



滬科版九年級(jí)下冊(cè)第24章 圓綜合與測(cè)試課后作業(yè)題
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這是一份滬科版九年級(jí)下冊(cè)第24章 圓綜合與測(cè)試課后作業(yè)題,共36頁。試卷主要包含了點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是等內(nèi)容,歡迎下載使用。
?滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第24章圓達(dá)標(biāo)測(cè)試
考試時(shí)間:90分鐘;命題人:數(shù)學(xué)教研組
考生注意:
1、本卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分100分,考試時(shí)間90分鐘
2、答卷前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上
3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶,不按以上要求作答的答案無效。
第I卷(選擇題 30分)
一、單選題(10小題,每小題3分,共計(jì)30分)
1、如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC=30°,BC=6,則⊙O的直徑等于( )
A.10 B.6 C.6 D.12
2、下列圖形中,可以看作是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3、下列圖形中,既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4、下列圖形中,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
5、扇形的半徑擴(kuò)大為原來的3倍,圓心角縮小為原來的,那么扇形的面積( )
A.不變 B.面積擴(kuò)大為原來的3倍
C.面積擴(kuò)大為原來的9倍 D.面積縮小為原來的
6、如圖,是△ABC的外接圓,已知,則的大小為( )
A.55° B.60° C.65° D.75°
7、某村東西向的廢棄小路/兩側(cè)分別有一塊與l距離都為20 m的宋代碑刻A,B,在小路l上有一座亭子P. A,P分別位于B的西北方向和東北方向,如圖所示.該村啟動(dòng)“建設(shè)幸福新農(nóng)村”項(xiàng)目,計(jì)劃挖一個(gè)圓形人工湖,綜合考慮景觀的人文性、保護(hù)文物的要求、經(jīng)費(fèi)條件等因素,需將碑刻A,B原址保留在湖岸(近似看成圓周)上,且人工湖的面積盡可能?。斯ずǔ珊?,亭子P到湖岸的最短距離是( )
A.20 m B.20m
C.(20 - 20)m D.(40 - 20)m
8、點(diǎn)P(3,﹣2)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.(3,﹣2) B.(﹣3,2) C.(﹣3,﹣2) D.(2,3)
9、如圖,在Rt中,.以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn),則的長(zhǎng)是( )
A.1 B. C. D.2
10、已知⊙O的直徑為10cm,圓心O到直線l的距離為5cm,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相切
第Ⅱ卷(非選擇題 70分)
二、填空題(5小題,每小題4分,共計(jì)20分)
1、如圖,將半徑為的圓形紙片沿一條弦折疊,折疊后弧的中點(diǎn)與圓心重疊,則弦的長(zhǎng)度為________.
2、如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,⊙O的半徑為2,∠D=110°,則的長(zhǎng)為__.
3、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)N是直線上動(dòng)點(diǎn),M是上動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且與y軸相切,則長(zhǎng)度的最小值為____________.
4、如果一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于它所在圓的半徑,那么此扇形叫做“完美扇形”.已知某個(gè)“完美扇形”的周長(zhǎng)等于6,那么這個(gè)扇形的面積等于_____.
5、如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,若⊙O的周長(zhǎng)為8π,則正六邊形的邊長(zhǎng)為________.
三、解答題(5小題,每小題10分,共計(jì)50分)
1、如圖,拋物線(a為常數(shù),)與x軸分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC.
(1)求a的值;
(2)點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)P(m,n)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn),分別連接BD、BC、CD、BP,當(dāng)∠PBA=∠CBD時(shí),求m的值;
(3)點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),DK=2,點(diǎn)M為線段BK的中點(diǎn),連接AM,當(dāng)AM最大時(shí),求點(diǎn)K的坐標(biāo).
2、定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.如圖1,∠A=∠O.
已知:如圖2,AC是⊙O的一條弦,點(diǎn)D在⊙O上(與A、C不重合),聯(lián)結(jié)DE交射線AO于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)OD,⊙O的半徑為5,tan∠OAC=.
(1)求弦AC的長(zhǎng).
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),若△DOE與△AEC相似,求∠DCA的正切值.
(3)當(dāng)OE=1時(shí),求點(diǎn)A與點(diǎn)D之間的距離(直接寫出答案).
