09 【人教版】八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份09 【人教版】八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷（含答案），共24頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1. 在下列各電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列線段能構(gòu)成三角形的是（　?。?br /> A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，2，3 D. 2，3，6
3.如圖，過(guò)△ABC頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A. B. C. D.
4.如圖，直線AB∥ CD，∠ B=50°，∠ C=40°，則∠E等于（　　 ）

A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
5.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是（ ）邊形．
A. 三 B. 四 C. 五 D. 六
6.如圖，若△ABC≌△DEF，則∠E為( )

A. 30° B. 70° C. 80° D. 100°
7.如圖，將△ABC沿AC對(duì)折，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，則全等的三角形有（ ）

A. 4對(duì) B. 3對(duì) C. 2對(duì) D. 1對(duì)
8. 如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)之和為（　　）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
9.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC-BE=AE；②點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
10.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4,0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11.已知點(diǎn)P（-2，3），關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．
12.若正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是__________．
13.等腰三角形一腰上高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)_____．
14.如圖,點(diǎn)B在∠DAC的平分線AE上,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ,使△ABD≌△ABC.(只填一個(gè)即可)

15.如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，則點(diǎn)M到BC的距離_______．

16.四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為_(kāi)______

三、解答題（本題有8個(gè)小題，共72分）
17.如圖,已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上,AB∥DE, AC∥DF, BE＝CF.
求證： AC＝DF.

18.如圖，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分別為C，B，AB，CD相交于點(diǎn)O，AB=DC．求證：OB=OC．

19.已知，如圖△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC．并求∠B的度數(shù)．

20.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求證：AD⊥EF．

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中

（1）做出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的,并求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）計(jì)算△ABC的面積；
（3）x軸上畫點(diǎn)P，使PA+PC最小．
22.如圖，△ABC等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．

（1）求∠BFD的度數(shù)；
（2）作出AD的垂線段BH，若EF=2，F(xiàn)H=4，求出AD的長(zhǎng)度．
23.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分別在BC，CA上，AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．

24.如圖1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM．
（1）求證：BE=AD；并用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，取AD，BE中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．



八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析卷）
一、選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1. 在下列各電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
試題分析：關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形叫軸對(duì)稱圖形．
只有C沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，是軸對(duì)稱圖形
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形．
2. 下列線段能構(gòu)成三角形的是（　?。?br /> A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，2，3 D. 2，3，6
【答案】B
【解析】
試題分析：A、2+2=4，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、3、4、5，滿足任意兩邊之和大于第三邊，能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)正確；
C、1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、2+3＜6，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系．
3.如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高，根據(jù)概念即可得出.
【詳解】根據(jù)定義可得A是作BC邊上的高，C是作AB邊上的高，D是作AC邊上的高.
故選A.
考點(diǎn)：三角形高線的作法
4.如圖，直線AB∥ CD，∠ B=50°，∠ C=40°，則∠E等于（　　 ）

A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
【答案】C
【解析】
【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠B=50°，
由三角形的內(nèi)角和定理可得∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°，
故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)．
5.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是（ ）邊形．
A. 三 B. 四 C. 五 D. 六
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與多邊形的外角和為360°，列方程解答．
【詳解】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意列方程得，（n-2）?180°=360°，
n-2=2，
n=4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是利用多邊形的內(nèi)角和公式并熟悉多邊形的外角和為360°．
6.如圖，若△ABC≌△DEF，則∠E為( )

A. 30° B. 70° C. 80° D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠D、∠F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【詳解】∵△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠C=30°，
∴∠D=∠A=70°，∠F=∠C=30°，∠E=∠B，
∴∠E=180°-∠D-∠F=80°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
7.如圖，將△ABC沿AC對(duì)折，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，則全等的三角形有（ ）

