人教版數(shù)學(xué)八年級下冊同步精品講義第15課 變量與函數(shù)（2份打包，原卷版+教師版）

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第15課  變量與函數(shù) 課程標(biāo)準(zhǔn)1．知道現(xiàn)實生活中存在變量和常量，變量在變化的過程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍）；2．能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見簡單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個值，會求出相應(yīng)的函數(shù)值．3．對函數(shù)關(guān)系的表示法（如解析法、列表法、圖象法）有初步認識．4. 理解函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)與其解析式之間的關(guān)系，會判斷一個點是否在函數(shù)的圖象上，明確交點坐標(biāo)反映到函數(shù)上的含義.5. 初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點法”畫一個函數(shù)的圖象的一般步驟，對已知圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關(guān)系． 知識點01  變量、常量的概念在一個變化過程中，我們稱      的量為變量.數(shù)值      的量叫做常量.【注意】： 一般地，常量是       的量，變量是      的量，這些都是針對某個變化過程而言的.例如，，速度60千米/時是      ，時間和里程為       .【通俗解讀】： 常量為數(shù)值（或已知數(shù)值的字母，如       ），變量為不是數(shù)值的字母（或不知數(shù)值的字母）。找變量和常量，即等式中的數(shù)字記為常量，等式中不知數(shù)值的字母即為變量。例如，中，常量為      ，變量為       。知識點02  函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中. 如果有兩個變量與，并且對于的      ，都有       與其對應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù).【注意】：對于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個方面去理解：　　（1）函數(shù)的實質(zhì)，揭示了兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；　?。?）對于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實際意義；　?。?）判斷兩個變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對于允許取的每一個值，是否都有唯一確定的值與它相對應(yīng).　　（4）兩個函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個條件：①函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時容易忽視，這點應(yīng)注意.【通俗解讀】： （1）函數(shù)關(guān)系，實質(zhì)是兩個變量的      （即一個      方程）；這是二元一次方程的一種轉(zhuǎn)化理解，例如二元一次方程，這個二元一次方程有      組解，這無數(shù)組解的x和y，分別作為平面直角坐標(biāo)系中點的      ，那個我們即可得到      個點，這些點就能連成一條直線，即可得到函數(shù)的圖像；（2）兩個變量是否是函數(shù)關(guān)系，定義“對于x的每一個確定的值， 都有唯一確定的y值與其對應(yīng)”的含義是：在自變量x與因變量y的等式中（即二元一次方程），給定一個x的值，是否只能解得一個y值，如果只能得到      個y值，那么y是x 的函數(shù)，如果解得        y值，那么y不是x的函數(shù)；例如，，當(dāng)x=1時，，此種情況即不滿足定義“對于x的每一個確定的值， 都有唯一確定的y值與其對應(yīng)”，因此y不是x的函數(shù)；知識點03  函數(shù)值是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時＝，那么     叫做當(dāng)自變量為時的函數(shù)值.【注意】：對于每個確定的自變量值，函數(shù)值是       ，但反過來，可以不唯一，即一個函數(shù)值對應(yīng)的自變量可以是多個.比如：中，當(dāng)函數(shù)值為4時，自變量的值為±2.【通俗解讀】： 函數(shù)值即為自變量x取一個值時，因變量y的值，即函數(shù)值表示因變量y的值；例如：x與y滿足，當(dāng)，函數(shù)值即為將代入，得          ；知識點04  自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實數(shù)叫自變量的取值范圍.（當(dāng)自變量為x時，求使得該等式有意義的x的取值范圍）【注意】：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：　?。?）當(dāng)解析式是整式時，自變量的取值范圍是                               ；　?。?）當(dāng)解析式是分式時，自變量的取值范圍是                               ；　?。?）當(dāng)解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是                          ；    （4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪時，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的                ；　?。?）當(dāng)解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義.知識點05  函數(shù)的幾種表達方式變量間的單值對應(yīng)關(guān)系有多種表示方法，常見的有以下三種：（1）解析式法：用來表示函數(shù)關(guān)系的           叫做函數(shù)關(guān)系式，也稱函數(shù)的解析式.（2）列表法：函數(shù)關(guān)系用一個表格表達出來的方法.（3）圖象法：用圖象表達兩個變量之間的關(guān)系.