人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章數(shù)列培優(yōu)課2數(shù)列的求和課件

這是一份人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章數(shù)列培優(yōu)課2數(shù)列的求和課件，共35頁。
第四章 培優(yōu)課?　數(shù)列的求和1.鞏固等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.進(jìn)一步熟練掌握錯(cuò)位相減法求和.3.理解并掌握數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法、分組求和法與并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引 成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一　公式法求和【例1】 已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1= bn.(1)求{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.規(guī)律方法　公式法求和主要是利用以下兩個(gè)基本公式:(1)等差數(shù)列的前n?an=a2+(n-2)d=2n-1.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1. 探究點(diǎn)二　裂項(xiàng)相消法求和【例2】 已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4=24,S10=120.(1)求Sn;(1)解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵S4=24,S10=120,∴4a1+6d=24,10a1+45d=120,解得a1=3,d=2,∴Sn=2n+n2.規(guī)律方法　裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的,其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng).(1)裂項(xiàng)原則:一般是前邊裂幾項(xiàng),后邊就裂幾項(xiàng),直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).變式訓(xùn)練2[2023陜西咸陽質(zhì)檢]已知等差數(shù)列{an}滿足a2=7,a7+a9=38,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn;解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,而a7+a9=2a8=38,則a8=19.于是得 探究點(diǎn)三　分組求和法求和(1)記bn=a2n-1,求出b1的值,并證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n.(2)由(1)知,bn=a2n-1=6n-1,a2n=a2n-1+1=2a2n-1=2×6n-1,∴S2n=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2+a4+…+a2n=60+61+…+6n-1+2(60+61+…+6n-1)規(guī)律方法　分組求和法的解題策略當(dāng)一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,但如果它的通項(xiàng)公式可以拆分為幾項(xiàng)的和,而這些項(xiàng)又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí),就可以用分組求和法,即原數(shù)列的前n項(xiàng)和等于拆分成的每個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的和.變式訓(xùn)練3設(shè)等差數(shù)列{an-bn}的公差為2,等比數(shù)列{an+bn}的公比為2,且a1=2,b1=1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{2an+2n}的前n項(xiàng)和Sn.解 (1)因?yàn)閍1=2,b1=1,所以a1-b1=1,a1+b1=3,依題意可得 (2)由(1)可知2an+2n=2n-1+5×2n-1,故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1) 探究點(diǎn)四　并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和【例4】 已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項(xiàng)和Sn. 變式探究本例中,將條件改為“已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.所以S15=29,S22=-44,S31=61.故S15+S22-S31=-76.規(guī)律方法　并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的解題策略(1)一般地,當(dāng)數(shù)列中的各項(xiàng)正負(fù)交替,且各項(xiàng)的絕對值成等差數(shù)列時(shí),可以采用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和.(2)在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和時(shí),因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的,所以一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類討論,但最終的結(jié)果可以用分段形式來表示.探究點(diǎn)五　倒序相加法求和【例5】 已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(1 010,2).數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an=f(n),n∈N*,則S2 019=　　　　　.?答案 4 038 解析 由條件得f(2×1 010-x)+f(x)=2×2,即f(2 020-x)+f(x)=4,于是有a2 020-n+an=4(n∈N*).又S2 019=a1+a2+a3+…+a2 018+a2 019,S2 019=a2 019+a2 018+…+a2+a1,兩式相加得2S2 019=(a1+a2 019)+(a2+a2 018)+…+(a2 018+a2)+(a2 019+a1)=2 019(a1+a2 019)=2 019×4.故S2 019=2 019×2=4 038.規(guī)律方法　如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中,距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等,則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式訓(xùn)練4在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程中,我們使用了倒序相加的方法,類比可以求得sin21°+sin22°+…+sin289°=　　　　　.?解析 令S=sin21°+sin22°+…+sin289°,則S=sin289°+sin288°+…+sin21°,兩式相加可得2S=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°)=89,探究點(diǎn)六　錯(cuò)位相減法求和【例6】 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式及Sn;解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則d>0,∵2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,規(guī)律方法　錯(cuò)位相減法求和的關(guān)注點(diǎn)(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí),應(yīng)將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn-qSn的表達(dá)式.若公比是字母參數(shù),則應(yīng)先對參數(shù)加以討論(一般情況下,分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和).解 ∵Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,∴當(dāng)n=1時(shí),T1=1;當(dāng)n≥2時(shí),Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1,②本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和.(2)分組求和法求和.(3)裂項(xiàng)相消法求和.(4)公式法求和.(5)錯(cuò)位相減法求和.(6)倒序相加法求和.2.方法歸納:公式法、分組求和法、裂項(xiàng)求和法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法.3.常見誤區(qū):并項(xiàng)求和易忽略總項(xiàng)數(shù)的奇偶;錯(cuò)位相減法中要注意相減后的項(xiàng)數(shù)、符號及化簡;裂項(xiàng)相消求和中要關(guān)注正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)是否相同及相消后前后剩余的項(xiàng)數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S27=(　　)A.-13 B.13 C.14 D.-14C解析 S27=1-2+3-4+…+25-26+27=(1-2)+(3-4)+…+(25-26)+27=27-13=14. 12345A.120 B.180 C.240 D.360 C解析 由題意得S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=(1+2+…+15)+(1+2+…+15)123453.[2023江蘇蘇州月考]已知等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),首項(xiàng)與公差相A.9 069 B.9 079 C.9 089 D.9 099 D12345解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)槭醉?xiàng)a1與公差d相等,所以an=a1+(n-1)d=nd.12345123455.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a5-a1=90,S4=90.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列{bn}中,滿足bn=an+log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a5-a1≠0可知q≠1,由a5-a1=a1q4-a1=90,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=6×2n-1=3×2n. 12345