2023年浙江省寧波市部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析）

這是一份2023年浙江省寧波市部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析），共25頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，羊二，直金十九兩；牛二，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023年浙江省寧波市部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)中，最小的數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  我國(guó)研究人員利用中國(guó)天眼對(duì)致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周圍天區(qū)的氫原子氣體進(jìn)行成像觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)了個(gè)尺度大約為萬(wàn)光年的巨大原子氣體系統(tǒng)，尺度比銀河系大倍長(zhǎng)度單位光年是指光在真空中傳播一年所經(jīng)過(guò)的距離，大約為千米，將數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列幾何體中，主視圖為矩形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  某縣舉行朗誦比賽，將朗誦技巧、表現(xiàn)技巧、創(chuàng)新亮點(diǎn)三個(gè)方面分別按，，的比例計(jì)入總分小華各項(xiàng)得分如表所示，則小華的最終得分為(    ) 評(píng)分內(nèi)容朗誦技巧表現(xiàn)技巧創(chuàng)新亮點(diǎn)得分分分分 A. 分 B. 分 C. 分 D. 分6.  使有意義的的取值，在數(shù)軸上表示正確的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  如圖，若菱形的周長(zhǎng)，則菱形的一邊的中點(diǎn)到對(duì)角線交點(diǎn)的距離為(    )A.
B.
C.
D. 8.  九章算術(shù)中記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊三，直金十二兩問(wèn)牛、羊各直金幾何？”意思是現(xiàn)在有頭牛、只羊，共值兩銀子；頭牛、只羊，共值兩銀子每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？設(shè)頭牛值兩銀子，只羊值兩銀子，則可列方程組為(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，則不等式的解是(    )A.
B. 或
C. 或
D. 10.  兩張全等的矩形非正方形紙片先后按如圖呈軸對(duì)稱方式，按如圖呈中心對(duì)稱方式放置在同一個(gè)正方形中，若知道圖形與圖形的面積差，則一定能求出(    )
A. 圖形與的面積差 B. 圖形與的周長(zhǎng)差
C. 圖形與的面積和 D. 圖形與的周長(zhǎng)和二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）11.  的絕對(duì)值等于______ ．12.  分解因式：________．13.  一個(gè)不透明的袋子里裝有個(gè)黃球和個(gè)白球，它們除顏色外其余都相同從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率為______ ．14.  如圖，以為直徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)若，則的度數(shù)為______ ．
 15.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，交于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，則 ______ ．
 16.  如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，連接，的平分線與邊交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)設(shè)．
若，，求線段的長(zhǎng)為______；
連接，若，則的值為______．三、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：；
解不等式組．18.  本小題分
如圖，在的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺按要求在網(wǎng)格中作圖．
在圖中畫出線段，點(diǎn)在上，使得：：；
在圖中畫出的重心．
19.  本小題分
在歐幾里得的幾何原本中，形如的一元二次方程通過(guò)圖解法能得到其中的一個(gè)正根：如圖，先畫，使，，，再在斜邊上截取，連結(jié)，那么圖中某條線段的長(zhǎng)就是一元二次方程的其中一個(gè)正根．
用含，的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．
圖中哪條線段的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)正根？請(qǐng)說(shuō)明理由．
20.  本小題分
已知：一次函數(shù)的圖象與拋物線為常數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)為．
求，的值．
直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
若將拋物線為常數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，且平移后的拋物線的頂點(diǎn)落在直線上，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．21.  本小題分
