顏色外其余均相同，若從中隨機摸一個球，是黃球的概率為 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵袋子中共有5+2+1＝8（個），其中黃球有2個，
∴從中隨機摸一個球，是黃球的概率為＝．
故答案為：．
【點評】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
13．如圖，BC∥DE，且，DE＝4，則BC＝ 2 ．
【分析】根據BC∥DE，可以得到△ADE∽△ABC，從而可以得到，再根據，DE＝4，即可求得BC的值．
解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，DE＝4，
∴＝，
解得BC＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
14．已知二次函數y＝x2﹣4x+1，當﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是 ﹣3≤y＜6 ．
【分析】將二次函數解析式化為頂點式，根據拋物線開口方向及頂點坐標求解．
解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，﹣3），
將x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+1得y＝1+4+1＝6，
∴當﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是﹣3≤y＜6，
故答案為：﹣3≤y＜6．
【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．掌握二次函數與不等式的關系．
15．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3．將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在弧AB上的點D處，折痕交OA于點C，則陰影部分的面積為 π﹣3 （結果保留π）．
【分析】連接OD交BC于點E，由翻折的性質可知：OE＝DE＝3，在Rt△OBE中，根據特殊銳角三角函數值可知∠OBC＝30°，然后在Rt△COB中，可求得CO，從而可求得△COB的面積，最后根據陰影部分的面積＝扇形面積﹣2倍的△COB的面積求解即可．
解：連接OD交BC于點E．
扇形的面積＝π×32＝π，
∵點O與點D關于BC對稱，
∴OE＝DE＝，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝，
∴∠OBC＝30°．
在Rt△COB中，＝tan30°，
∴＝．
∴CO＝．
∴△COB的面積＝×3×＝．
陰影部分的面積＝扇形面積﹣2倍的△COB的面積
＝π﹣3．
故答案為：π﹣3．
【點評】本題主要考查的是翻折的性質，扇形面積的計算以及特殊銳角三角函數值的應用，根據翻折的性質求得OE的長，然后再求得∠OBC的度數是解題的關鍵．
16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，若，則點D到AB的距離是 ，△AEF的周長是 ．
【分析】連接AD，過點D作DG⊥AB交于點G，過點D作DM⊥EF交于點M，過點D作DN⊥AC交于點N分別求出BD、AD，利用三角形的面積公式求出DG的長即可點D到AB的距離；根據“兩角分別相等的兩個三角形全等”證△BED～△CDF，則得，∠BDE＝∠CFD，再根據“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似“證△EBD～△EDF，可得∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，進而可證△EGD≌△EMD，推出EG＝EM，再進一步推出AG＝AN，BG＝CN，EF＝BE+CF﹣2BG，最后證△DGB～△ADB，利用相似三角形對應邊成比例求出BG的長即可．
解：連接AD，過點D作DG⊥AB交于點G，過點D作DM⊥EF交于點M，過點D作DN⊥AC交于點N，如圖所示：
∵AB＝AC，D為BC的中點，
∴BD＝BC＝1，AD⊥BC，∠ADB＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，
∵，
∴DG＝，
又∵∠EDF＝90°﹣∠A，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠BED＝∠FDC，∠EBD＝∠DCF，
∴△BED～△CDF，
∴，∠BDE＝∠CFD，
∵D為BC的中點，
∴，
∴，
又∵∠EBD＝∠EDF，
∴△EBD～△EDF，
∴∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，
∵∠EGD＝∠EMD＝90°，∠BED＝∠DEF，DE＝DE，
∴△EGD≌△EMD，
∴EG＝EM，
同理可得：FN＝FM，
∵AB＝AC，
∴ABC是等腰三角形，