A. 4對(duì) B. 3對(duì) C. 2對(duì) D. 1對(duì)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)全等三角形的判定解答即可．
【詳解】將△ABC沿AC對(duì)折，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，則全等的三角形有△ABD≌△AED，△ABC≌△AEC，△BDC≌△EDC,
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
8. 如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)之和為（　?。?br />
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
試題分析：由折疊特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根據(jù)△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)求解．
解：將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，
由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°
∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，

∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)=2×3=6．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角邊相等．
9.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC-BE=AE；②點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】∵
∴
∵BE平分
∴
∴
∴
∴，則①正確
∵
∴點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上，則②正確
∵
∴
∵
∴
∴，則③正確
∵
∴，則④錯(cuò)誤
綜上，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
10.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4,0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得到，然后分類討論：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，確定C點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，2）、B（4，0）．
∴，
①若AC=AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)（含B點(diǎn)），即（0，0）、（4，0）、（0，4），
∵點(diǎn)（0，4）與直線AB共線，
∴滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；
②若BC=AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；
③若CA=CB，作AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；
綜上所述：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有5個(gè)．
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主考查了等腰三角形的判定以及分類討論思想的運(yùn)用，分三種情況分別討論，注意等腰三角形頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11.已知點(diǎn)P（-2，3），關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
【詳解】點(diǎn)P（-2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3）．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
12.若正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是__________．
【答案】八（或8）
【解析】
分析：根據(jù)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，求出正多邊形的每一個(gè)外角，根據(jù)多邊形的外角和，即可求出正多邊形的邊數(shù).
詳解：根據(jù)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，
正多邊形的每一個(gè)外角為：
多邊形邊數(shù)為：
故答案為八.
點(diǎn)睛：考查多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和是解題的關(guān)鍵.
13.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】69°或21°
【解析】
分兩種情況討論：
①若∠A90°，如圖2所示：

同①可得：∠DAB=90°?48°=42°，
∴∠BAC=180°?42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= (180°?138°)=21°；
綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為69°或21°.
故答案為69°或21°.
14.如圖,點(diǎn)B在∠DAC的平分線AE上,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ,使△ABD≌△ABC.(只填一個(gè)即可)

【答案】∠C＝∠D或∠CBA＝∠DBA或∠CBE＝∠DBE或AC＝AD（只填一個(gè)即可）
【解析】
已知已經(jīng)有一對(duì)角和一條公共邊，所以再找一對(duì)邊或一對(duì)角就可以得到兩三角形全等
解：已經(jīng)有∠CAB=∠DAB，AB=AB，
再添加AC=AD，利用SAS證明；
或添加∠ABC=∠ABD，利用ASA證明；
或添加∠C=∠D，利用AAS證明．
（答案只要符合即可）．
故填A(yù)C=AD或∠ABC=∠ABD或∠C=∠D
15.如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，則點(diǎn)M到BC的距離_______．

【答案】4
【解析】
【分析】
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BM=ME，CM=EM，然后求出BM=CM，再求解即可．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于E，

∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴，
∴ME=4，
即點(diǎn)M到AD的距離為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16.四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為_(kāi)______

【答案】144°
【解析】
【分析】
根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【詳解】
解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．
∵四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°
∴∠DAB=108°，
∴∠AA′M+∠A″=72°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×72°=144°，
故填：144°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本題有8個(gè)小題，共72分）
17.如圖,已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上,AB∥DE, AC∥DF, BE＝CF.
求證： AC＝DF.