3、問題:如圖,是的直徑,點(diǎn)在內(nèi),請(qǐng)僅用無刻度的直尺,作出中邊上的高.
小蕓解決這個(gè)問題時(shí),結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識(shí),設(shè)計(jì)了如下作圖過程.
作法:如圖,
①延長(zhǎng)交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn);
②分別連接,并延長(zhǎng)相交于點(diǎn);
③連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).
所以線段即為中邊上的高.
(1)根據(jù)小蕓的作法,補(bǔ)全圖形;
(2)完成下面的證明.
證明:∵是的直徑,點(diǎn),在上,
∴________°.(______)(填推理的依據(jù))
∴,.
∴,________是的兩條高線.
∵,所在直線交于點(diǎn),
∴直線也是的高所在直線.
∴是中邊上的高.
4、在中,,,過點(diǎn)A作BC的垂線AD,垂足為D,E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),連接AE,以點(diǎn)A為中心,將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,連接BF,與直線AD交于點(diǎn)G.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),
①依題意補(bǔ)全圖形,并直接寫出BC與CF的位置關(guān)系;
②求證:點(diǎn)G為BF的中點(diǎn).
(2)直接寫出AE,BE,AG之間的數(shù)量關(guān)系.
5、如圖①,在Rt△ABC中,∠BAC = 90°,AB = k·AC,△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到的,BC與DE交于點(diǎn)F,直線BD與EC交于點(diǎn)G
(1)求證:BD = k·EC;
(2)求∠CGD的度數(shù);
(3)若k = 1(如圖②),求證:A,F(xiàn),G三點(diǎn)在同一直線上.
-參考答案-
一、單選題
1、D
【分析】
連接OB,OC,根據(jù)圓周角定理求出∠BOC的度數(shù),再由OB=OC判斷出△OBC是等邊三角形,由此可得出結(jié)論.
【詳解】
解:連接OB,OC,
∵∠BAC=30°,
∴∠BOC=60°.
∵OB=OC,BC=6,
∴△OBC是等邊三角形,
∴OB=BC=6.
∴⊙O的直徑等于12.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查的圓周角定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.
2、B
【分析】
把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形,根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【詳解】
A.不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;
B.是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)符合題意;
C.不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;
D.不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念,中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
3、A
【分析】
根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【詳解】
解:A、既是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)符合題意;
B、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不符合題意;
C、是中心對(duì)稱圖形,不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不符合題意;
D、是中心對(duì)稱圖形,不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不符合題意.
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的知識(shí),關(guān)鍵是掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.
4、B
【詳解】
解:A.是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故不符合題意;
B.既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,故符合題意;
C.不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故不符合題意;
D.是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故不符合題意.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念,把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形;如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
5、A
【分析】
設(shè)原來扇形的半徑為r,圓心角為n,則變化后的扇形的半徑為3r,圓心角為,利用扇形的面積公式即可計(jì)算得出它們的面積,從而進(jìn)行比較即可得答案.
【詳解】
設(shè)原來扇形的半徑為r,圓心角為n,
∴原來扇形的面積為,
∵扇形的半徑擴(kuò)大為原來的3倍,圓心角縮小為原來的,
∴變化后的扇形的半徑為3r,圓心角為,
∴變化后的扇形的面積為,
∴扇形的面積不變.
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了扇形面積,熟練掌握并靈活運(yùn)用扇形面積公式是解題關(guān)鍵.
6、C
【分析】
由OA=OB,,求出∠AOB=130°,根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù).
【詳解】
解:∵OA=OB,,
∴∠BAO=.
∴∠AOB=130°.
∴=∠AOB=65°.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題考查了同圓中半徑相等的性質(zhì),圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.
7、D
【分析】
根據(jù)人工湖面積盡量小,故圓以AB為直徑構(gòu)造,設(shè)圓心為O,當(dāng)O,P共線時(shí),距離最短,計(jì)算即可.
【詳解】
∵人工湖面積盡量小,
∴圓以AB為直徑構(gòu)造,設(shè)圓心為O,
過點(diǎn)B作BC ⊥,垂足為C,
∵A,P分別位于B的西北方向和東北方向,
∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°,
∴OC=CB=CP=20,
∴OP=40,OB==,
∴最小的距離PE=PO-OE=40 - 20(m),
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的基本性質(zhì),方位角的意義,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,熟練掌握?qǐng)A中點(diǎn)圓的最小距離是解題的關(guān)鍵.
