專題02一元二次方程（13個考點(diǎn)）【知識梳理 解題方法 專題過關(guān)】-八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（滬教版）

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專題02一元二次方程（13個考點(diǎn)）【知識梳理+解題方法】一．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當(dāng)a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程-直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．五．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．六．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進(jìn)行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．八．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．九．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．十．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．十一．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．十二．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．十三．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．     【專題過關(guān)】一．一元二次方程的定義（共1小題）1．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（　　）A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0二．一元二次方程的一般形式（共6小題）2．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（　?。?/span>A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，23．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項，則m　   　，n＝　   　．4．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化為一般形式后二次項系數(shù)是 　   　，一次項是 　   　．5．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常數(shù)項是0，則a＝　   　．6．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）若一元二次方程x2﹣ax＝2a﹣1的各項系數(shù)的和為，則a＝　   　．7．（2021秋?楊浦區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常數(shù)項為0，則m＝　   　．三．一元二次方程的解（共2小題）8．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一個根，那么代數(shù)式2m2﹣6m的值為 　   　．9．（2021秋?徐匯區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一個根是0，則m的值是　   　．四．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）10．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）方程的解是 　   　．五．解一元二次方程-配方法（共3小題）11．（2021秋?松江區(qū)期末）用配方法解方程：．   12．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）用配方法解方程：．   13．（2021秋?徐匯區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．    六．解一元二次方程-公式法（共3小題）14．（2021秋?普陀區(qū)期末）解方程：（2x﹣1）2＝x2+5．   15．（2021秋?浦東新區(qū)期末）解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．   16．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）解方程：+﹣2＝0．    七．解一元二次方程-因式分解法（共6小題）17．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）方程2x2＝x的根是 　   　．18．（2021秋?普陀區(qū)期末）方程x2+x＝0的根是　   　．19．（2021秋?松江區(qū)期末）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2（x+1）的根是　   　． 20．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）解方程：3x﹣＝2．   21．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）解關(guān)于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．   22．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．    八．換元法解一元二次方程（共7小題）23．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，則x2+y2＝　   　．24．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）+6＝0，則x2+y2＝　   　．25．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，則x2+y2＝　   　．26．（2021秋?金山區(qū)校級期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．   27．（2021秋?黃浦區(qū)期中）解方程：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．   28．（2021秋?普陀區(qū)期中）解方程：（x﹣1）2+6（x﹣1）+8＝0．   29．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）解方程：（x+1）2﹣4（x+1）＝5．    九．根的判別式（共7小題）30．（2021秋?普陀區(qū)期末）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（　　）A．x2＝1 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣2x+4＝0 D．x2﹣2x+1＝031．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）如果關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是 　   　．32．（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是 　   　．33．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m+4）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是　   　．34．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2+4＝0．（1）如果方程的根的判別式的值為4，求k的值；（2）如果方程有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍．     35．（2021秋?徐匯區(qū)期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2+（m﹣2）x+2＝0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及方程的根．     36．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．    一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）37．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）若a、b滿足a2﹣4a+2＝0，2b2﹣4b+1＝0且ab≠1，則＝　   　．一十一．由實際問題抽象出一元二次方程（共3小題）38．（2021秋?松江區(qū)期末）某果園今年栽種果樹300棵，現(xiàn)計劃擴(kuò)大種植面積，使今后兩年的栽種量都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)，這樣三年（包括今年）的總栽種量為2100棵．若這個百分?jǐn)?shù)為x．則由題意可列方程為（　?。?/span>A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝210039．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，陰影部分是一塊長方形的草坪，草坪的長是8米，寬是5米，在草坪的四周準(zhǔn)備修建等寬的道路，道路和草坪的總面積為70平方米．如果設(shè)道路的寬為x米，那么根據(jù)題意可列方程為 　   　．40．（2021秋?浦東新區(qū)期末）隨著網(wǎng)絡(luò)購物的興起，增加了快遞公司的業(yè)務(wù)量．一家今年剛成立的小型快遞公司業(yè)務(wù)量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快遞件數(shù)分別是20萬件和24.2萬件，若該公司每月投送的快遞件數(shù)的平均增長率是x，由題意列出關(guān)于x的方程：　   　．一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共3小題）41．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）某商品由于連續(xù)兩次降低成本，使成本比原來降低了36%，則平均每次降低成本 　   　（填百分?jǐn)?shù)）． 42．（2021秋?徐匯區(qū)期末）某商場今年8月的營業(yè)額為400萬元，9月份營業(yè)額比8月份增加10%，11月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元，求9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率．    43．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）如圖，用總長為80米的籬笆，在一面靠墻的空地上圍成如圖所示的花圃ABCD，花圃中間有一條2米寬的人行通道，園藝師傅用籬笆圍成了四個形狀、大小一樣的鮮花種植區(qū)域，鮮花種植總面積為192平方米，花圃的一邊靠墻，墻長20米，求AB和BC的長．    一十三．配方法的應(yīng)用（共4小題）44．（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）將化成a（x+b）2+c（a≠0）的形式 　   　．45．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知y＝，無論x取任何實數(shù)，這個式子都有意義，試求c的取值范圍　   　．46．（2018秋?楊浦區(qū)期中）配方：　   　＝（x﹣　   　）2．47．（2018秋?浦東新區(qū)期中）x2﹣5x+　   　＝（x﹣　   　）2．