初中數(shù)學蘇科版八年級上冊1.2 全等三角形優(yōu)秀習題

這是一份初中數(shù)學蘇科版八年級上冊1.2 全等三角形優(yōu)秀習題，共43頁。試卷主要包含了如圖，，等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?專題1.1?全等三角形七大基本模型 專項講練
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

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一、單選題
1．如圖，，，要說明，需添加的條件不能是（????）

A． B． C． D．
2．如圖，已知，若要使得，則添加的一個條件不能是（????）

A． B．
C．AB=DC D．AC=DB
3．如圖，△ABC和△AED共頂點A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲說：“一定有△ABC≌△AED．”乙說：“△ABM≌△AEN．”那么（???）

A．甲、乙都對 B．甲、乙都不對 C．甲對、乙不對 D．甲不對、乙對
4．如圖，在等腰直角三角形中，，點B在直線l上，過A作于D，過C作于E．下列給出四個結(jié)論：①；②與互余；③．其中正確結(jié)論的序號是（????）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如圖，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．E為BC中點 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE

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二、解答題
6．如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求證：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的長．

7．如圖1，A，B，C，D在同一直線上，，，且，求證：．
如果將BD沿著AC邊的方向平行移動，如圖2、圖3，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．

8．如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，

（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．
9．如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，AM⊥CD于M，AN⊥BE于N．求證：AM＝AN．

10．如圖，，
求證：（1）；
（2）．

11．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．

(1)當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；
(2)將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．
12．已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．
（1）如圖①，若，，，求證；
（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

13．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．

(1)如圖1，求證：BD＝CE；
(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
14．已知：，，，．

（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
15．如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．
（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；
（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；
（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由。

16．在學習全等三角形知識時、教學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型” 興趣小組進行了如下探究：
（1）如圖1，兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此時BD和CE的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，已知△ABC，請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)．

17．如圖, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.

（1）當a=60°, 如圖①則，∠DPE的度數(shù)______________
（2）若△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖②所示，求∠DPE（用a表示）
18．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．

（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．
（2）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
19．在中，于點D，點E為AD上一點，連接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求證：；
（2）若，則的度數(shù)為 ．

20．如圖，已知點是的中點，CD//BE，且．
（1）求證：△ACD≌△CBE．
（2）若，求∠B的度數(shù)．

21．如圖①，點A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，作EC⊥AD于點C，F(xiàn)B⊥AD于點B，且AE＝DF．

(1)求證：EF平分線段BC；
(2)若將△BFD沿AD方向平移得到圖②時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．
22．已知：如圖，點C是線段AB的中點，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求證：
（1）△ADC≌△BEC；
（2）DA=EB．

23．已知：如圖，C為線段BE上一點，AB∥DC，AB＝EC，BC＝CD．求證：∠ACD＝∠E．

24．CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠β．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，
①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左邊圖，則BE CF，EF |BE - AF|
（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中間圖，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；
（2）如右邊圖，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β=∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．
?????????????????????
25．如圖，，，且．
（1）試說明：是等腰直角三角形；
（2）若，求的度數(shù)．

26．將的直角頂點置于直線上，，分別過點 、作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．若， ．求的面積．

27．如圖（1），已知中，，；是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于，于．
（1）求證：；
（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請給予證明．
（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明；
（4）根據(jù)以上的討論，請用簡潔的語言表達直線在不同位置時與，的位置關(guān)系．

28．已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．
（1）如圖①，若，，，求證；
（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

29．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．

拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．
30．如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．

（1）求證：；
（2）若把繞點任意旋轉(zhuǎn)一個角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
31．已知：如圖1，在和中，，，．

（1）請說明．
（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數(shù)．
（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數(shù)．
32．（1）作圖發(fā)現(xiàn)
如圖1，已知△ABC，小涵同學以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE．連接BE，CD．這時他發(fā)現(xiàn)BE與CD的數(shù)量關(guān)系是　?。?br /> （2）拓展探究
如圖2．已知△ABC，小涵同學以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，試判斷BE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．


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三、填空題
33．如圖，，，請補充一個條件： ，能使用“ASA”方法判定．


參考答案：
1．C
【分析】直接根據(jù)三角形證明全等的條件進行判斷即可；
【詳解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根據(jù)ASA即可判定三角形全等，故此選項不符合題意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根據(jù)AAS即可判定三角形全等，故此選項不符合題意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的證明條件，故此選項符合題意；
D、∵AC=DF，∴根據(jù)SAS即可判定三角形全等，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形證明全等所需添加的條件，正確掌握知識點是解題的關(guān)鍵；
2．C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，BC＝CB，
A、當添加∠A＝∠D時，可利用“AAS”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意；
B、當添加時，可利用“ASA”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意；
C、當添加AB=DC時，利用“SSA”不能判斷△ABC≌△DCB，故此選項符合題意；
D、當添加AC=DB時，可利用“SAS”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．
3．A
【分析】利用AAS判定△ABC≌△AED，則可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN．
【詳解】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，

∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
,
∴△BAC≌△EAD，
∴甲說的正確；
∵△BAC≌△EAD（AAS），
∴AB=AE，
在△BAM和△EAN中，
,
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴乙說的正確；
故選A．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)題目的特點，補充適當條件，活用判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】證△ADB≌△BEC即可．
【詳解】證明：∵， ，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正確；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ADB≌△BEC，
∴，AD=BE，故①正確；
DE=DB+BE=CE+AD，故③正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找到并證明全等三角形．
5．D
【分析】首先利用HL定理證明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可一一判斷．
【詳解】解：∵∠ACB＝∠CED＝90°
在Rt△ABC與Rt△CDE中，，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合題意，其他選項不符合題意
故選：D．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握HL定理判定三角形全等是解題關(guān)鍵
6．（1）見解析；（2）BE=3．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△DEF；
（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，則利用線段的和差關(guān)系求出BE．
【詳解】（1）證明：∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）解：∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
∴BC－EC＝EF－EC
即BE＝CF
∵BF＝11，EC＝5
∴BF－EC＝6
∴BE＋CF＝6
∴BE＝3
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7．證明見解析，依然成立，證明見解析
【詳解】解析：可以根據(jù)已知條件，利用SAS判定．如果將BD沿著AC邊的方向平行移動，如圖2、圖3，其余條件不變，結(jié)論仍然成立．可以利用全等三角形的常用判定方法進行驗證．
答案：解：證明：∵，
∴，
即．∴，∴．
在和中，
∴（SAS）．
在圖2、圖3中結(jié)論依然成立．
如在圖3中，∵，
∴，
即，∵，∴．
在和中，

∴（SAS）
易錯：認為平移后圖2、圖3中的兩個三角形不全等．
錯因：平移性質(zhì)及三角形全等的判定沒有掌握．
滿分備考：平移和旋轉(zhuǎn)變換是尋找全等三角形及其對應(yīng)邊角的一個特殊方法，在涉及的題目中應(yīng)用可以防止出錯．
8．（1）見解析；（2）78°
【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可證明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得∠ABC＝39°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【點睛】本題主要考查直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
9．見解析
【分析】通過SAS證明△DBC≌△EBC，再通過AAS證明△AMD≌△ANE，即可求解．
【詳解】解：∵AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，
∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，
在△DBC和△EBC中

∴△DBC≌△EBC（SAS）
∴∠BDC＝∠BDE，
∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△AMD和△ANE中
∵
∴△AMD≌△ANE（AAS）
∴AM＝AN．
【點睛】本題考查三角形全等的判斷和性質(zhì)，靈活運用三角形判斷是解題的關(guān)鍵．
10．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)垂直得到，求出，即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)交于，交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換即可；
【詳解】證明：，，
，
，
，
在和中，，
；
如圖，設(shè)交于，交于，

，
，
，，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準確證明是解題的關(guān)鍵．
11．(1)，證明見解析
(2)，證明見解析

【分析】（1）延長BD與EC交于點F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，進而結(jié)論得證；
（2）延長BD交CE于F，證明△ABD≌△ACE，則BD=CE、∠ABF=∠ECA；根據(jù)∠ABF=∠HCF以及三角形內(nèi)角和定理可證得∠BHC=90°．
【詳解】（1）證明：延長BD交CE于F，

在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，
∴．
（2）證明：延長BD交CE于F，

∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，
∴．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，證得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解決問題的關(guān)鍵．
12．（1）見詳解；（2）DE＝BD＋CE．理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點都在直線m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運用所學知識解決問題．
13．(1)見解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C

【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）證明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴與∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明確角度的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（1），見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析
【分析】（1）先用判斷出，得出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；
（3）同（1）的方法，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）理由如下：
∵，，
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）成立，理由如下：
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．
15．（1）相等，見解析；（2）全等，見解析；（3）能，BE，AC，見解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可得出結(jié)論；
（2）利用AAS即可證出結(jié)論；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BC，AC=BE，然后根據(jù)AC=AB＋BC即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）相等，理由如下
∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，
∴∠ECB＋∠ACD=90°，∠D＋∠ACD=90°
∴∠D=∠ECB；
（2）全等，理由如下
在△ADC和△BCE中