【注意】：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長處.解析式法能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值，這會對某些特定的數(shù)值帶來一目了然的效果，例如火車的時刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢，而且對于一些無法用解析式表達的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色.【通俗解讀】： （1）解析式法即為自變量與因變量的等式，即為二元一次方程；圖像法即為解二元一次方程的無數(shù)組解，將每一組解的x和y作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，描點，即可得出函數(shù)圖像；（2）求函數(shù)解析式，即求自變量x與因變量y的等式，即列出一個二元一次方程，因變量放在等式左側(cè)（系數(shù)為1），其他項放在等式右側(cè)；知識點06  函數(shù)的圖象對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.【注意】：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點、連線.列表時，自變量的取值范圍應(yīng)注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象情況.考法01   變量與常量辨析【典例1】寒冷的冬天里我們在利用空調(diào)制熱調(diào)控室內(nèi)溫度的過程中，空調(diào)的每小時用電量隨開機設(shè)置溫度的高低而變化，這個問題中自變量是（       ）A．每小時用電量 B．室內(nèi)溫度 C．設(shè)置溫度 D．用電時間【即學(xué)即練】下列關(guān)于圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系式S中，有關(guān)常量和變量的說法正確的是（          ）A．S，是變量，是常量 B．S，，R是變量，2是常量C．S，R是變量，是常量 D．S，R是變量，和2是常量【即學(xué)即練】一個長方體的高為5，底面的寬為a，底面的長是寬的2倍，則這個長方體的體積V可以表示為，其中的自變量是（       ）A． B． C． D．【即學(xué)即練】一本筆記本5元，買本共付元，則5和分別是（       ）A．常量，常量 B．變量，變量C．常量，變量 D．變量，常量【即學(xué)即練】在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫隨所曬時間的長短而變化，這個問題中因變量是（　?。?/span>A．太陽光強弱 B．水的溫度 C．所曬時間 D．熱水器 考法02  函數(shù)的判斷【典例2】下列各曲線表示的y與x的關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（     ）A． B． C． D．【即學(xué)即練】下列各圖給出了變量x與y之間的對應(yīng)關(guān)系，其中y是x的函數(shù)的是（       ）A．B．C． D．【典例3】下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系，其中y不是x的函數(shù)的是（　?。?/span>A． B．C． D．【典例4】下列關(guān)系式中y不是x的函數(shù)是（          ）A． B．C． D．【典例5】下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（       ）A．長方形的寬一定，其長與面積 B．正方形的周長與面積C．等腰三角形的底邊與面積 D．速度一定時，行駛的路程與時間【即學(xué)即練】下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（       ）A．長方形的寬一定，其長與面積B．正方形的周長與面積C．等腰三角形的底邊與面積D．圓的面積與圓的半徑考法03  函數(shù)值【典例6】當(dāng)時，函數(shù)的值是（       ）A． B． C．2 D．1【即學(xué)即練】根據(jù)流程圖中的程序，當(dāng)輸入數(shù)值為-6時，輸出數(shù)值為（ ）A．2 B．8 C．-8 D．-2【即學(xué)即練】某商場降價銷售一批名牌球鞋，已知所獲利潤y（元）與降價金額x（元）之間滿定函數(shù)關(guān)系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降價10元，則獲利為（       ）A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元【即學(xué)即練】變量x與y之間的關(guān)系是，當(dāng)時，自變量x的值是（       ）A．13 B．5 C．2 D．3【典例7】根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入x的值為4時，輸出的y的值為7，則輸入x的值為2時，輸出的y的值為（       ）A．1 B．2 C．4 D．5【典例8】函數(shù)的圖象過點（       ）．A． B． C． D．【即學(xué)即練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 下列函數(shù)的圖像過點（-1，1）的是（     ）A． B． C． D．【典例9】已知函數(shù)，則當(dāng)x＝2時，函數(shù)值y等于（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【典例10】若函數(shù)y=，則當(dāng)函數(shù)值y=9時，自變量x的值是（       ）A． B．3 C．3或 D．3或考法04  自變量的取值范圍【典例11】函數(shù)的自變量x的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【即學(xué)即練】已知函數(shù)，則自變量的取值范圍是（　?。?/span>A． B．﹣1且 C． D．【即學(xué)即練】某水庫的水位高度y（米）與時間x（小時）滿足關(guān)系式：，則下列說法錯誤的是（       ）A．時間是自變量，水位高度是因變量 B．y是變量，它的值與x有關(guān)C．x可以取任意大于零的實數(shù) D．當(dāng)時，考法05  求函數(shù)解析式【典例12】小明以的速度勻速前進，則他行走的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是（       ）A． B． C． D．【即學(xué)即練】從地向地打長途，不超過3分鐘，收費2.4元，以后每超過一分鐘加收一元，若通話時間分鐘，則付話費元與分鐘函數(shù)關(guān)系式是（       ）．