初中數(shù)學15.3 分式方程教學設計

這是一份初中數(shù)學15.3 分式方程教學設計，共25頁。

課首溝通
學校的進度
在學校的學習哪里感覺比較吃力
知識導圖
課首小測
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年廣州市海珠區(qū)期末考試） 把分式方程化為整式方程，得（）
A．x+2=2x（x+2）B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）
C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2）D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）
【參考答案】B
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年玉林一模考試） 2014年12月26日，南寧至廣州高速鐵路開始運行，從南寧到廣州，乘空調快車的行程為872km，高鐵開通后，高鐵列車的行程約為580km，運行時間比空調快車時間 少了8h．若高鐵列車的平均速度是空調快車的2.5倍，求高鐵列車的平均速度．設空調快車平均速度為xkm/h，則根據(jù)題 意所列方程正確的是（）
A．B．C．D．
【參考答案】A
【題目解析】
解：設空調快車平均速度為x km/h，高鐵列車的平均速度為2.5x km/h，
學生姓名
年級
學科
授課教師
日期
時段
核心內容
分式方程的解法、分式方程的實際應用
課型
一對一/一對N
教學目標
1、掌握解分式方程的方法和根的檢驗；
2、能利用分式方程解決行程問題、工程問題和經(jīng)濟類問題中的有關問題。
重、難點
1、分式方程的解法；
2、分式方程的實際應用。
由題意得， 故選A．
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2016年葫蘆島中考） A，B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運40千克，A型機器人搬運1200千克所用時間與B型機器人搬運800千克所用時間相等．設B 型機器人每小時搬運化工原料x千克，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A． = &ensp B． =C．D．
【參考答案】A
【題目解析】
解：設B型機器人每小時搬運化工原料x千克，則A型機器人每小時搬運化工原料（x+40）千克，
∵A型機器人搬運1200千克所用時間與B型機器人搬運800千克所用時間相等，
∴ = ． 故選A．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 小明上周三在超市恰好用10元錢買了幾袋牛奶，周日再去買時，恰遇超市搞優(yōu)惠酬賓活動，同樣的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，結果小明只比上次多用了2元錢，卻比上次多買了2袋牛奶．若設他上周 三買了x袋牛奶，則根據(jù)題意列得方程為 ．
【參考答案】（x+2）（﹣0.5）=12．
【題目解析】
解：設他上周三買了x袋牛奶，則根據(jù)題意列得方程為：
（x+2）（﹣0.5）=12．
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年廣州市花都區(qū)一?？荚嚕?解方程：．
【參考答案】x=2
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 解方程：．
【參考答案】
解：去分母，得 3x(x-2)-2(x+2)=3(x+2)(x-2)． 去括號，得 ．
整理，得．
解得．
檢驗：當x=1時，（x+2）（x－2）=－3≠0
∴x=1是原分式方程的解．
導學一 ： 分式方程的定義
知識點講解 1：
分式方程定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。分式方程的重要特征是：①含分母；②分母里含未知數(shù)。
例題
[單選題] [分式方程的定義] [難度： ★★ ] 在下列方程中，關于x的分式方程的個數(shù)有（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．2個B．3個C．4個D．5個
【參考答案】B
【題目解析】
我愛展示
解：①、②、⑥ 的分母中不含有未知數(shù)，它們是整式方程，不是分式方程；③、④、⑤的分母中含未知數(shù)x，故是分式方程．
[分式方程的定義] [難度： ★★ ] 在關于x的方程：①，②，③ ，④ ，
⑤ ，⑥ 中， 是整式方程， 是分式方程．
【參考答案】②③④⑥；①⑤
導學二 ： 分式方程的解法
知識點講解 1：分式方程的解法
1、解分式方程的思想和方法
2、解分式方程的一般步驟：
去分母，在分式方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；
解這個整式方程，得出整式方程的根；
驗根，把整式方程的根代入最簡公分母（或原方程）檢驗，看結果是不是零，使最簡分母為零的根是原方程的增根，必須舍去。
寫出分式方程的根。
例題
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年武漢中考） 解方程：．
【參考答案】x=6
【題目解析】
解：方程兩邊同乘x（x-2），得：2x=3(x-2) 解得x=6