8、B
【分析】
根據(jù)“平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(x,y),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(﹣x,﹣y),即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”解答.
【詳解】
解:點(diǎn)P(3,﹣2)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)是(﹣3,2).
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn),正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
9、B
【分析】
利用三角函數(shù)及勾股定理求出BC、AB,連接CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,利用,求出BE,根據(jù)垂徑定理求出BD即可得到答案.
【詳解】
解: 在Rt中,,
∴BC=3,,
連接CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,
∵,
∴,
解得,
∵CB=CD,CE⊥AB,
∴,
∴,
故選:B.
【點(diǎn)睛】
此題考查了銳角三角函數(shù),勾股定理,垂徑定理,熟記各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
10、B
【分析】
圓的半徑為 圓心O到直線l的距離為 當(dāng)時(shí),直線與圓相切,當(dāng)時(shí),直線與圓相離,當(dāng)時(shí),直線與圓相交,根據(jù)原理直接作答即可.
【詳解】
解: ⊙O的直徑為10cm,圓心O到直線l的距離為5cm,
⊙O的半徑等于圓心O到直線l的距離,
直線l與⊙O的位置關(guān)系為相切,
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系的判定,掌握“直線與圓的位置關(guān)系的判定方法”是解本題的關(guān)鍵.
二、填空題
1、
【分析】
連接OC交AB于點(diǎn)D,再連接OA.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定,OD=CD;再根據(jù)垂徑定理確定AD=BD;再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)度,進(jìn)而即可求出AB的長(zhǎng)度.
【詳解】
解:如下圖所示,連接OC交AB于點(diǎn)D,再連接OA.
∵折疊后弧的中點(diǎn)與圓心重疊,
∴,OD=CD.
∴AD=BD.
∵圓形紙片的半徑為10cm,
∴OA=OC=10cm.
∴OD=5cm.
∴cm.
∴BD=cm.
∴cm.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì),垂徑定理,勾股定理,綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
2、##
【分析】
連接OA、OC,先求出∠ABC的度數(shù),然后得到∠AOC,再由弧長(zhǎng)公式即可求出答案.
【詳解】
解:連接OA、OC,如圖,
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠D=110°,
∴,
∴,
∴;
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及圓周角定理,解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式.
3、-2
【分析】
由圖可知,當(dāng)CN⊥AB且C、M、N三點(diǎn)共線時(shí),長(zhǎng)度最小,利用勾股定理求出CN的長(zhǎng),故可求解.
【詳解】
由圖可知,當(dāng)CN⊥AB且C、M、N三點(diǎn)共線時(shí),長(zhǎng)度最小
∵直線AB的解析式為
當(dāng)x=0時(shí),y=5,當(dāng)y=0時(shí),x=5
∴B(0,5),A(5,0)
∴AO=BO,△AOB是等腰直角三角形
∴∠BAO=90°
當(dāng)CN⊥AB時(shí),則△ACN是等腰直角三角形
∴CN=AN
∵C
∴AC=7
∵AC2=CN2+AN2=2CN2
∴CN=
當(dāng) C、M、N三點(diǎn)共線時(shí),長(zhǎng)度最小
即MN=CN-CM=-2
故答案為:-2.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查圓與幾何綜合,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到符合題意的位置,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解.
4、2
【分析】
根據(jù)扇形的面積公式S=,代入計(jì)算即可.
【詳解】
解:∵“完美扇形”的周長(zhǎng)等于6,
∴半徑r為=2,弧長(zhǎng)l為2,
這個(gè)扇形的面積為:==2.
答案為:2.
【點(diǎn)睛】
本題考查了扇形的面積公式,扇形面積公式與三角形面積公式十分類似,為了便于記憶,只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形,把弧長(zhǎng)l看成底,R看成底邊上的高即可.
5、4
【分析】
由周長(zhǎng)公式可得⊙O半徑為4,再由正多邊形的中心角公式可得正六邊形ABCDEF中心角為,即可知正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形組成的,則可求得六邊形ABCDEF邊長(zhǎng).
