2021-2022學(xué)年北京四十三中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷-（含解析）

這是一份2021-2022學(xué)年北京四十三中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷-（含解析），共21頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2021-2022學(xué)年北京四十三中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三總分得分     一、選擇題（本大題共10小題，共30分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A.  B.  C.  D. 下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊長(zhǎng)的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是A.  B.  C.  D. 下列運(yùn)算中正確的是A.  B.  C.  D. 如圖，是的中位線，若，則的長(zhǎng)為A.
B.
C.
D. 下列：：：的值中，能判定四邊形是平行四邊形的是A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：：如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．連接，若，，則的長(zhǎng)度是A.
B.
C.
D. 下列命題中是真命題的選項(xiàng)是A. 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
D. 三條邊都相等的四邊形是菱形如下圖，數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是
A.  B.  C.  D. 如圖，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，，如此進(jìn)行下去，得到四邊形下列結(jié)論正確的有
四邊形是矩形；
四邊形是菱形；
四邊形的周長(zhǎng)是；
四邊形的面積是．
A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè) 二、填空題（本大題共8小題，共21分） ______ ．在平行四邊形中，若，______．如圖，矩形的對(duì)角線，，則的長(zhǎng)為______．
  三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”，如圖所示，、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和四邊形都是正方形，如果，，那么四邊形的面積等于______．中國(guó)結(jié)，象征著中華民族的歷史文化與精致．小明家有一中國(guó)結(jié)掛飾，他想知道周長(zhǎng)，利用所學(xué)知識(shí)抽象出如圖所示的菱形，測(cè)得，，則菱形的周長(zhǎng)為______．
如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線對(duì)折，使它落在斜邊上，且與重合，的長(zhǎng)為______．如果表示、的實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．已知，如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，在上，且，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．
    三、解答題（本大題共10小題，共59分）計(jì)算：
；
．已知，，求代數(shù)式的值．已知：如圖，?中，，是，上兩點(diǎn)，且求證：．
九章算術(shù)中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)葭長(zhǎng)幾何．其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．丈尺
解決下列問(wèn)題：
示意圖中，線段的長(zhǎng)為______尺，線段的長(zhǎng)為______尺；
求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為，，，為格點(diǎn)．
判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
求邊上的高．