∵D為BC的中點，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AND，
∴AG＝AN，
又∵AB＝AC，
∴BG＝CN，
∴EF＝EM+FM＝EG+FN＝BE﹣BG+CF﹣CN＝BE+CF﹣2BG，
∵∠B＝∠B，∠BGD＝∠ADB＝90°，
∴△DGB～△ADB，
∴，即，
∴BG＝，
∴EF＝BE+CF﹣，
∴△AEF的周長＝AE+AF+BE+CF﹣＝AB+AC﹣＝3+3﹣＝．
故答案為：；．
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，添加輔助線，靈活運用相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質推理是解答本題的關鍵．
三、解答題（本大題共有8小題，共66分）
17．已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）經過點（1，4）．
（1）求二次函數與x軸的交點坐標．
（2）求a的值．
【分析】（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，即可求解；
（2）用待定系數法即可求解．
解：（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x＝3或﹣1，
故函數和x軸交點的坐標為：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）將（1，4）代入拋物線表達式得：4＝a（1+1）（1﹣3），
解得：a＝﹣1．
【點評】本題考查了二次函數和x軸的交點，待定系數法求二次函數的解析式是解題的關鍵．
18．如圖，在4×4的方格紙中，線段AB的兩個端點都在1×1小方格的格點上，分別按下列要求畫圖．
（1）將線段AB繞點O順時針旋轉90°得線段A1B1．
（2）以點O為位似中心，畫出線段A2B2，使線段A1B1與A2B2是位似圖形，且位似比為1：2．
【分析】（1）根據旋轉變換的性質分別作出A，B，的對應點A1，B1即可；
（2）根據位似變換的性質分別作出A1，B1的對應點A2，B2即可．
解：（1）如圖，線段A1B1即為所求；
（2）如圖，線段A2B2即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣位似變換，旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
19．為備戰(zhàn)區(qū)足球比賽，某校足球小將在距離門框15米處進行大量射門練習后，得到數據如下表：
（1）請你根據上表，估計該足球小將射中球門的概率為 0.72 （精確到0.01）．
（2）已知該足球小將1000次射門中包括左右腳射門、頭球射門3個技術動作練習，若左腳、右腳、頭球射門次數比為3：5：2，且左腳射中次數為240次，求左腳射中概率．
【分析】（1）根據圖表可知，該足球小將射中球門的概率為0.72；
（2）用240除以射擊1000次左腳射門次數即可求得概率．
解：（1）據上表，估計該足球小將射中球門的概率為0.72；
故答案為：0.72；
（2）240÷（1000×）＝0.8．
答：左腳射中概率為0.8．
【點評】本題考查利用頻數估計概率，解題的關鍵在于學會估算概率，熟記概率公式．
20．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E在邊AC上，∠AEB＝∠EDB．
（1）求證：△BDE∽△BEA．
（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的長度．
【分析】（1）∠ABE是公共角，可直接得出結論；
（2）由相似三角形的性質可得BE2＝BD?BA，由此可得出BE的長度，再由等角對等邊可得結論．
解：（1）∵∠ABE＝∠EBD，∠AEB＝∠EDB，
∴△BDE∽△BEA；
（2）∵△BDE∽△BEA，
∴BD：BE＝BE：AB，即BE2＝BD?BA，
∵BD＝1，AD＝2，
∴AB＝3，
∴BE2＝1×3，
∴BE＝，
∵∠C＝∠BEC，
∴BC＝BE＝．
【點評】本題主要考查相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質等內容，得出△BDE∽△BEA是解題關鍵．
21．為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：
（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；
（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？
【分析】（1）設水池的長為a m，根據Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形面積減水池面積等于種植面積列方程求解即可得出結論；
（2）設BC長為x m，則CD長度為21﹣3x，得出面積關于x的關系式，利用二次函數的性質求最值即可．