【詳解】
∵⊙O的周長(zhǎng)為8π
∴⊙O半徑為4
∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O
∴正六邊形ABCDEF中心角為
∴正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形組成的
∴正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為4.
故答案為:4.
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的中心角公式,正n邊形的每個(gè)中心角都等于,由中心角為得出正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形組成的是解題的關(guān)鍵.
三、解答題
1、
(1)
(2)
(3)
【分析】
(1)先求得,點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)即可求得的值;
(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn),證明是直角三角形,進(jìn)而,根據(jù)相似的性質(zhì)列出比例式進(jìn)而代入點(diǎn)的坐標(biāo)解方程即可;
(3)接,取的中點(diǎn),連接,根據(jù)題意,點(diǎn)在以為圓心,2為半徑的圓上,則在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),根據(jù)點(diǎn)與圓的距離求最值,進(jìn)而求得的解析式為,根據(jù),設(shè)直線的解析式為,將點(diǎn)代入求得,進(jìn)而設(shè),根據(jù),進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程求解即可.
(1)
令,解得
令,
拋物線(a為常數(shù),)與x軸分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,
拋物線與軸的交點(diǎn)為
解得
(2)
如圖,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),
是直角三角形,且
又
在拋物線上,
整理得
解得(舍)
在第三象限,
(3)
如圖,連接,取的中點(diǎn),連接,
是的中位線
根據(jù)題意點(diǎn)在以為圓心,2為半徑的圓上,
則在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)三點(diǎn)共線,且在的延長(zhǎng)線上時(shí),最大,如圖,
即
設(shè)直線的解析式為,代入點(diǎn),
即
解得
直線的解析式為
設(shè)直線的解析式為
解得
則的解析式為
設(shè)點(diǎn),
,
解得(舍去)
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用,點(diǎn)與圓的距離求最值問題,相似三角形的性質(zhì)與判定,正確的添加輔助線并熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
2、
(1)8
(2)
(3)或.
【分析】
(1)過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H,由垂徑定理可得AH=CH=AC,由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求解;
(2)分兩種情況討論,由相似三角形的性質(zhì)可求AG,EG,CG的長(zhǎng),即可求解;
(3)分兩種情況討論,由相似三角形和勾股定理可求解.
(1)
如圖2,過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H,
由垂徑定理得:AH=CH=AC,
在Rt△OAH中,,
∴設(shè)OH=3x,AH=4x,
∵OH2+AH2=OA2,
∴(3x)2+(4x)2=52,
解得:x=±1,(x=﹣1舍去),
∴OH=3,AH=4,
∴AC=2AH=8;
(2)
如圖2,過點(diǎn)O作OH⊥AC于H,過E作EG⊥AC于G,
∵∠DEO=∠AEC,
∴當(dāng)△DOE與△AEC相似時(shí)可得:∠DOE=∠A或者∠DOE=∠ACD;
,
∴∠ACD≠∠DOE
∴當(dāng)△DOE與△AEC相似時(shí),不存在∠DOE=∠ACD情況,
∴當(dāng)△DOE與△AEC相似時(shí),∠DOE=∠A,
∴OD∥AC,
∴,
∵OD=OA=5,AC=8,
∴,
∴,
∵∠AGE=∠AHO=90°,
∴GE∥OH,
∴△AEG∽△AOH,
∴,
∴,
∴,
∴,,
在Rt△CEG中,;
(3)
當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),如圖3,過點(diǎn)E作EG⊥AC于G,過點(diǎn)O作OH⊥AC于H,延長(zhǎng)AO交⊙O于M,連接AD,DM,
由(1)可得 OH=3,AH=4,AC=8,
∵OE=1,
∴AE=4,ME=6,
∵EG∥OH,
∴△AEG∽△AOH,
∴,
∴AG=,EG=,
∴GC=,
∴EC===,
∵AM是直徑,
∴∠ADM=90°=∠EGC,
又∵∠M=∠C,
∴△EGC∽△ADM,
∴,
∴,
∴AD=2;
當(dāng)點(diǎn)E在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖4,延長(zhǎng)AO交⊙O于M,連接AD,DM,過點(diǎn)E作EG⊥AC于G,
同理可求EG=,AG=,AE=6,GC=,
∴EC===,
∵AM是直徑,
∴∠ADM=90°=∠EGC,
又∵∠M=∠C,
∴△EGC∽△ADM,
∴,
∴,
∴AD=,
綜上所述:AD的長(zhǎng)是或
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理,勾股定理,解直角三角形,求角的正切值,相似三角形的性質(zhì)與判定,圓周角定理,正切的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
3、(1)見詳解;(2)90,直徑所對(duì)的圓周角是直角,BD.