某校計(jì)劃更換校服款式，為了調(diào)研學(xué)生對(duì)，兩款校服的滿意度，隨機(jī)抽取了名學(xué)生試穿兩款校服，對(duì)舒適性、性價(jià)比和時(shí)尚性進(jìn)行評(píng)分滿分均為分，并按照：：的比例計(jì)算綜合評(píng)分將數(shù)據(jù)評(píng)分進(jìn)行整理、描述和分析下面給出了部分信息．
，兩款校服各項(xiàng)評(píng)分的平均數(shù)統(tǒng)計(jì)表 款式舒適性評(píng)分平均數(shù)性價(jià)比評(píng)分平均數(shù)時(shí)尚性評(píng)分平均數(shù)綜合評(píng)分平均數(shù)分分分 分分分分不同評(píng)分對(duì)應(yīng)的滿意度統(tǒng)計(jì)表 評(píng)分分滿意度不滿意基本滿意滿意非常滿意
款校服時(shí)尚性評(píng)分在這一組的是：分，分，分，分，分．
請(qǐng)根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：
款校服綜合評(píng)分平均數(shù)是否達(dá)到“非常滿意”：______ 填“是”或“否”．
款校服時(shí)尚性滿意度達(dá)到“非常滿意”的人數(shù)為______ ．
款校服時(shí)尚性評(píng)分的中位數(shù)為______ 分
記款校服時(shí)尚性評(píng)分高于其平均數(shù)的人數(shù)為，款校服時(shí)尚性評(píng)分高于其平均數(shù)的人數(shù)為，比
較，的大小，并說(shuō)明理由．22.  本小題分
某電商平臺(tái)甲、乙、丙三個(gè)直播間的促銷活動(dòng)如下表所示： 直播間活動(dòng)方案甲全場(chǎng)六折乙“滿送”如：購(gòu)買元商品，贈(zèng)元購(gòu)物券；購(gòu)買元商品，贈(zèng)元購(gòu)物券丙“滿減”如：購(gòu)買元商品，只需付元；購(gòu)買元商品，只需付元請(qǐng)根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：
甲、乙兩個(gè)直播間同時(shí)出售一款標(biāo)價(jià)為元的破壁機(jī)和標(biāo)價(jià)為多元的空氣炸鍋，小明媽媽想買這兩件廚房用品，小明通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)在甲直播間同時(shí)購(gòu)買這兩件商品與在乙直播間先買破壁機(jī)再買空氣作鍋所花的錢是相同的，求空氣炸鍋的標(biāo)價(jià)．
小明研究了丙直播間的活動(dòng)方案，發(fā)現(xiàn)實(shí)際售價(jià)元可以看成標(biāo)價(jià)元的函數(shù)，并繪制了如圖所示的部分函數(shù)圖象請(qǐng)寫出當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象．
在甲、丙兩個(gè)直播間標(biāo)價(jià)均為元的商品，當(dāng)的取值范圍是多少時(shí)，到甲直播間購(gòu)買更合算？
 23.  本小題分
如圖，在四邊形中，，，是邊上一點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，．
求證：．
如圖，連結(jié)交于點(diǎn)若，求證：．
如圖，已知，若，，求的長(zhǎng)．
 24.  本小題分
如圖，，是的兩條弦，且于點(diǎn)．
若，求證：．
如圖，連結(jié)，，，若，
判斷與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
在上存在點(diǎn)，滿足，是的中點(diǎn)，連結(jié)若，，求的半徑．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
所給的各數(shù)中，最小的數(shù)是．
故選：．
有理數(shù)大小比較的法則：正數(shù)都大于；負(fù)數(shù)都小于；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正數(shù)都大于；負(fù)數(shù)都小于；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。?/span>
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：、圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；
B、圓柱的主視圖是矩形，符合題意；
C、四棱錐的主視圖是三角形，不合題意；
D、球的主視圖是圓，不符合題意．
故選：．
根據(jù)主視圖是從物體正面看所得到的圖形，分別得出四個(gè)幾何體的主視圖，即可解答．
本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的主視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
 4.【答案】 【解析】解：、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：．
先根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方，以及合并同類項(xiàng)得方法計(jì)算，再判斷即可．
本題考查了同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方，掌握計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：小華的最終得分為分，
故選：．
根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計(jì)算即可．
本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．
 6.【答案】 【解析】解：使有意義，
則，
解得：，
在數(shù)軸上表示為：
．
故選：．
直接利用二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：如圖，連接，

