2022-2023學年河南省信陽市高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

這是一份2022-2023學年河南省信陽市高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版），共16頁。試卷主要包含了單選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學年河南省信陽市高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把直線方程化為斜截式，求出斜率可得答案.【詳解】直線化為斜截式為，斜率為－1，傾斜角為.故選：D.2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（    ）A．－4 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】運用等比數(shù)列的下標性質(zhì)進行求解即可.【詳解】，∴，又，∴，所以，故選：C3．焦點坐標為的拋物線的標準方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由焦點坐標可設(shè)拋物線的標準方程為求出可得答案.【詳解】由焦點坐標可設(shè)拋物線的標準方程為，由，所以，所以，拋物線方程為.故選：B.4．直線l的方向向量為，平面與的法向量分別為，，則下列選項正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系與對應向量的關(guān)系逐項進行判斷即可求解.【詳解】若，則與共線，故選項錯誤；若，則，即，故選項錯誤；若，則與垂直，即，故選項正確；若，則與共線，故選項錯誤，故選：.5．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關(guān).如圖，為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓弧），再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當?shù)玫降?/span>“蚊香”恰好有9段圓弧時，“蚊香”的長度為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到第一段圓弧到第n段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合圓心角，利用求和公式求出答案.【詳解】依題意，每段圓弧的圓心角為，第一段圓弧到第n段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，…，n.，所以當?shù)玫降?/span>“蚊香”恰好有9段圓弧時，“蚊香”的長度為.故選：D.6．方程（m，n為常數(shù)）不能表示的曲線是（    ）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】通過分析的取值，判斷曲線表示的形狀對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】解：若，，方程表示直線；若，，方程表示橢圓或圓；若，，方程表示雙曲線；由于方程沒有一次項，方程不可能表示拋物線.故選:D.7．直線與圓交于A，B兩點，則（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】求出圓心、半徑，再求出圓心到直線的距離，利用可得答案..【詳解】由配方得，所以圓心為，半徑為3，圓心到直線的距離，所以，.故選：C.8．已知正三棱柱的側(cè)棱長為3，底面邊長為2，則直線與側(cè)面所成角的正弦值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法1取的中點D，連接AD，，根據(jù)線面的位置關(guān)系得到為直線與側(cè)面所成角，然后在三角形中求解；解法2建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法進行求解.【詳解】解法1：如圖，取的中點D，連接AD，，則由正三棱柱的性質(zhì)可知平面，∴為直線與側(cè)面所成角，在中，，故選A.解法2：取的中點，連接，則由正三棱柱的性質(zhì)可知平面.設(shè)AC的中點為D，分別以，，所在的直線為x，y，z軸建立空間坐標系，則，，平面的法向量，又，設(shè)與平面所成角為，則.故選：A.9．過點作直線l與雙曲線交于點A，B，若P恰為AB的中點，則直線l的條數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行判斷即可.【詳解】設(shè)直線l：，由，得，（※）設(shè)，，則，由，即，得，此時，（※）式為，由于，所以直線l與雙曲線無公共點，這樣的直線不存在.故選：A10．已知，是橢圓C的兩個焦點，P為C上一點，，若C的離心率為，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓離心率的公式進行求解即可.【詳解】解：記，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，從而，∴.∵，∴.故選:B11．直線與曲線恰有2個公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫出直線與曲線的圖象，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】解：由曲線得，當時，；當時，；直線恒過點，所以直線與曲線的圖象如圖.當直線與相切時，此時，得，解得，當直線與平行時，，直線與曲線要恰有2個公共點，可得.故選:A.12．如圖，過拋物線的焦點為F的直線交拋物線于A，B兩點，交其準線l于點C，若，且，則（    ）A． B． C．18 D．25【答案】B【分析】作出輔助線，求出，由三角形相似得到，進而求出，得到拋物線方程，設(shè)，，直線，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，由焦半徑得到，進而求出，從而由焦點弦長公式求出答案.【詳解】設(shè)準線l與x軸交于點M，過A作，垂足為D，由拋物線定義知，，由得，，因為，所以，即，得，所以拋物線方程為.設(shè)，，則，所以.設(shè)直線，聯(lián)立，得到，則，∴，∴.故選：B. 二、填空題13．若向量與向量共線，則______.【答案】【分析】考慮與，列出方程，求出.【詳解】當時，此時，，故不共線，當時，向量，共線，所以，∴.故答案為：14．雙曲線的漸近線方程是_________.【答案】【解析】直接根據(jù)雙曲線漸近線的定義求解即可.