∴△ADC≌△BCE
（3）能，BE和AC，理由如下
∵△ADC≌△BCE
∴AD=BC，AC=BE
∵AC=AB＋BC
∴AC=AB＋AD
∴BE= AB＋AD
【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握利用AAS判定兩個三角形全等和全等三角形的對應(yīng)邊相等是解決此題的關(guān)鍵．
16．（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由見解析；（3）作圖見解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明兩個三角形全等即可證明；
（2）通過條件證明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可證明BD⊥CE，從而得到結(jié)果；
（3）根據(jù)已知條件證明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
即，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；
理由如下：因為∠DAE=∠BAC=90°，如圖2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．

在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因為∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
綜上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如圖3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．

由圖可知，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，，
又∵，
∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，????
∴∠PBC+∠PCB=60°．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的知識點應(yīng)用，準確分析圖形是解題的關(guān)鍵．
17．（1）60°；（2）∠DPE=a
【分析】（1）利用SAAS證得△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠AEB=∠CDB，再利用三角形內(nèi)角和定義以及等邊三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）利用SAAS證得△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠AEB=∠BDC，再利用三角形內(nèi)角和定理即可完成.
【詳解】（1）解：∵∠ABC=∠DBE
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE
即∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴∠AEB=∠CDB
∵∠ABC=∠DBE，AB=CB, BD=BE
∴△ABC和△EBD是等邊三角形
∴∠BDE=∠EDB=60°
∵∠EDP+∠CDB=60°
∴∠EDP+∠AEB=60°
∵∠DPE+∠AEB+∠BED+∠EDP=180°
∴∠DPE=60°
故答案為60°
（2）如圖：
∵∠ABC=∠DBE=a
∴∠ABC﹣∠EBC=∠DBE﹣∠EBC
即∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴∠AEB=∠BDC
∵∠DQB+∠DBE+∠BDC=180°
∠EQP+∠DPE+∠AEB=180°
又∵∠DQB=∠EQP
∴∠DBE=∠DPE
∴∠DPE=a

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，還涉及了等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.
18．（1）見解析；（2）AE+CF＝EF，證明見解析；（3）AE﹣CF＝EF，證明見解析
【分析】（1）利用SAS定理證明△ABE≌△CBF；
（2）延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，分別證明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；
（3）延長DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的證明方法解答．
【詳解】（1）證明：在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：AE+CF＝EF，
理由如下：延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，
在△BAE與△BCK中，
，
∴△BAE≌△BCK（SAS），
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF與△EBF中，
，
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF＝EF，
∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；
（3）解：AE﹣CF＝EF，
理由如下：延長DC至G，使CG＝AE，
由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，
∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，
∴∠GBF＝∠EBF，
∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△GBF≌△EBF，
∴EF＝GF，
∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19．（1）理由見解析；（2），理由見解析．
【分析】（1）由HL證明即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)，即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在與中，
，
∴；
（2）∵，
∴AD＝CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，
∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，
∴∠B＝∠CED＝67°．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定、幾何圖形中角度的計算、等腰直角三角形的性質(zhì)；關(guān)鍵在于熟練掌握證明三角形全的方式方法、運用等腰直角三角形的性質(zhì)．
20．（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ACD≌△CBE；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ACD，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到∠B=∠ACD．
【詳解】（1）∵C是AB的中點，
∴AC＝CB，
∵CD//BE，
∴，
在△ACD和△CBE中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ACD≌△CBE．
21．(1)證明過程見解析
(2)成立，理由見解析

【分析】（1）先根據(jù)已知條件證明Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=BF，再證Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分線段BC．
（2）思路和第一小題相同，先證Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=FB，再證Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分線段BC．
【詳解】（1）證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，
即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG和Rt△BFG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG(AAS)，
∴CG=BG，
即EF平分線段BC．
（2）解：（1）中結(jié)論仍成立，理由如下∶
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，
即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG和Rt△BFG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG（AAS），
∴CG=BG，
即EF平分線段BC．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)．
22．（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ADC≌△BEC即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：（1）∵點C是線段AB的中點，
∴CA＝CB，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴DA＝EB．
【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
23．見解析
【分析】由“SAS”可證△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【詳解】證明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，

∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴∠A＝∠E．
∴∠ACD＝∠E．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABC≌△ECD是本題的關(guān)鍵．
24．（1）①=，= ②兩結(jié)論依然成立，證明見解析 （2）EF=BE+AF
【分析】（1）①本題考查全等三角形的判定，可利用AAS定理進行解答；
②本題考查全等三角形判定，可通過三角形內(nèi)角和定理運用AAS解答．
（2）本題考查全等三角形的判定，運用三角形內(nèi)角和以及平角定義，通過AAS解答．
【詳解】證明：（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°，
∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°，
∴∠BCF=∠CAF，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴，
②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°，
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°，
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA，
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA，
∴∠CAF=∠BCE，
∵CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴；
（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°，
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA，
∴∠B=∠ACF，
∵CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
EF=EC+CF=AF+BE．
【點睛】本題考查全等三角形證明以及性質(zhì)的應(yīng)用，并結(jié)合一定的探究思路，按照題目指引利用AAS判別定理解答即可．
25．（1）見解析；（2）60°．
【分析】（1）利用ASA證明△BAE≌△CED，可證AE=DE，后利用∠BAE+∠BEA=90°，證明∠BEA+∠CED=90°，問題得證；
（2）利用直角三角形的兩個銳角互余，求解即可．
【詳解】（1）∵，，且，
∴△BAE≌△CED，
∴AE=DE，

∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）∵，，
∴，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE=60°．
【點睛】本題考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定義，直角三角形的銳角互余的性質(zhì)，根據(jù)圖形，結(jié)合條件選擇對應(yīng)判定方法，根據(jù)性質(zhì)構(gòu)造基本的計算等式是解題的關(guān)鍵．
26．32
【分析】根據(jù)AAS即可證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，得出，，所而，從而求出AD的長，則可得到的面積．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在與中，

∴
∴，，
∵，
∴．
．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)等知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（1）見解析；（2），見解析；（3）；（4）當，在的同測時，；當，在的異側(cè)時，若，則，若，則
【分析】（1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形對應(yīng)邊相等，進而通過線段之間的轉(zhuǎn)化，可得出結(jié)論；
（2）由題中條件同樣可得出△BAD≌△AEC，得出對應(yīng)線段相等，進而可得線段之間的關(guān)系；
（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD與△ACE中

∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC，
∴BD=DE+CE
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD與△ACE中

∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC
∴BD=DE-CE，
（3）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD與△CAE中，

∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．
（4）歸納：由（1）（2）（3）可知：當B，C在AE的同側(cè)時，若BD> CE,則BD= DE +CE,若BD> CE,則BD= DE +CE,若BD< CE,則BD= CE- DE.
【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性質(zhì)，線段的和差，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（1）見詳解；（2）DE＝BD＋CE．理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點都在直線m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運用所學知識解決問題．
29．問題發(fā)現(xiàn)：，；拓展探究：成立，理由見解析
【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；
拓展探究：用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．
【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點F，如圖所示：

∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案為：，；
拓展探究：成立．
理由如下：設(shè)與相交于點，如圖1所示：

∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．
30．（1）見解析（2）成立，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為的性質(zhì)可求得，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明方法與（1）相同．
【詳解】解：（1）證明：如圖1中，與都是等邊三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
(SAS)．
．
即AE=BD，

（2）成立；理由如下：
如圖2中，、均為等邊三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用及全等三角形的判定和性質(zhì)的運用．解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等，屬于中考?？碱}型．
31．（1）證明見解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA=6°．
【分析】(1)根據(jù)已知條件可以確定∠CAB =∠EAD，結(jié)合已知條件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；
(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形內(nèi)角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE =∠AEC=；
(3) 連接AM，先證(SAS),得到AM=AN,,進而可得,由(2)可知,根據(jù)等腰三角形內(nèi)角和可得= ，由三角形外角定理可得=-= .
【詳解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB，
∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD，
即∠CAB =∠EAD，
在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（AAS），
（2）∵△ABC≌△ADE ，
∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，
在△MND和△ANB中，
∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，
∠CBA +∠ANB +∠DAB =，
又∵ ∠MND=∠ANB，
∴ ∠DAB=∠DMB=，
∴∠CAE =∠DAB=，
∵AC=AE，
∴∠ACE =∠AEC=，
∴∠ACE =，
（3）∠CBA=，

如圖所示，連接AM，
,CN=EM,CA=EA,
(SAS),
AM=AN,,
=
即,
由(2)可得：,
=,
∠CAE =∠DAB=
=-= .
【點睛】本題綜合考查了三角形的相關(guān)定理與證明，較為綜合，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
32．（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通過角的等量代換可證出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通過角的等量代換可證出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．
【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）BE＝CD，理由同（1），
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．∠B＝∠E
【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，則根據(jù)三角形的判定定理“ASA”即可證得．
【詳解】可以添加∠B＝∠E．
理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCE＝∠2+∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
故答案是：∠B＝∠E．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握“兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”是解題關(guān)鍵．