檢驗：當x=6時，x（x-2）=24≠0
∴x=6是原分式方程的解
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2014年廣州市越秀區(qū)期末考試） 解分式方程：．
【參考答案】無解
【題目解析】
解：方程兩邊同乘x（x-2）得， x2=4+ x（x-2） 解得x=2
檢驗：當x=2時，x(x-2)=0
∴原分式方程無解
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年廣州市越秀區(qū)期末考試） 解分式方程：﹣1= ．
【參考答案】無解
【題目解析】
解：去分母得：
（x﹣3）x﹣（x+3）（x﹣3）=18， 整理得：﹣3x+9=18，
解得：x=﹣3，
檢驗：當x=﹣3時，（x+3）（x﹣3）=0，故此方程無實數(shù)根．
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[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] 對于非零的實數(shù)a、b，規(guī)定a⊕b=﹣ ．若2⊕（2x﹣1）=1，則x=（
）
A． B． C． D．
【參考答案】A
【題目解析】
解：∵2⊕（2x﹣1）=1，
∴；
去分母得2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1）， 解得x= ，
檢驗：當x= 時，2（2x﹣1）≠0，
故分式方程的解為x= ．
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年臨淄市中考） 方程的解為（） A．x=2B．x=3C．x=4D．無解
【參考答案】D
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年廣州市黃埔區(qū)一模考試） 解分式方程：．
【參考答案】x=3
【題目解析】
解：方程兩邊同乘x(x-2)，得3（x-2）=x
解得：x=3
檢驗：當x=3時，x（x-2）=3≠0
∴ x=3是原分式方程的解
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年宿遷中考） 解方程：．
【參考答案】無解
【題目解析】
解：方程兩邊同乘（x-2），得： 1=－（1－x）－3（x－2）
解得x=2
檢驗：當x=2時，x－2=0
∴原分式方程無解
知識點講解 2
分式方程的解：能使分式方程成立的未知數(shù)的值稱為分式方程的解。注意：當未知數(shù)的值使得分式方程中的分母為0時，分式方程無解。例題
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] 若x=5是分式方程的根，則（） A．a=﹣5B．a=5C．a=﹣9D．a=9
【參考答案】D
【題目解析】
解：把x=5代入原方程得：
【學有所獲】
解得：a=9
遇到“x=n為方程的解”此類題目，把未知數(shù)x的值 ，解出便可。
[學有所獲答案]代入原方程
[分式方程的解] [難度： ★★ ] （2014年廣州市海珠區(qū)期末考試） 已知關于x的方程
，
當m滿足什么條件時，方程的解為正數(shù)？
【參考答案】解：去分母，得m=x（x－2）－（x－1）（x＋1） 解得，
由題得，
解得：m＜1，
又∵x=－1或x=2時，原分式方程無解，
∴且，
【題目解析】
【思維對話】
∴m≠3且m≠－3，綜上可得m＜1且m≠－3。
解：去分母，得m=x（x－2）－（x－1）（x＋1） 解得，
由題得，
解得：m＜1，
又∵x=－1或x=2時，原分式方程無解，
∴ 且 ，
∴m≠3且m≠－3，綜上可得m＜1且m≠－3。
常見思維障礙點：①學生分不清楚何為未知數(shù)，何為常數(shù)；
②學生不會計算含有參數(shù)的方程；
③學生容易忘記最后結果的檢驗思維障礙點突破方法：
注意題目中“關于…的方程”等字眼，從而確定未知數(shù)；
可先把題目中的待定參數(shù)變成數(shù)字，讓學生計算，接下來再引導學生解本題，從而歸納出此類題型的解法便是“把題目中的參數(shù)a當成數(shù)字去解題的思想”；
要在講解過程中引導學生養(yǎng)成“遇到分式方程必須檢驗”的解題習慣。
【學有所獲】
遇到此類題目，把 解方式方程，最后方程的解是 ；
根據(jù)題意列出關于參數(shù)的方程或不等式，解出參數(shù)的值或取值范圍；
要注意最后結果的 。
[學有所獲答案]
（1）參數(shù)當數(shù)字；含參數(shù)的代數(shù)式
（3）檢驗
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 若關于x的方程無解，試確定a的值．
【參考答案】a=1或a=2
【題目解析】
解：去分母，得：ax=x－2＋4 解得：
當a=1時，無解，故原分式方程無解；
當x=2，即時，最簡公分母x－2=0，此時原分式方程無解，
∴a=1或a=2時，原分式方程無解。
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[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] 若關于x的方程的解為x=4，則m=（）
A．3B．4C．5D．6
【參考答案】A
