【高考真題】2022年高考數(shù)學(xué)真題試卷（新高考全國(guó)Ⅱ卷）

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【高考真題】2022年高考數(shù)學(xué)真題試卷（新高考全國(guó)Ⅱ卷）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 (共8題；共40分)
1．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 A={?1，1，2，4}，B={x||x?1|≤1} ，則 A∩B= （　?。?
A．{?1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{?1，4}
2．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1?2i)= （　?。?
A．?2+4i B．?2?4i C．6+2i D．6?2i
3．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖， DD1，CC1，BB1，AA1 是舉， OD1，DC1，CB1，BA1 是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為 DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3 ，若 k1，k2，k3 是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線 OA 的斜率為0.725，則 k3= （　?。?

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知 a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb ，若 = ，則 t= （　?。?
A．-6 B．-5 C．5 D．6
5．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（　?。?
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
6．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若 sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ ，則（　?。?
A．tan(α+β)=?1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α?β)=?1 D．tan(α?β)=1
7．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為 33 和 43 ，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（　?。?
A．100π B．128π C．144π D．192π
8．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镽，且 f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，f(1)=1 ，則 k=122f(k)= （　?。?
A．-3 B．-2 C．0 D．1
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 (共4題；共20分)
9．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）函數(shù) f(x)=sin(2x+φ)(04|OF| D．∠OAM+∠OBM0，b>0) 的右焦點(diǎn)為 F(2，0) ，漸近線方程為 y=±3x ．
（1）（6分）求C的方程；
（2）（6分）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) P(x1，y1)，Q(x2，y2) 在C上，且 x1>x2>0，y1>0 ．過P且斜率為 ?3 的直線與過Q且斜率為 3 的直線交于點(diǎn)M，請(qǐng)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：
①M(fèi)在 AB 上；②PQ∥AB ；③|MA|=|MB| ．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
22．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知函數(shù) f(x)=xeax?ex ．
（1）（4分）當(dāng) a=1 時(shí)，討論 f(x) 的單調(diào)性；
（2）（4分）當(dāng) x>0 時(shí)， f(x)ln(n+1) ．

答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算
【解析】【解答】 B={x|0≤x≤2} ，故 A∩B={1，2} .
故答案為：B
【分析】先求出集合B，再根據(jù)交集的概念求 A∩B 即可.
2．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】 (2+2i)(1?2i)=2+4?4i+2i=6?2i ，
故答案為：D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則即可求解.
3．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列
【解析】【解答】設(shè) OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，則 CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3 ，
根據(jù)題意，有 k3?0.2=k1，k3?0.1=k2 ，且 DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725 ，
所以 0.5+3k3?0.34=0.725 ，故 k3=0.9 .
故答案為：D
【分析】設(shè) OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，可得關(guān)于 k3 的方程求解即可.
4．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
【解析】【解答】解：由已知條件可得 c=(3+t，4) ， cos=cos ，即 9+3t+165|c|=3+t|c| ，解得 t=5 ，
故答案為：C
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求解.
5．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】因?yàn)楸∠噜?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有 3! 種排列方式；甲不在兩端，則甲在三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有： 3!×2×2=24 種不同的排列方式.
故答案為：B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解.
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦公式；兩角和與差的正弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【解析】【解答】根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)已知式子得： sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ?sinαsinβ=2(cosα?sinα)sinβ ，
即： sinαcosβ?cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0 ，
即： sin(α?β)+cos(α?β)=0 ，
所以 tan(α?β)=?1 ，
故答案為：C
【分析】由兩角和差的正、余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
7．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；球的體積和表面積
【解析】【解答】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑 r1，r2 ，所以 2r1=33sin60°，2r2=43sin60° ，即 r1=3，r2=4 ，設(shè)球心到上下底面的距離分別為 d1，d2 ，球的半徑為 R ，所以 d1=R2?9 ， d2=R2?16 ，故 |d1?d2|=1 或 d1+d2=1 ，即 |R2?9?R2?16|=1 或 R2?9+R2?16=1 ，解得 R2=25 ，所以球的表面積為 S=4πR2=100π ．
故答案為：A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑 r1，r2 ，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而求出球的表面積．
8．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的周期性
【解析】【解答】因?yàn)?f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y) ，令 x=1，y=0 可得， 2f(1)=f(1)f(0) ，所以 f(0)=2 ，令 x=0 可得， f(y)+f(?y)=2f(y) ，即 f(y)=f(?y) ，所以函數(shù) f(x) 為偶函數(shù)，令 y=1 得， f(x+1)+f(x?1)=f(x)f(1)=f(x) ，即有 f(x+2)+f(x)=f(x+1) ，從而可知 f(x+2)=?f(x?1) ， f(x?1)=?f(x?4) ，故 f(x+2)=f(x?4) ，即 f(x)=f(x+6) ，所以函數(shù) f(x) 一個(gè)周期為6．
因?yàn)?f(2)=f(1)?f(0)=1?2=?1 ， f(3)=f(2)?f(1)=?1?1=?2 ， f(4)=f(?2)=f(2)=?1 ， f(5)=f(?1)=f(1)=1 ， f(6)=f(0)=2 ，所以
一個(gè)周期內(nèi)的 f(1)+f(2)+?+f(6)=0 ．由于22除以6余4，
所以 k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1?1?2?1=?3 ．
故答案為：A
【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù) f(x) 的一個(gè)周期為6，求出函數(shù)一個(gè)周期中的 f(1)，f(2)，?，f(6) 的值，即可求解．
9．【答案】A,D
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；正弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性；正弦函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】由題意得： f(2π3)=sin(4π3+φ)=0 ，所以 4π3+φ=kπ ， k∈Z ，
即 φ=?4π3+kπ，k∈Z ，
又 00?g′(x)>0?g(x) 單調(diào)遞增 ?g(x0)>g(0)=0 ，矛盾
②若 ?′(0)=2a?1≤0 ，即 a≤12 時(shí)， g′(x)=eax+axeax?ex=eax+ln(1+ax)?ex≤e12x+ln(1+12x)?ex≤e12x+12x?ex=0
?g(x) 在 [0，+∞) 上單調(diào)遞減， g(x)≤g(0)=0 ，符合題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍足 a≤12 .
（3）證明：取 a=12 ，則 ?x>0 ，總有 xe12x?ex+11，t2=ex，x=2lnt ，
故 2tlnt