解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），
設水池的長為a m，則水池的面積為a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的長為8m、DG的長為4m；
（2）設BC長為x m，則CD長度為（21﹣3x）m，
∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，
此時CD＝21﹣3×＝＜12，符合題意，
即BC應設計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．
【點評】本題主要考查二次函數的應用，熟練根據二次函數的性質求最值是解題的關鍵．
22．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直徑BD與弦AC交于點E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求證：AB＝AC．
（2）當AE＝4，CE＝6時，求：
①的值；
②CD的長．
【分析】（1）連接OC，如圖，由于∠BAO＝∠ABE，則∠BAC＝2∠BAO，所以∠BAO＝∠CAO，利用等腰三角形的性質和三角形內角和得到∠AOB＝∠AOC，然后根據圓心角、弧、弦的關系得到結論；
（2）①證明OA∥CD，然后利用平行線分線段成比例定理得到＝＝；
②過O點作OH⊥AC于H點，如圖，設⊙O的半徑為5x，則OA＝OD＝5x，OE＝2x，利用垂徑定理得到AH＝CH＝5，所以EH＝1，利用雙勾股得到4x2﹣1＝25x2﹣25，解方程求出x得到OA＝，然后利用平行線分線段成比例定理得到＝，從而根據比例的性質可求出CD的長．
【解答】（1）證明：連接OC，如圖，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠BAC＝2∠ABE，
∴∠BAC＝2∠BAO，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：①∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴＝＝＝；
②過O點作OH⊥AC于H點，如圖，設⊙O的半徑為5x，則OA＝OD＝5x，
∵OE：DE＝2：3，
∴OE＝2x，
∴AH＝CH＝AC＝5，
∴EH＝AH﹣AE＝5﹣4＝1，
在Rt△OEH中，OH2＝OE2﹣EH2＝（2x）2﹣12＝4x2﹣1，
在Rt△OEH中，OH2＝OA2﹣AH2＝（5x）2﹣52＝25x2﹣25，
∴4x2﹣1＝25x2﹣25，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OA＝5x＝，
∵OA∥CD，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質．
23．探究解決以下問題：
【分析】任務1：設AC與BE、CE分別相交于點G、F，由∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B＝180°；
任務2：作正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°證明對角線AD、BD都經過圓心O，設EC分別交AD、BD于點K、L，AC分別交BE、BD于點G、I，可證明四邊形OCDE是菱形，則OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，則AK＝4+2＝6，CK＝EK＝＝2，求得S△ACK＝6，S△EOK＝2，由DK＝＝LK＝2，求得LK＝，則S△BGI＝S△DKL＝，即可由S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI求得S五角星ABCDE＝；
任務3：①作正五邊形ABCDE的外接圓⊙O，則＝＝＝＝，可求得∠AED＝108°，則∠EAD＝∠EDA＝36°，所以∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，可證明∠AEF＝∠AFE＝72°，則AE＝AF＝DE＝4，再證明△DEF∽△DAE，得＝，于是得AF2＝AD?（AD﹣AF），求得AF＝AD＝4，則AD＝2+2；
②設S△DEF＝n，由＝＝，得＝＝，所以S△AEF＝n，求得S△AED＝n，再證明S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，則S正五邊形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝（2+5）n，S正五角星ABCDE＝S正五邊形ABCDE﹣5S△DEF＝2n，即可求得正五角星與正五邊形的面積之比是2﹣4．
【解答】任務1：證明：如圖1，設AC與BE、CE分別相交于點G、F，
∵∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B，