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] 關于x的分式方程的解為正數(shù)，則字母a的取值范圍為（） A．a≥－1B．a＞－1C．a≤－1D．a＜－1
【參考答案】B
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] （2016年涼山州市中考） 關于x的方程無解，則m的值為（）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
【參考答案】A
【題目解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，
由分式方程無解，得到x+1=0，即x=﹣1， 代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，
解得：m=﹣5， 故選A
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] （2016年賀州市中考） 若關于x的分式方程的解為非負數(shù)，
則a的取值范圍是（）
A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4
【參考答案】C
【題目解析】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2， 解得：x=，
由題意得：≥0且 ≠2， 解得：a≥1且a≠4，
故選：C．
導學三 ： 分式方程的應用
知識點講解 1： 行程問題
行程問題有關等量關系：路程=速度×時間時間=路程÷速度
速度=路程÷時間注意：1、要注意單位的統(tǒng)一；
2、速度快的一方用時少。
例題
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2016年） 穿越青海境內的蘭新高鐵極大地改善了沿線人民的經(jīng)濟文化生活，該鐵路沿線甲，乙兩城市相距480km，乘坐高鐵列車比乘坐普通快車能提前4h到達，已知高鐵列車的平均行駛速 度比普通列車快160km/h，設普通列車的平均行駛速度為xkm/h，依題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【參考答案】B
【題目解析】解：設普通列車的平均行駛速度為xkm/h，則高鐵列車的平均速度為（x+160）km/h， 根據(jù)題意，可得： ，
故選：B．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年廣州市中考） 從廣州某市，可乘坐普通列車或高鐵，已知高鐵的行駛路程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍．
求普通列車的行駛路程；
若高鐵的平均速度（千米/時）是普通列車平均速度（千米/時）的2.5倍，且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所 需時間縮短3小時，求高鐵的平均速度．
【參考答案】
解：（1）根據(jù)題意得：
400×1.3=520（千米），
答：普通列車的行駛路程是520千米；
（2）設普通列車平均速度是x千米/時，根據(jù)題意得：
，
【思維對話】
【學有所獲】
解得：x=120，
經(jīng)檢驗x=120是原方程的解，
則高鐵的平均速度是120×2.5=300（千米/時）， 答：高鐵的平均速度是300千米/時．
常見思維障礙點：①學生不熟悉行程問題中“路程、速度與時間”的關系；
②學生不會用方程表示題目中的時間差；
③學生分不清楚速度快、慢用時長短的關系；
④學生容易忘記檢驗。思維障礙點突破方法：
讓學生列出路程、速度與時間三者之間的等量關系及各種變式；
引導學生根據(jù)題意設未知數(shù)；
引導學生用列表法把題目中關鍵的等量關系列出來，如：
舉具體數(shù)量的問題，引導學生得出速度快的一方用時少，再根據(jù)題意列出兩張列車所用時間的方程；
強調分式方程實際應用題必須檢驗。
行程問題，首先要熟悉基本等量關系：時間= ；速度= ；路程
= ；
用 把速度、時間、路程表示出來；
根據(jù)題意列方程，注意 。
[學有所獲答案]
路程÷速度；路程÷時間；速度×時間
列表法
檢驗和作答
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 如圖，小明家、王老師家、學校在同一條路上．小明家到王老師家路程為3km， 王老師家到學校的路程為0.5km，由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接 小明上學，已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎 自行車的速度各是多少km/h？
【參考答案】王老師的步行速度為5 km/h；騎自行車的速度為15 km/h.
【題目解析】
解：設王老師步行的速度為x km/h，則騎自行車的速度為3x km/h，由題意得：
解得x=5，
經(jīng)檢驗x=5為原分式方程的解，
∴王老師騎自行車的速度為：5×3=15（km/h/）
答：王老師的步行速度和騎自行車的速度分別為5 km/h和15 km/h。
我愛展示
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] 甲乙兩地相距75千米，從甲地到乙地貨車所用時間比小車所用時間多
15分鐘，已知小車每小時比貨車多行駛20千米，求兩車的速度各為多少？設貨車的速度為x千米/時，依題意列方程正確 的是().