【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，由BE=CF可得BC=EF，運(yùn)用ASA證明△ABC與△DEF全等，從而可得出結(jié)果．
【詳解】證明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠DEF=∠B，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF (ASA)，
∴AC=DF．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明線段相等，通常證明它們所在的三角形全等．
18.如圖，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分別為C，B，AB，CD相交于點(diǎn)O，AB=DC．求證：OB=OC．

【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
已知AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，根據(jù)HL證明，得，即可證得
【詳解】∵，
∴，
和中

∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，本題利用HL證明兩個(gè)直角三角形全等，同時(shí)涉及了等角對(duì)等邊的知識(shí)點(diǎn)．
19.已知，如圖△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC．并求∠B的度數(shù)．

【答案】36°．
【解析】
試題分析：先設(shè)∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=BD可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根據(jù)AC=CD可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABD中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程，求出x的值即可．
試題解析：設(shè)∠B=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB=x，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，
∵AC=CD，
∴∠ADC=∠CAD=2x，
在△ACD中，∠C=x，∠ADC=∠CAD=2x，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
∴∠B=36°．
考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．
20.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求證：AD⊥EF．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
利用HL證明，即可解答.
【詳解】證明：∵，為的中點(diǎn)，
∴平分
又，
∴
在和中，

∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．
21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中

（1）做出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的,并求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）計(jì)算△ABC的面積；
（3）在x軸上畫點(diǎn)P，使PA+PC最小．
【答案】（1）；（2）2.5；（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)y軸對(duì)稱的性質(zhì)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變相反數(shù)，描出對(duì)稱點(diǎn)，然后連接各個(gè)點(diǎn)即可；
（2）利用格點(diǎn)把三角形補(bǔ)成矩形，在用矩形面積減去外面的三角形面積即可算出；
（3）先作A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱，PA=，PA+PC=+PC，連接C，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，PA+PC的最小值就是C的長(zhǎng)度，C和的連線與x軸的交點(diǎn)即是P點(diǎn)．
【詳解】解：（1）如圖所示：
（2）如圖，將補(bǔ)成矩形，則
，，，，，，，，





（3）如圖所示

【點(diǎn)睛】本題考查了作坐標(biāo)系中的對(duì)稱圖形，利用構(gòu)造法來(lái)求三角形面積和將軍飲馬的問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
22.如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．

（1）求∠BFD的度數(shù)；
（2）作出AD的垂線段BH，若EF=2，F(xiàn)H=4，求出AD的長(zhǎng)度．
【答案】（1）∠BFD=60°；（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)SAS證明△ABE≌△CAD得到，而，得到，從而得到∠BFD的度數(shù)；
（2）由（1）得∠BFD=60°，再利用直角三角形30°角性質(zhì)，推出BF=2FH=8，再根據(jù)AD=BE=BF+EF即可解決問(wèn)題；
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形
∴，
在和中

∴
∴
又
∴
在中，

即的度數(shù)為
（2）如圖所示：

由（1）知，
∴
∵
∴
中，
∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
23.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分別在BC，CA上，AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．

【答案】證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)AB到D，使BD=BP，連接PD，由題意得：∠D=∠5=∠4=∠C=40°，從而得QB=QC，易證△APD≌△APC，從而得AD=AC，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
【詳解】延長(zhǎng)AB到D，使BD=BP，連接PD，則∠D=∠5．
∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD與△APC中，

∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
∴AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)定理，添加合適的輔助線，構(gòu)造等腰三角形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．
24.如圖1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM．
（1）求證：BE=AD；并用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，取AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．

【答案】（1）α；（2）△CPQ為等腰直角三角形．證明見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析：（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根據(jù)∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；
（3）先根據(jù)SAS判定△ACP≌△BCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，進(jìn)而得到△PCQ為等腰直角三角形．
試題解析：(1)證明：如圖①，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE＝AD.
(2)解：如圖①，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE.
∵∠BAC＋∠ABC＝180°－α，
∴∠BAM＋∠ABM＝180°－α，
∴∠AMB＝180°－(180°－α)＝α.
(3)解：△CPQ為等腰直角三角形．
證明：如圖②，由(1)可得，BE＝AD.
∵AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，
∴AP＝BQ.
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ.在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴CP＝CQ且∠ACP＝∠BCQ.
又∵∠ACP＋∠PCB＝90°，
∴∠BCQ＋∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ為等腰直角三角形．
點(diǎn)睛：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的運(yùn)用．