∵∠BFG+∠BGF+∠B＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任務2：解：如圖2，作正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°，
∴對角線AD、BD都經過圓心O，
設EC分別交AD、BD于點K、L，AC分別交BE、BD于點G、I，
∵△DOE、△DOC都是等邊三角，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝DE＝DC＝4，
∴四邊形OCDE是菱形，
∴OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，
∴∠AKC＝∠OKE＝90°，AK＝4+2＝6，
∴CK＝EK＝＝2，
∴S△ACK＝×6×2＝6，S△EOK＝×2×2＝2，
∵∠LKD＝90°，∠LDK＝∠AOB＝30°，
∴LD＝2LK，
∴DK＝＝＝LK＝2，
∴LK＝，
∴S△DKL＝×2×＝，
同理求得S△BGI＝，
∴S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI＝6+2++＝，
∴五角星ABCDE的面積為．
任務3：解：①如圖3，作正五邊形ABCDE的外接圓⊙O，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴＝＝＝＝，
∵∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠EAD＝∠EDA＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，
∴DF＝EF，∠AEF＝∠AEB+∠BEC＝72°，∠AFE＝∠FED+∠FDE＝72°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝DE＝4，
∵∠FDE＝EDA，∠FED＝∠EAD，
∴△DEF∽△DAE，
∴＝，
∴DE2＝AD?DF，
∴AF2＝AD?（AD﹣AF），
∴AF＝AD或AF＝AD（不符合題意，舍去），
∴AD＝4，
∴AD＝2+2，
∴AD的長是2+2．
∴②設S△DEF＝n，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△DEF＝n，
∴S△AED＝n+n＝n，
∵AF＝AB，∠CAF＝∠CAB＝∠EAD＝36°，AC＝AC，
∴△AFC≌△ABC（SAS），
∵AB＝ED，∠ABC＝∠EDC，BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC，
同理△ABC≌△AED，
∴S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，
∴S正五邊形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝3×n+n＝（2+5）n，
∴S正五角星ABCDE＝S正五邊形ABCDE﹣5S△DEF＝（2+5）n﹣5n＝2n，
∴＝＝2﹣4，
∴正五角星與正五邊形的面積之比是2﹣4．
【點評】此題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、三角形內角和定理及其推論、等邊三角形的判定與性質、直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
24．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且點A坐標為（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖2，y軸上存在一點D，使⊙D經過B，C兩點，求點D的坐標．
（3）如圖3，連結BC，點P（不與A，B，C三點重合）為拋物線上一動點，連結BP，CP，在點P運動過程中，△BPC 中是否存在一個內角，使其等于∠ABC，若存在，求出此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點A的坐標代入解析式，求出c的值即可得出結論；
（2）設點D的坐標為（0，d），由圓的性質可知，CD＝BD，由此建立方程，求出d即可；
（3）根據題意，需要分三種情況：∠CBP＝∠ABC；∠BCP＝∠ABC；∠BPC＝∠ABC，分別畫出圖形，根據圖形列出方程，求解即可．
解：（1）∵拋物線與x軸交于A，B兩點，且點A坐標為（﹣1，0），
∴＝0，
解得c＝2，
∴拋物線的解析式為：+2；
（2）∵拋物線y＝+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，
∴令y＝0，即+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
令x＝0，則y＝2，
∴B（4，0），C（0，2），
設點D的坐標為（0，d），由題可知，CD＝BD，
∴＝，
解得d＝﹣3，
∴D（0，﹣3）；
（3）存在，理由如下：在△OBC中，OB＝4，OC＝2，