A. B. C. D.
【參考答案】D
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（）
A． B． C． D．
【參考答案】A
【題目解析】解：順流時間為：；逆流時間為： ． 所列方程為：
故選A．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年廣州市越秀區(qū)期末） 一輛汽車開往距離出發(fā)地320km的目的地，出發(fā)后第一小時內按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.2倍勻速行駛，并比原計劃提前30min到達目的地，求前 一小時的汽車行駛速度．
【參考答案】
【學有所獲】
解：設前一個小時的平均行駛速度為x千米/時．依題意得：
，
解得：x=80．
經(jīng)檢驗：x=80是分式方程的解．
答：前一個小時的平均行駛速度為80千米/小時．
提前到的用時 ；
注意單位要 。
[學有所獲答案]
少
統(tǒng)一
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 婁底到長沙的距離約為180km，小劉開著小轎車，小張開著大貨車，都從婁底去長沙，小劉比小張晚出發(fā)1小時，最后兩車同時到達長沙，已知小轎車的速度是大貨車速度的1.5倍．
求小轎車和大貨車的速度各是多少？（列方程解答）
當小劉出發(fā)時，求小張離長沙還有多遠？
【參考答案】（1）小轎車的速度為90km/h，大貨車的速度為60km/h；（2）120千米
【題目解析】
解：（1）設大貨車的速度為x km/h，則小轎車的速度為1.5x km/h，由題意得：
解得：x=60
經(jīng)檢驗：x=60是原分式方程的解且符合題意，
∴ 1.5x=90
答：小轎車的速度為90km/h，大貨車的速度為60km/h。
（2）由（1）得大貨車的速度為60km/h，
∴ 180÷60=3（ 小 時 ） 60×（3-1）=120（千米）
答：小劉出發(fā)時，小張離婁底還有120千米。
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年廣州市番禺區(qū)期末） 為了“綠色出行”，減少霧霾，家住番禺在廣州中心城區(qū)上班的王經(jīng)理，上班出行由自駕車改為乘坐地鐵出行，已知王經(jīng)理家距上班地點21千米，他用地鐵方式平均每 小時出行的路程，比他用自駕車平均每小時行駛的路程的2倍還多5千米，他從家出發(fā)到達上班地點，地鐵出行所用時間 是自駕車方式所用時間的 ．求王經(jīng)理地鐵出行方式上班的平均速度．
【參考答案】解：設自駕車平均每小時行駛的路程為xkm，則有：
， 解得：x=15，
經(jīng)檢驗得：x=15是原方程的解，
則地鐵速度為：15×2+5=35（km/h），
答：王經(jīng)理地鐵出行方式上班的平均速度為35km/h．
知識點講解 2： 工程問題
工程問題有關等量關系：工作總量=工作效率×工作時間
工作時間=工作總量÷工作效率工作效率=工作總量÷工作時間
注意：1、未知具體工作總量問題常常設工作總量為單位“1”；
2、注意單位的統(tǒng)一性
例題
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年東莞市中考） 有一項工程，若甲隊單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，若乙隊單獨做要超過規(guī)定日期3天完成；現(xiàn)在先由甲、乙兩隊合做2天后，剩下的工程再由乙隊單獨做，也剛好在規(guī)定日期 完成，問規(guī)定日期多少天？
【參考答案】
【思維對話】
解：設工作總量為單位“1”，規(guī)定日期為x天，則若單獨做，甲隊需x天，乙隊需（x+3）天，由題意得：
，
解方程可得x=6，
經(jīng)檢驗x=6是分式方程的解． 答：規(guī)定日期是6天．
常見思維障礙點：
①學生不熟悉工程問題中“工作總量、工作時間與工作效率”之間的關系；
②學生對題目中的多個條件理解得不清晰；
③題目中是兩者共同完成一項工程，學生難以用方程表示出兩者的工作時間、工作總量間的等量關系； 思維障礙點突破方法：
讓學生列出工作總量、工作效率和工作時間三者之間的等量關系及各種變式；
引導學生根據(jù)題意設未知數(shù)；
對于讀題能力較弱或容易被題目中多個條件“繞暈”的學生，可以這樣引導學生答題：
①先和學生一起讀題，讓他把他認為重要的字句在題目中標記出來， 詢問學生：
（ ）這項工程中，你能告訴我甲、乙兩隊的工作效率分別是？甲隊實際工作時間是？乙隊的實際工作時間是？讓學生思考，若學生回答不出來，老師應該適當?shù)亟o予提示，盡量去引導學生把他自己可以得到 的條件都說出來；
（ ）工作總量= × ？
這樣逐步引導學生用列表法把題目中關鍵的等量關系列出來，如：
【學有所獲】
②列出表格后，可提問學生：甲隊的工作量+乙隊的工作量= ？
引導學生列出方程，并強調分式方程實際應用題必須檢驗。
工程問題，首先要熟悉基本等量關系：工作總量= ；工作時間
= ；工作效率= ；（填工作總量、工作時間、工作效率）
用 把速度、時間、路程表示出來；
根據(jù)題意列方程，注意要 。
[學有所獲答案]
工作效率×工作時間；工作總量÷工作效率；工作總量÷工作時間
列表法
檢驗和作答