四邊形是周長(zhǎng)為的菱形，
，，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
故選：．
根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：頭牛、只羊，共值兩銀子，
；
頭牛、只羊，共值兩銀子，
．
根據(jù)題意可列方程組．
故選：．
根據(jù)“頭牛、只羊，共值兩銀子；頭牛、只羊，共值兩銀子”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，
不等式的解集是或．
故選：．
一次函數(shù)落在與反比例函數(shù)的圖象下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即為所求．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)矩形較長(zhǎng)的一邊為，較短的一邊為，正方形的邊長(zhǎng)為，

圖形的面積，
圖形的面積，
圖形與圖形的面積差，
圖形的面積，
圖形的面積，
圖形與圖形的面積差，
故A選項(xiàng)不符合題意；
圖形與圖形的面積和，
故C選項(xiàng)不符合題意；
圖形的周長(zhǎng)，
圖形的周長(zhǎng)，
圖形與圖形的周長(zhǎng)和，
故D選項(xiàng)不符合題意；
圖形與圖形的周長(zhǎng)差，
又圖形與圖形的面積差，為已知，即為已知，
故B選項(xiàng)符合題意，
故選：．
根據(jù)題意設(shè)矩形較長(zhǎng)的一邊為，較短的一邊為，正方形的邊長(zhǎng)為，先用字母表示出圖形、的面積，根據(jù)題意得到為已知，再用字母分別表示出圖形、、、、、的周長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可得出正確的選項(xiàng)．
本題考查整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)、全等圖形和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)用字母根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)表示出各條線段．
 11.【答案】 【解析】解：的絕對(duì)值等于．
故答案為：．
直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)得出答案．
此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
提取公因式，整理即可．
本題考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
 13.【答案】 【解析】解：從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球共有種等可能結(jié)果，其中是白球的有種結(jié)果，
所以從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率為，
故答案為：．
從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球共有種等可能結(jié)果，其中是白球的有種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題主要考查了概率公式，熟練掌握概率公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：以為直徑的與相切于點(diǎn)，
，
，
．
為直徑，
，
，
．
故答案為：．
利用圓的切線的性質(zhì)定理，利用圓周角定理得到，利用同角的余角相等即可得出結(jié)論．
本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
為等腰直角三角形，且，
，
直線為，
為的中點(diǎn)，
，
反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，
反比例函數(shù)為，
由，解得或，
，
．
故答案為：．
由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，直線為，進(jìn)一步求得點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，與直線的解析式聯(lián)立，解方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】
． 【解析】解：四邊形是正方形，
，，
，
又平分，
，
，
，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
故答案為：；
由得，，又，
，
四邊形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，，
設(shè)，則，，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案為：．
本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
根據(jù)，，可以得到、的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到的長(zhǎng)，從而可以得到線段的長(zhǎng)；
然后根據(jù)題目中的條件，可以得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可以得到和的比值，從而可以得到的值．
 17.【答案】解：原式

；
由得：，
由得：，
不等式組的解集為． 【解析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；
分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
此題考查了平方差公式，完全平方公式，以及解一元一次不等式組，熟練掌握公式及不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖中，點(diǎn)即為所求；
如圖中，點(diǎn)即為所求．
 【解析】取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接即可；
作直線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
 19.【答案】解：，，，
，
；
線段的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)正根，理由如下：
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
線段的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)正根． 【解析】由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論；
設(shè)，則，由勾股定理得出方程，即可得出結(jié)論．
此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理以及數(shù)學(xué)常識(shí)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：由題意得：，
解得：，
所以：，；
一次函數(shù)的圖象與拋物線的圖象在同一坐標(biāo)系中，如圖所示：