A． B． C． D．【即學(xué)即練】把一個長為8，寬為3的長方形的寬增加x(0≤x＜5)，長不變，所得長方形的面積y關(guān)于x的表達式為（     ）A．y＝8x B．y＝8x＋24 C．y＝24－x D．y＝8x－24【即學(xué)即練】某商場存放處每周的存車量為5000輛次，其中自行車存車費是每輛1元/次，電動車存車費是每輛2元/次，若自行車的存車量為輛次，存車的總收入為元，則與之間的關(guān)系式是（       ）A． B．C． D．【即學(xué)即練】某農(nóng)場有耕地公頃，拖拉機需要小時耕完，則未耕地的面積（公頃）與拖拉機耕地的時間（小時）間的關(guān)系式是（       ）A． B． C． D．【即學(xué)即練】油箱裝滿30升油，油從油箱的管道均勻流出，90分鐘可以流盡．那么油箱中剩油量y（升）與流出時間x（分鐘）之間的表達式是（　?。?/span>A． B． C． D．【即學(xué)即練】已知一個等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是10，則底邊y關(guān)于腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式及定義域為（　?。?/span>A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10） 題組A  基礎(chǔ)過關(guān)練1．在球的體積公式中，下列說法正確的是（        ）A．、、是變量，為常量 B．、是變量，為常量C．、是變量，、為常量 D．、是變量，為常量2．駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而發(fā)生較大的變化．在這一問題中，自變量是(       )A．時間 B．駱駝 C．沙漠 D．體溫3．下列圖象中，表示y不是x的函數(shù)的是（             ）A．B．C．D．4．關(guān)于變量x，y有如下關(guān)系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函數(shù)的是（　?。?/span>A． B． C． D．5．若有意義，則x的取值范圍是　　A．且 B． C． D．6．一輛汽車從甲地以50 km/h的速度駛往乙地，已知甲地與乙地相距150 km，則汽車距乙地的距離s(km)與行駛時間t(h)之間的函數(shù)解析式是(　　)A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)7．李大爺要圍成一個矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長應(yīng)恰好為24米．要圍成的菜園是如圖所示的矩形ABCD．設(shè)BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是(        )A．y=-2x+24(0<x<12) B．y=-x+12(0<x<24)C．y=2x-24(0<x<12) D．y=x-12(0<x<24)8．變量x與y之間的關(guān)系是，當(dāng)自變量時，因變量y的值是    A． B．3 C． D．159．已知函數(shù)y＝ 當(dāng)x＝2時，函數(shù)值y為()A．5 B．6 C．7 D．810．若函數(shù)，則當(dāng)函數(shù)值y＝8時，自變量x的值是（　　　）A．± B．4 C．±或4 D．4或－題組B  能力提升練11．函數(shù)中自變量x的取值范圍是______．12．函數(shù)y＝－x2＋4，當(dāng)函數(shù)值為－4時，自變量x的取值為________，當(dāng)函數(shù)值為4時，自變量x的取值為________．13．根據(jù)如圖所示的計算程序計算變量y的對應(yīng)值，若輸入變量x的值為﹣，則輸出的結(jié)果為_____14．根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是4或7時，輸出的y值相等，則b等于(        )15．地面溫度為15 oC，如果高度每升高1千米，氣溫下降6 oC，則高度h(千米)與氣溫t(oC)之間的關(guān)系式為___________16．長方形的周長為，其中一邊長為，面積為，則與的關(guān)系可表示為___.17．用每片長6cm的紙條，重疊1cm粘貼成一條紙帶，如圖．紙帶的長度y（cm）與紙片的張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是___________________18．等腰三角形的周長為20cm，設(shè)腰長為xcm，底邊長為ycm，那么y與x之間的函數(shù)解析式是_______，其中自變量x的取值范圍是_______．題組C  培優(yōu)拔尖練19．已知函數(shù)y＝.求：(1)當(dāng)x＝1和x＝－1時的函數(shù)值；(2)當(dāng)x為何值時，函數(shù)y分別等于1，－1.20．我縣出租車車費標(biāo)準(zhǔn)如下：2千米以內(nèi)(含2千米)收費4元；超過2千米的部分每千米收費1.5元.（1）寫出收費y（元）與出租車行駛路程x（km）(x＞2)之間的關(guān)系式；（2）小明乘出租車行駛6km，應(yīng)付多少元?（3）小穎付車費16元，那么出租車行駛了多少千米?21．如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=8．點P在AB上運動，設(shè)PB=x，圖中陰影部分的面積為y．（1）寫出陰影部分的面積y與x之間的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；（2）點P在什么位置時，陰影部分的面積等于20？22．在一次實驗中，小明把一根彈簧的上端固定、在其下端懸掛物體，下面是測得的彈簧的長度y與所掛物體質(zhì)量x的一組對應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量x/kg012345彈簧長度y/cm182022242628 ①上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？②當(dāng)所掛物體重量為3千克時，彈簧多長？不掛重物時呢？③若所掛重物為7千克時（在允許范圍內(nèi)），你能說出此時的彈簧長度嗎？23．如圖在直角梯形中，，，，，，點P，Q同時從點B出發(fā)，其中點P以的速度沿著點運動；點Q以的速度沿著點運動，當(dāng)點Q到達C點后，立即原路返回，當(dāng)點P到達D點時，另一個動點Q也隨之停止運動．（1）當(dāng)運動時間時，則三角形的面積為_____；（2）當(dāng)運動時間時，則三角形的面積為_____；（3）當(dāng)運動時間為時，請用含t的式子表示三角形的面積．