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年廣州市蘿崗區(qū)期末） 某項工程，甲工程隊先做20天后，由于另有任務，由乙工程隊接替，結果乙工程隊做50天恰好完成任務，已知乙隊單獨完成任務的時間是甲隊的2.5倍，那么：
甲隊單獨做需要多少天才能完成任務？
若甲工程隊先做x天后，由乙隊接替，結果乙隊再做y天數(shù)恰好完成任務，其中x、y都是正整數(shù)，且甲隊做的時間不 超過15天，乙隊做的時間不到70天，那么兩隊各做了多少天？
【參考答案】（1）40天；（2）甲隊做了14天，乙隊做了65天
【題目解析】
解：（1）設此工程工作總量為單位“1”，甲隊單獨做需要a天，則乙隊單獨做需要2.5a天，由題可得： ，
解得a=40，
經(jīng)檢驗：a=40是原分式方程的解且符合題意， 答：甲隊單獨做需要40天才能完成任務。
，
∴
（2）由（1）可得甲隊完成此項工程需要40天，乙隊單獨完成此項工程需要100天，由題可得：
∵ y＜70
∴，
∴ x ≥12
∴12≤x≤15，又x為正整數(shù)，
∴x=12或13或14，
當x=12時，y=70，不合題意，舍去； 當x=13時，y不是正整數(shù)，舍去；
當x=14時，y=65，符合題意；
答：甲隊做了14天，乙隊做了65天。
我愛展示
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年廣州市黃埔區(qū)期末） 甲、乙兩班學生參加植樹造林．已知甲班每天比乙班少植2棵樹，甲班植60棵樹所用天數(shù)與乙班植70棵樹所用天數(shù)相等．若設甲班每天植樹x棵，則根據(jù)題意列 出方程正確的是（）
A． B. C. D.
【參考答案】B
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年廣州市白云區(qū)期末） 學校圖書館新購買了一批圖書，管理員計劃用若干個工作日完成這批圖書的登記、歸類與放置工作．管理員做了兩個工作日，從第三日起，二（1）班陳浩同學作為志愿 者加盟此項工作，且陳浩與管理員工效相同，結果提前3天完成任務．求管理員計劃完成此項工作的天數(shù)．
【參考答案】8天
【題目解析】
解：設管理員計劃用x天完成此項工作，由題意得：
，
解得x=8，
經(jīng)檢驗：x=8是分式方程的解且符合題意
答：管理員計劃完成此項工作的天數(shù)為8天。
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年廣州市荔灣區(qū)期末） 甲、乙兩人加工同一種機器零件，甲比乙每小時多加工10個零件，甲加工150個零件所用的時間與乙加工120個零件所用時間相等，求甲、乙兩人每小時各加工多少個機 器零件？
【參考答案】
解：設乙每小時加工機器零件x個，則甲每小時加工機器零件（x+10）個， 根據(jù)題意得：，
x+10=40+10=50．
答：甲每小時加工50個零件，乙每小時加工40個零件．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年梅州市中考） 某校為美化校園，計劃對面積為1800m2的區(qū)域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨立完成 面積為400m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天．
求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少m2？
若學校每天需付給甲隊的綠化費用為0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安 排甲隊工作多少天？
【參考答案】（1）甲隊每天可完成綠化面積100 m2，乙隊每天可完成綠化面積50 m2；（2）10天
【題目解析】
解：（1）乙隊每天完成的綠化面積為x m2，則甲隊每天完成的綠化面積為2x m2，由題可得： ，
解得x=50，
經(jīng)檢驗：x=50是分式方程的解且符合題意，
∴ 2x=100
答：甲隊每天可完成綠化面積100 m2，乙隊每天可完成綠化面積50 m2。
（2）設至少安排甲隊工作y天，由題可得：
， 解得y≥10，
答：至少要安排甲隊工作10天。
知識點講解 3： 經(jīng)濟類問題
經(jīng)濟類問題有關等量關系：進貨數(shù)量=進貨成本÷進價總利潤=（售價－進價）×銷售量；
利潤率= ×100%．
例題
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年廣州市期末區(qū)期末） 春節(jié)前，某玩具商店根據(jù)市場調查，用2500元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用4500元購進第二批這種玩具，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進價 多了10元。
求第一批玩具每套的進價是多少元？
如果這兩批玩具每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%，那么每套售價至少是多少元？
【參考答案】
解：（1）設第一批玩具每套的進價為x元，則第二批玩具每套的進價為（x+10）元，由題意得：
，
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年臺州市中考） 某商店第一次用600元購進某品牌的筆記本若干本，第二次又用600元購進同樣品牌的筆記本，但這次每本的進價是第一次的 ，購進數(shù)量比第一次少了30本．