解得：或，
，
由圖象得；當(dāng)時(shí)，或；
，
的頂點(diǎn)為，
由題意得：，
． 【解析】根據(jù)待定系數(shù)法求解；
先求交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖象求解；
根據(jù)平移的規(guī)律求解．
本題考查了函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】是  人   【解析】解：校服綜合評(píng)分平均數(shù)為：，
“非常滿意”是，
達(dá)到“非常滿意”，
故答案為：是；
校服時(shí)尚性滿意度達(dá)到“非常滿意”的人數(shù)為：人，
故答案為：人；
由題意得，校服時(shí)尚性評(píng)分中，不滿意人數(shù)：人，基本滿意人數(shù)：人，滿意人數(shù)：人，非常滿意人數(shù)：人，
中位數(shù)是和位的中位數(shù)，是中的前兩位，即，
故答案為：；
，
理由如下：校服時(shí)尚性評(píng)分的平均數(shù)為，達(dá)到滿意水平，
由扇形圖可知，人中對(duì)校服時(shí)尚性評(píng)分達(dá)到滿意和非常滿意是人數(shù)是人，
，
校服時(shí)尚性評(píng)分時(shí)尚性評(píng)分平均數(shù)為，小于中位數(shù)，
，
．
求出校服綜合評(píng)分平均數(shù)，根據(jù)題意比較大小，得出結(jié)論；
根據(jù)扇形圖計(jì)算；
根據(jù)中位數(shù)的概念解答即可；
根據(jù)校服時(shí)尚性評(píng)分的平均數(shù)為，校服時(shí)尚性評(píng)分時(shí)尚性評(píng)分平均數(shù)為，分別求出、，證明結(jié)論．
本題考查的是中位數(shù)、平均數(shù)，扇形圖，掌握中位數(shù)的概念、正確獲取扇形圖的信息是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)這種空氣炸鍋的標(biāo)價(jià)為元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：這種空氣炸鍋的標(biāo)價(jià)為元；
根據(jù)題意得：，
圖象如圖所示：

當(dāng)時(shí)，甲直播間購(gòu)買需花費(fèi)元，
乙直播間需花費(fèi)元，
，
在甲直播間購(gòu)買更劃算；
當(dāng)時(shí)，甲直播間購(gòu)買需花費(fèi)元，
乙直播間需花費(fèi)元，
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，到甲直播間購(gòu)買更劃算，當(dāng)時(shí)，甲、乙直播間購(gòu)買花費(fèi)一樣多；當(dāng)時(shí)，到乙直播間購(gòu)買更劃算．
當(dāng)時(shí)，到甲直播間購(gòu)買更劃算． 【解析】設(shè)這種空氣炸鍋標(biāo)價(jià)是元，根據(jù)在甲直播間同時(shí)購(gòu)買破壁機(jī)和空氣炸鍋與在乙直播間先買破壁機(jī)再買空氣炸鍋所花費(fèi)的錢數(shù)是相同的，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再畫出函數(shù)圖象；
分和討論即可．
本題考查了一次函數(shù)、一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)解析式和一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：如圖，連接，

，，，
≌，
，
又，，
≌，
，
垂直平分，
，
；
證明：≌，，
∽，
∽，
，
即，
又≌，
，
為的平分線，
點(diǎn)到、的距離相等，
，
；
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，
，
設(shè)，，
則，，
，，
，
，
，
，
，
． 【解析】連接，利用證明≌，得，再利用證明≌，得，最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；
利用∽，得，再根據(jù)角平分線定理和的面積比可得，即可證明結(jié)論；
過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)，設(shè)，，則，，表示出，從而得出的長(zhǎng)，再根據(jù)，從而得出的值，進(jìn)而解決問(wèn)題．
本題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，熟練運(yùn)用三角函數(shù)表示線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：如圖，

連接，，
，，
，，
∽，
，
，
；
解：如圖，

，理由如下：
作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖，

連接，交于，連接，作，交于，
，
，
，
，
，
∽，四邊形是平行四邊形，
，，，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
由，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
圓的半徑為． 【解析】連接，證明∽，由相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；
作于，作于，可推出平分，可推出，，進(jìn)而，進(jìn)一步得出結(jié)果；
連接，交于，連接，作，交于，可推出∽，四邊形是平行四邊形，從而，，，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，可推出，設(shè)，則，由，列出，從而求得的值，則求出及的長(zhǎng)，由比例線段可求出，進(jìn)一步得出結(jié)果．
本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的有關(guān)計(jì)算，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行四邊形、等腰三角形及相似三角形．