∴tan∠ABC＝；
根據題意，△BPC 中是否存在一個內角，使其等于∠ABC，需要分以下三種情況：
①當∠CBP＝∠ABC時，如圖3﹣1，過點C作CE⊥BP于點E，過點E作EF⊥y軸于點F，過點B作BG⊥x軸交EF于點G，
∴EF⊥BG，
∵∠CBP＝∠ABC，∠BOC＝∠BEC＝90°，BC＝BC，
∴Rt△OBC≌Rt△EBC（HL），
∴OB＝BE＝4，OC＝CE＝2，
∵EF⊥y軸，EF⊥BG，CE⊥BP，
∴∠CFE＝∠FGB＝∠CEB＝90°，
∴∠CEF+∠BEG＝∠CEF+∠CFE＝90°
∴∠BEG＝∠CFE，
∴△CEF∽△EBG，
∴EF：BG＝CF：GE＝CE：BE＝1：2，
設EF＝t，則BG＝2t，CF＝2t﹣2，
∴EG＝4t﹣4，
∴t+4t﹣4＝4，
∴t＝，
∴E（，），
∵B（4，0），
∴直線BE的解析式為：y＝﹣（x﹣4），
令﹣（x﹣4）＝+2，
解得x＝4（舍）或x＝；
②當∠BCP＝∠ABC時，
當點P在BC上方時，如圖3﹣2，此時CP∥x軸，
∴令+2＝2，
解得x＝3；
當點P在x軸下方時，如圖3﹣3，設CP與x軸交于點H，
∴CH＝BH，
∴OH＝4﹣BH，
在Rt△OCH中，由勾股定理可得，OC2+OH2＝CH2，
即22+（4﹣BH）2＝BH2，
解得BH＝，
∴H（，0），
∴直線CH的解析式為：y＝﹣x+2，
令﹣x+2＝+2，
解得x＝0（舍）或x＝；
③當∠BPC＝∠ABC時，如圖3﹣4，過點B作BM⊥BP交PC的延長線于點M，過點B作BN∥y軸，分別過點M，P作x軸的平行線，交BN于點N，G，
∴△BMN∽△PBQ，
∴MN：BQ＝BN：PQ＝BM：BP＝tan∠BPC＝，
設點P的橫坐標為t，則P（t，﹣t2+t+2），
∴PQ＝4﹣t，BQ＝t2﹣t﹣2，
∴BN＝2﹣t，MN＝t2﹣t﹣1，
∴M（5﹣t2+t，2﹣t），
∴直線PC的解析式為：y＝（﹣t+）x+2，
將點M的坐標代入上述解析式，可得（﹣t+）（5﹣t2+t）+2＝2﹣t，
整理得t3﹣6t2﹣7t+60＝0，即（t+3）（t﹣4）（t﹣5）＝0，
∴t＝﹣3或t＝4（舍）或t＝5（如圖3﹣5）；
綜上，符合題意的點P的橫坐標為：或3或或﹣3或5．
【點評】本題屬于二次函數綜合題，主要考查待定系數法，相似三角形的性質與判定，角度的存在性等相關知識，分類討論思想等數學思想，利用垂直構造一線三等角是解題關鍵．
射門次數n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次數m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中頻率
0.70
0.74
0.75
0.71
0.73
0.72
0.72
探究1
如圖1，該興趣小組在紙上畫了一個圓，隨機在圓上取5個點A，B，C，D，E，連結得到一個五角星，小組同學經過討論，提出猜想：認為五角星的五個角之和為180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

探究2
如圖2，興趣小組繼續(xù)探討，在邊長為4的正六邊形中取五個頂點A，B，C，D，E，連結得到一個五角星，發(fā)現(xiàn)這個五角星的形狀大小是唯一確定的，因此可求出這個五角星的面積．

探究3
如圖3，興趣小組深入探討，連結邊長為4的正五邊形的頂點A，B，C，D，E，得到一個5個角都相等的正五角星，小組同學想嘗試探究正五角星和正五邊形之間的聯(lián)系．

問題解決
任務1
如圖1，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任務2
如圖2，求五角星ABCDE的面積．
任務3
如圖3，求：①AD的長；②正五角星與正五邊形的面積之比．
射門次數n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次數m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中頻率
0.70
0.74
0.75
0.71
0.73
0.72
0.72
探究1
如圖1，該興趣小組在紙上畫了一個圓，隨機在圓上取5個點A，B，C，D，E，連結得到一個五角星，小組同學經過討論，提出猜想：認為五角星的五個角之和為180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

探究2
如圖2，興趣小組繼續(xù)探討，在邊長為4的正六邊形中取五個頂點A，B，C，D，E，連結得到一個五角星，發(fā)現(xiàn)這個五角星的形狀大小是唯一確定的，因此可求出這個五角星的面積．

探究3
如圖3，興趣小組深入探討，連結邊長為4的正五邊形的頂點A，B，C，D，E，得到一個5個角都相等的正五角星，小組同學想嘗試探究正五角星和正五邊形之間的聯(lián)系．

問題解決
任務1
如圖1，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任務2
如圖2，求五角星ABCDE的面積．
任務3
如圖3，求：①AD的長；②正五角星與正五邊形的面積之比．