求第一次每本筆記本的進價是多少元？
商店以同一價格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每本筆記本的售價至少多少元？
【參考答案】（1）4元；（2）6元
【題目解析】
解：（1）設第一次每本筆記本的進價為x元，則第二次每本筆記本的進價為 元，由題可得； 根據(jù)題意得，，
解得x=4，經(jīng)檢驗x=4是原方程的解． 答：第一次每本筆記本的進價為4元；
（2）第一次買進筆記本150本，第二次買進筆記本120本，共270本． 設 每 本 筆 記 本 的 售 價 為 y 元 ， 根 據(jù) 題 意 得 ， 270y﹣600×2≥420，∴y≥6，
答：每本筆記本的售價至少為6元．
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[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年曲靖市一模） 今年是揚州城慶2500周年，東關歷史街區(qū)某商鋪用3000
元批發(fā)某種城慶旅游紀念品銷售，由于銷售狀況良好，該商鋪又籌集9000元資金再次批進該種紀念品，但這次的進價比 第一次的進價提高了20%，購進的紀念品數(shù)量是第一次的2倍還多300個，如果商鋪按9元/個的價格出售，當大部分紀念品 售出后，余下的600個按售價的8折售完．
該種紀念品第一次的進貨單價是多少元？
該商鋪銷售這種紀念品共盈利多少元？
【參考答案】（1）5元；（2）5820元
解：（1）設該種紀念品第一次的進貨單價是x元，則第二次進貨單價是（1+20%）x元， 由題意，得，
解得x=5，
經(jīng)檢驗x=5是方程的解．
答：該種紀念品第一次的進貨單價是5元；
（2）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：商鋪銷售這種紀念品共盈利5820元．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 上海世博會開館前，某禮品經(jīng)銷商預測甲、乙兩種禮品能夠暢銷，用16500元購進了甲種禮品，用44000元購進了乙種禮品，由于乙種禮品的單價是甲種禮品單價的4倍，實際購得甲種禮品的數(shù)量比乙 種禮品的數(shù)量多100個．
求購進甲、乙兩種禮品的單價各多少元？
如果要求每件商品在銷售時的利潤為20%，那么甲、乙兩種禮品每件的售價各是多少元？
在（2）的條件下，如果甲種禮品的進價降低了，但售價保持不變，從而使銷售甲種禮品的利潤率提高了5%，那么 此時每個甲種禮品的進價是多少元？（直接寫出結果）（利潤=售價﹣進價，利潤率=×100%．）
【參考答案】（1）甲、乙兩種禮品的單價分別為55元和220元；（2）甲、乙兩種禮品的售價分別為66元和264元；
（3）52.8元
【題目解析】
解：（1）設購進甲種禮品的單價為x元，則購進乙種禮品的單價為4x元， 由題意得： ，
解這個方程，得：x=55，
經(jīng)檢驗，x=55是所列方程的根．4x=220．
所以購進甲、乙兩種禮品的單價分別為55元和220元．
（2）∵55×20%=11，220×20%=44，
∴55+11=66（元），220+44=264（元），
所以甲、乙兩種禮品的售價分別為66元和264元．
設每個甲種禮品的進價是x元，根據(jù)題意得出：
x（1+25%）=66，解得：x=52.8，
答：此時每個甲種禮品的進價是52.8元．
限時考場模擬 ：
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] 下面是四位同學解方程過程中去分母的一步，其中正確的是()
A．2＋x＝x－1B．2－x＝1C．2＋x＝1－xD．2－x＝x－1
【參考答案】D
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2014年廣州市天河區(qū)期末）“十一”期間，幾名同學包租一輛面包車去旅游，面包車的租價為元，出發(fā)時又增加了兩名同學，結果只能包租較大的中巴車，租價為 元，但原先幾位同學并沒有增加平攤車費.設參加游覽的同學共 人，則所列方程正確的是
A． B． C．D．
【參考答案】D
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 分式方程的解是 ．
【參考答案】x=1
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 若關于x的方程無解，則a的值是 ．
【參考答案】1或2
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 解方程：．
【參考答案】x=3
[分式方程的解] [難度： ★★ ]解方程：
【參考答案】
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 某公司研發(fā)900件新產品，需要精加工后才能投放市場.現(xiàn)在甲、乙兩個工廠加工這批產品，已知甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用9天，而乙工廠每天加工的件數(shù)是甲工 廠每天加工件數(shù)的1.25倍，公司需要付甲工廠加工費用每天100元，乙工廠加工費用每天125元.