【詳解】因為雙曲線為，所以其漸近線方程是，故答案為：.15．引江濟淮是一項大型跨流域調(diào)水工程，2022年底試通航.如圖是某段新開河渠的示意圖.在二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為______.【答案】##【分析】設(shè)二面角為，由，對等式兩邊平方，由向量的數(shù)量積的定義代入化簡即可得出答案.【詳解】解：設(shè)二面角為，由，得，∴，∵，∴.故答案為：. 三、雙空題16．“雪花曲線”是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程.如圖，若第1個圖中三角形的邊長為1，則第3個圖形的周長為______；第n個圖形的周長為______.【答案】          【分析】設(shè)第n個圖形為，邊長為，邊數(shù)，周長為，分析出，，從而求出，求出第3個圖形的周長和第n個圖形的周長.【詳解】記第n個圖形為，邊長為，邊數(shù)，周長為.有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；……分析可知，即；，即.當?shù)?/span>1個圖中的三角形的邊長為1時，即，，所以.當時，.故答案為：， 四、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，.(1)求的通項公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)-56 【分析】（1）設(shè)出公差，利用通項公式基本量，求和公式基本量計算，列出方程組，求出首項和公差，得到通項公式；（2）求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則，解得.∴.（2），當且僅當或時，取最小值，的最小值為.18．已知拋物線C：的焦點為F，點在C上，，圓M：.(1)求C與M的標準方程；(2)過C上的點P作圓M的切線l，當l的傾斜角為時，求點P的坐標.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）由拋物線定義,求出，即可求出C的標準方程；將圓配成標準方程，由已知圓心即可求出M的標準方程.（2）設(shè)切線l：，由直線與圓相切求出切線方程，兩切線方程分別與拋物線聯(lián)立即可求出點P的坐標.【詳解】（1）由拋物線定義可知，，∴，所以C的方程為.將配方，得，圓心，即圓M的標準方程.（2）設(shè)切線l：，由，得，或.所以，切線l：，或.聯(lián)立，，得點P的坐標為或；聯(lián)立，，得，此方程無解.綜上，所求點P的坐標為或.19．如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，，，E為CD的中點，平面平面ABCD.(1)求點E到平面PBC的距離；(2)求平面PBC與平面PBE的夾角.【答案】(1)(2). 【分析】（1）由題意可得，平面ABCD，，分別以OB，OE，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出和平面PBC的法向量，再由點到平面的距離公式代入即可得出答案.（2）求出平面PBC與平面PBE的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）取AB的中點O，連接OP，因為，為等邊三角形，所以.因為，平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD.又，E為CD的中點，∴，∵，∴.分別以OB，OE，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即.令，得平面PBC的一個法向量為.又，所以點E到平面PBC的距離.（2）又，設(shè)平面PBE的一個法向量為，則，即，令，得平面PBC的一個法向量為.則.故平面PBC與平面PBE夾角為.20．已知雙曲線C與雙曲線的漸近線相同，且點在C上，直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，直線AP，AQ關(guān)于直線對稱.(1)求C的方程；(2)求直線l的斜率.【答案】(1)(2). 【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，將點的坐標代入雙曲線方程可得答案；（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，設(shè)，，與雙曲線方程聯(lián)立，由，可得，韋達定理代入可得答案.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，將點的坐標代入得，∴，所以，雙曲線C：，即C：；（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，設(shè)，，聯(lián)立，可得，所以，，，由直線AP，AQ關(guān)于直線對稱，知，可得，即，即，所以，化簡得，即，所以或，當時，直線l：過點，與題意不符，舍去，故.21．已知數(shù)列前n項和為，，.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析，；(2). 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式進行求解即可；（2）運用錯位相減法進行求解即可.【詳解】（1）由題知，即，即，∵，∴，∴數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴；（2），∴，①∴，②①－②得，，∴.22．已知橢圓C：過點，點N為其左頂點，且MN的斜率為.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)，垂直于x軸的直線與曲線C相交于A，B兩點，直線AP和曲線C交于另一點D，證明：直線BD恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由點在上，可得，再由MN的斜率為，即可求出的值，即可求出曲線C的方程；（2）設(shè)，，，設(shè)直線AP方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理代入表示出直線BD的方程，化簡即可求出直線BD恒過的定點.【詳解】（1）根據(jù)題意，把點代入橢圓得到①，設(shè)，又，∴，代入①式，求得，∴橢圓C的方程為.（2）證明：設(shè)，，，顯然直線AP斜率不為0，設(shè)直線AP方程為，聯(lián)立，消去x并整理得，由，由韋達定理可得，，直線BD的方程是，化簡得：，∵，∴當時，.∴直線BD過定點.