  閱讀材料，然后作答：
在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，有時(shí)會(huì)碰到形如，這一類(lèi)式子，通常進(jìn)行這樣的化簡(jiǎn)：，，這種把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化．還有一種方法也可以將進(jìn)行分母有理化：
例如：．
請(qǐng)仿照上述方法解決下面問(wèn)題：
分母有理化的結(jié)果是______．
分母有理化的結(jié)果是______．
分母有理化的結(jié)果是______．已知正方形，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，位置如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．
求證：；
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．
依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
定義：有一個(gè)內(nèi)角為，且對(duì)角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．
如圖，準(zhǔn)矩形中，，若，，則 ______ ；
如圖，正方形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是準(zhǔn)矩形；
如圖，準(zhǔn)矩形中，，，，，求這個(gè)準(zhǔn)矩形的面積．
見(jiàn)微知著談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑．恒等變形，是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法．利用恒等變形，可以把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．
如：當(dāng)時(shí)，求的值．若直接把代入所求的式中，進(jìn)行計(jì)算，顯然很麻煩，我們可以通過(guò)恒等變形，對(duì)本題進(jìn)行解答．
方法：將條件變形，因，得，再把等式兩邊同時(shí)平方，把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算．
由平方得，整理可得：，即．
所以．
請(qǐng)參照以上的解決問(wèn)題的思路和方法，解決以下問(wèn)題：
若，則______，______；
若，求的值．已知正方形，點(diǎn)，分別在射線，射線上，，與交于點(diǎn)．
如圖，當(dāng)點(diǎn)，分別在線段，上時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段沿進(jìn)行平移至，連接．
依題意將圖補(bǔ)全；
請(qǐng)你通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀察，試猜想在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：依題意得，
解得．
故選：．
二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．
 2.【答案】【解析】解：、，三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)正確．
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理，求出兩小邊的平方和，再求出大邊的平方，看是否相等，即可得出答案．
本題考查了對(duì)勾股定理的逆定理的運(yùn)用，勾股定理的逆定理是：如果一個(gè)三角形的三邊分別是、、最大滿足，則三角形是直角三角形．
 3.【答案】【解析】解：、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
B、，不滿足題意；
C、，不滿足題意；
D、，不滿足題意．
故選：．
利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．
此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．
 4.【答案】【解析】解：、，故A符合題意；
B、與不屬于同類(lèi)二次根式，不能運(yùn)算，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用二次根式的相應(yīng)的運(yùn)算法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 5.【答案】【解析】解：是的中位線，，
，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】【解析】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有符合條件．
故選：．
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以和是對(duì)角，和是對(duì)角，對(duì)角的份數(shù)應(yīng)相等．只有選項(xiàng)D符合．
本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．
 7.【答案】【解析】解：，，，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
．
故選：．
先用勾股定理求得的長(zhǎng)，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得的長(zhǎng)度．
本題考查了勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
 8.【答案】【解析】解：、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；
B、對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題；
C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題；
D、四條邊都相等的四邊形是菱形，原命題是假命題；
故選：．
利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后，即可確定正確的選項(xiàng)．
考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．
 9.【答案】【解析】【分析】
本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．也考查了勾股定理．
先根據(jù)勾股定理計(jì)算出 ，則 ，然后計(jì)算出 的長(zhǎng)，接著計(jì)算出 的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn) 所表示的數(shù)．
【解答】
解：如圖， ， ，
，
，
，
，
點(diǎn) 表示的數(shù)為 ．
故選 D ．   10.【答案】【解析】解：連接，．
在四邊形中，順次連接四邊形 各邊中點(diǎn)，得到四邊形，
，，，；
，，
四邊形是平行四邊形；
，四邊形是矩形，
矩形的兩條對(duì)角線相等；
中位線定理，
四邊形是菱形；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由知，四邊形是菱形；
根據(jù)中位線定理知，四邊形是菱形；
故本選項(xiàng)正確；
根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，，，
四邊形的周長(zhǎng)是，
故本選項(xiàng)正確；
四邊形中，，，且，
；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，
四邊形的面積是，
故本選項(xiàng)正確．
綜上所述，正確．
故選：．
首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長(zhǎng)與四邊形中各邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)以下選項(xiàng)作出分析與判斷：
根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；
根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；
由四邊形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)邊長(zhǎng)之和，來(lái)計(jì)算四邊形的周長(zhǎng)；
根據(jù)四邊形的面積與四邊形的面積間的數(shù)量關(guān)系來(lái)求其面積．
本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半解答此題時(shí)，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系是最關(guān)鍵的．
 11.【答案】【解析】解：．
故答案為：．
直接利用二次根式乘法運(yùn)算法則求出即可．
此題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】【解析】解：在?中，，，則．
在?中，，則，
所以．
故答案是：．
根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等求得；然后由平行四邊形的對(duì)邊平行和平行線的性質(zhì)解答．
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)角相等，平行四邊形的對(duì)邊平行．
 13.【答案】【解析】解：，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
是等邊三角形，
，
故答案為：
根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，求出是等邊三角形，即可求出．
本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)矩形的性質(zhì)求出是解此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】【解析】解：、、和是四個(gè)全等的直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
，
四邊形的面積為，
故答案為：．
由題意知，在中，由勾股定理得，，從而得出答案．
本題主要考查了“趙爽弦圖”，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】【解析】解：，，
兩對(duì)角線的一半分別為，，
由勾股定理得，邊長(zhǎng)，
所以，菱形的周長(zhǎng)．
故答案為：．
根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出兩對(duì)角線的一半，再利用勾股定理列式求出邊長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形的四條邊都相等解答．
本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟記菱形的對(duì)角線互相垂直平分并求出邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】【解析】解：，，
，
折疊的性質(zhì)，
，
設(shè)，則在中，，
．
故答案為：．
先根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得，的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得的長(zhǎng)．
本題考查了折疊的性質(zhì)、一元二次方程的運(yùn)用以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
 17.【答案】【解析】【分析】
本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及二次根式的化簡(jiǎn)，由數(shù)軸得到 和 的取值范圍，根據(jù)差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)，可化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可化簡(jiǎn)二次根式，最后合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
【解答】
解：由題意得 ，
， ，