甲、乙兩個工廠每天各加工多少件新產品；
兩個工廠同時共同加工完成這批產品，共需付加工費多少元？
【參考答案】（1）甲工廠每天加工新產品20件，乙工廠每天加工新產品25件；（2）4500元
【題目解析】
解：（1）甲工廠每天加工新產品x件，則乙工廠每天加工新產品1.25x件，由題意得：
解得：x=20，
經(jīng)檢驗：x=20是原分式方程的解且符合題意，
∴ 1.25x=25
答：甲工廠每天加工新產品20件，乙工廠每天加工新產品25件。
（2）900÷（20+25）=20（天）
（100+125）×20=4500（元）
答：兩個工廠同時共同加工完成這批產品，共需付加工費4500元。
課后作業(yè)
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] （2015年路南區(qū)一?？荚嚕?分式方程的解為（）
－2B. 2C. 0D. 無解
【參考答案】D
[單選題] [分式方程的解] [難度： ★★ ] 關于的分式方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（） A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠0C．a＜﹣1D．a＜﹣1且a≠﹣2
【參考答案】D
[單選題] [分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年深圳市中考） A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/ 時，則可列方程（）
A． B． C． D．
【參考答案】A
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 若代數(shù)式和 的值相等，則x= ．
【參考答案】x=7
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 若關于x的分式方程 的解為正數(shù)，那么字母a的取值范圍是 ．
【參考答案】a＞1且a≠2
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 解方程：．
【參考答案】
[解分式方程] [難度： ★★ ] 解分式方程：.
【參考答案】a=－2
[分式方程的解] [難度： ★★ ] 當x為何值時，分式的值比分式的值大3？
【參考答案】
解：由題意得：
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 雅安地震發(fā)生后，紅星中學的師生立刻行動起來，為災區(qū)開展了捐款活動.統(tǒng)計顯示全校教師共為災區(qū)捐款10800元，全校學生共為災區(qū)捐款54000元.已知學生的人數(shù)是教師人數(shù)的10倍，教師人均捐款 比學生人均捐款多60元.試求紅星中學共有師生多少名？
【參考答案】教師90人，學生900人
【題目解析】
解：設紅星中學教師人數(shù)為x人，則學生人數(shù)為10x人，由題意得：
， 解得：x=90，
經(jīng)檢驗：x=90是分式方程的解，
∴10x=900
答：紅星中學共有教師90人，學生900人。
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年廣州市海珠區(qū)期末考試） 某廠準備加工700個零件，在加工完畢200個零件以后，采取了新技術，使每天的工作效率是原來的2倍，結果共用9天完成任務，求該廠原來每天生產多少個零件？
【參考答案】解：設該廠原來每天加工x個零件，采取了新技術后每天加工2x個零件，根據(jù)題意得：
解得：x=50，
經(jīng)檢驗得x=50是原方程的解，
答：該廠原來每天加工50個零件．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 某地電話公司調低了長途電話的話費標準，每分鐘費用降低了25%，因此按原收費標6元話費的通話時間，在新收費標準下可多通話5分鐘時間，問前后兩種收費標準每分鐘收費各是多少？
【參考答案】原收費標準為0.4元/分鐘，新收費標準為0.3元/分鐘
【題目解析】
解：設原收費標準為x元/分鐘，則新收費標準為（1－25%）x 元/分鐘，由題意得：
，
解得：x=0.4，
經(jīng)檢驗：x=0.4是分式方程的解，
∴（1-25%）x=0.3
答：原收費標準為0.4元/分鐘，新收費標準為0.3元/分鐘。
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年寧波中考） 寧波火車站北廣場將于2015年底投入使用，計劃在廣場內種植A，B兩種花木共6600棵，若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍少600棵。
A，B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵？
如果園林處安排26人同時種植這兩種花木，每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵，應分別安排多少人種植A花木 和B花木，才能確保同時完成各自的任務？
【參考答案】（1）A種花木有4200棵，B種花木有2400棵；（2）安排14人種植A種花木，12人種植B種花木
【題目解析】
解得：
解：（1）設有a棵A種花木，有b棵B種花木，由題意得：
答：A種花木有4200棵，B種花木有2400棵。
（2）設安排x人種植A花木，則安排（26－x）人種植B花木，由題意得：
，
解得：x=14，
經(jīng)檢驗：x=14是分式方程的解，
∴26-x=12
答：應安排14人種植A種花木，12人種植B種花木。
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 學校新到一批理、化、生實驗器材需要整理，若實驗管理員李老師一人單獨整理需要40分鐘完成.現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后，李老師因事外出，王師傅再單獨整理了20分鐘才完成任 務.
王師傅單獨整理這批實驗器材需要多少分鐘完成？
學校要求王師傅的工作時間不能超過30分鐘，要完成整理這批器材，李老師至少要工作多少分鐘？
【參考答案】（1）80分鐘；（2）至少要工作25分鐘
【題目解析】
解：（1）設王師傅單獨整理這批實驗器材需要x分鐘，由題意得：
，
解得：x=80，
經(jīng)檢驗：x=80是分式方程的解，
答：王師傅單獨整理完這批實驗器材需要80分鐘。
（2）設李老師工作了y分鐘，由題可得：
， 解得：y≥25，
答：李老師至少要工作25分鐘。
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] （2015年朝陽區(qū)一?？荚嚕?列方程或方程組解應用題：
為了迎接北京和張家口共同申辦及舉辦2020年冬奧會，全長174千米的京張高鐵于2014年底開工．按照設計，京張高 鐵列車從張家口到北京最快用時比最慢用時少18分鐘，最快列車時速是最慢列車時速的 倍，求京張高鐵最慢列車的速度是多少？
【參考答案】180千米/時
【題目解析】
解：設京張高鐵最慢列車的速度是x千米/時． 由題意，得，
解得x=180．
經(jīng)檢驗，x=180是原方程的解，且符合題意． 答：京張高鐵最慢列車的速度是180千米/時．
[分式方程的應用] [難度： ★★ ] 煙臺享有“蘋果之鄉(xiāng)”的美譽．甲、乙兩超市分別用3000元以相同的進價購進質量相同的蘋果．甲超市銷售方案是：將蘋果按大小分類包裝銷售，其中大蘋果400千克，以進價的2倍價格銷售，剩下 的小蘋果以高于進價10%銷售．乙超市的銷售方案是：不將蘋果按大小分類，直接包裝銷售，價格按甲超市大、小兩種蘋 果售價的平均數(shù)定價．若兩超市將蘋果全部售完，其中甲超市獲利2100元（其它成本不計）．問：
蘋果進價為每千克多少元？
乙超市獲利多少元？并比較哪種銷售方式更合算．
【參考答案】（1）每千克5元；（2）乙超市獲利1650元，甲超市銷售方案更合算
【題目解析】
解：（1）設蘋果進價為每千克x元，根據(jù)題意得： 400x+10%x（ ﹣400）=2100，
解得：x=5，
經(jīng)檢驗x=5是原方程的解， 答：蘋果進價為每千克5元．
（2）由（1）得，每個超市蘋果總量為：=600（千克），
大、小蘋果售價分別為10元和5.5元，
則乙超市獲利600×（ ﹣5）=1650（元），
∵甲超市獲利2100元，
∵2100＞1650，
∴甲超市銷售方案更合算．
1、課后要按時完成作業(yè)，完成錯題的收集與復習；
2、復習分式方程實際應用幾大類型的有關等量關系；
3、調整心態(tài)，做好期末復習準備。