．
故答案為 ．   18.【答案】【解析】【分析】
此題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握這些性質(zhì)．
要求 的最小值， ， 不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化 ， 的值，從而找出其最小值求解．
【解答】
解： 正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn) 與點(diǎn) 是以直線 為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，
連接 ， ，則直線 即為 的垂直平分線，

，
，
連接 交 于點(diǎn) ，
點(diǎn) 為 上的動(dòng)點(diǎn)，
由三角形兩邊和大于第三邊，
知當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 時(shí)，
，
的最小值為 的長(zhǎng)度，
四邊形 為正方形，
， ， ，
，
的最小值是 ．
故答案為 ．   19.【答案】解：

；


．【解析】先算除法，再算加減，即可解答；
先算乘法，再算加減，即可解答．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：
，
，，
，
解得，
當(dāng)，時(shí)，原式．【解析】先將題目中所求式子化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)，，求出、的值，再代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．
本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)求值的方法．
 21.【答案】證明：在平行四邊形中，
，，
，
，．
四邊形是平行四邊形．
．【解析】要證，只需證四邊形是平行四邊形，而很快證出，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證出．
本題考查了平行四邊形的判定．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．
 22.【答案】  【解析】解：由題意可得：尺，尺，
故答案為：，；
設(shè)蘆葦長(zhǎng)尺，
則水深尺，
在中，
，
解得：，
則尺，
答：蘆葦長(zhǎng)尺．
直接利用水池正中央有一根蘆葦，它高出水面尺，且邊長(zhǎng)為尺的正方形，為中點(diǎn)，即可得出答案；
根據(jù)題意，可知的長(zhǎng)為尺，則尺，設(shè)蘆葦長(zhǎng)尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)．
此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合以及表示出直角三角形的各邊長(zhǎng)．
 23.【答案】解：是直角三角形，
理由：由勾股定理得：
，，，
，
是直角三角形；
設(shè)的邊上的高為，
在中，，，，
的面積，
，
，
邊上的高是．【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；
設(shè)的邊上的高為，然后利用等面積法進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】  【解析】解：，
故答案為：；
，
故答案為：；
，
故答案為：．
根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子分母有理化；
根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子分母有理化；
根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子分母有理化．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用平方差公式將分母有理化．
 25.【答案】證明：，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
又，，，
．
如圖：圖形即為所求作．

解：結(jié)論：．
理由：在上截取點(diǎn)，使得，連接．

四邊形是正方形，
．
在和中，

≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，
．【解析】根據(jù)等角的余角相等證明即可．
根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．
結(jié)論：在上截取點(diǎn)，使得，連接證明≌，推出，，再證明四邊形為平行四邊形，可得結(jié)論．
本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
 26.【答案】【解析】解：，，，
，
四邊形是準(zhǔn)矩形，
．
故答案為：；
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
四邊形是準(zhǔn)矩形；
作，垂足為，

準(zhǔn)矩形中，，，
，
，
，

，
，
．
利用勾股定理計(jì)算，再根據(jù)準(zhǔn)矩形的特點(diǎn)求出即可；
先利用正方形的性質(zhì)判斷出≌，即可得證；
作，根據(jù)梯形的面積公式，三角形面積公式即可得出答案．
此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義，勾股定理，梯形面積公式，三角形面積公式，正確運(yùn)用準(zhǔn)矩形的定義是解本題的關(guān)鍵．
 27.【答案】  【解析】解：，
，
；
，
，
，
故答案為：；；
，
，，，
，
，
原式



．
根據(jù)完全平方公式求出，把代入計(jì)算求出；
把進(jìn)行恒等變形，代入計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握代數(shù)式的恒等變形方法是解題的關(guān)鍵．
 28.【答案】  【解析】解：如圖，四邊形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案為：，．
補(bǔ)全圖形如圖．
，
證明：連接，
由平移得，，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
四邊形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
由四邊形是正方形，得，，因?yàn)?/span>，所以≌，得，，再推導(dǎo)出，即可證明；
過(guò)點(diǎn)作，使，連接，即可將圖形補(bǔ)全；
連接，先證明四邊形是平行四邊形，則，，所以，再證明≌，得，，所以，由，證得，則，而，于是可求得線段，，的數(shù)量關(guān)系為．
此題考查正方形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，此題難度較大，正確地作出輔助線并證明≌是解題的關(guān)鍵．