【分析】
(1)根據(jù)作圖步驟作出圖形即可;
(2)根據(jù)題意填空,即可求解.
【詳解】
解:(1)如圖,CH為△ABC中AB邊上的高;
(2)證明:∵是的直徑,點(diǎn),在上,
∴___90_°.(__直徑所對(duì)的圓周角是直角_)(填推理的依據(jù))
∴,.
∴,_BD__是的兩條高線.
∵,所在直線交于點(diǎn),
∴直線也是的高所在直線.
∴是中邊上的高.
故答案為:90,直徑所對(duì)的圓周角是直角,BD.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理的推理,三角形的三條高線相交于一點(diǎn)等知識(shí),熟知兩個(gè)定理,并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.
4、(1)①BC⊥CF;證明見詳解;②見詳解;(2)2AE2=4AG2+BE2.證明見詳解.
【分析】
(1)①如圖所示,BC⊥CF.根據(jù)將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,得出AE=AF,∠EAF=90°,可證△BAE≌△CAF(SAS),得出∠ABE=∠ACF=45°,可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可;
②根據(jù)AD⊥BC,BC⊥CF.可得AD∥CF,可證△BDG∽△BCF,可得,得出即可;
(2)2AE2=4AG2+BE2,延長(zhǎng)BA交CF延長(zhǎng)線于H,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AD平分∠BAC,可得∠BAD=∠CAD=,可證△BAG∽△BHF,得出HF=2AG,再證△AEC≌△AFH(AAS),得出EC=FH=2AG,利用勾股定理得出,即即可.
【詳解】
解:(1)①如圖所示,BC⊥CF.
∵將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,
∴AE=AF,∠EAF=90°,
∴∠EAC+∠CAF=90°,
∵,,
∴∠BAE+∠EAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∴∠ABE=∠ACF=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
∴BC⊥CF;
②∵AD⊥BC,BC⊥CF.
∴AD∥CF,
∴∠BDG=∠BCF=90°,∠BGD=∠BFC,
∴△BDG∽△BCF,
∴,
∵,AD⊥BC,
∴BD=DC=,
∴,
∴,
∴,
∴BG=GF;
(2)2AE2=4AG2+BE2.延長(zhǎng)BA交CF延長(zhǎng)線于H,
∵AD⊥BC,AB=AC,
∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=,
∵BG=GF,AG∥HF,
∴∠BAG=∠H=45°,∠AGB=∠HFB,
∴△BAG∽△BHF,
∴,
∴HF=2AG,
∵∠ACE=45°,
∴∠ACE =∠H,
∵∠EAC+∠CAF=90°,∠CAF+∠FAH=90°,
∴∠EAC=∠FAH,
在△AEC和△AFH中,
,
∴△AEC≌△AFH(AAS),
∴EC=FH=2AG,
在Rt△AEF中,根據(jù)勾股定理,
在Rt△ECF中,即.
【點(diǎn)睛】
本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì),三角形完全判定與性質(zhì),等腰直角三角形性質(zhì),三角形相似判定與性質(zhì),勾股定理,掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì),三角形完全判定與性質(zhì),等腰直角三角形性質(zhì),三角形相似判定與性質(zhì),勾股定理是解題關(guān)鍵.
5、(1)見解析;(2)90°;(3)見解析
【分析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)角相等,由相似三角形的判定得出△ABD∽△ACE,由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論 ;
(2)由(1)證得△ABD∽△ACE,和等腰三角形的性質(zhì)得出,進(jìn)而推出,由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論;
(3)連接CD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出,CG=DG,F(xiàn)C=FD,由垂直平分線的判斷得出A,F(xiàn),G都在CD的垂直平分線上,進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】
證明:(1)∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到的,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,
∴,
∴△ABD∽△ACE,
∴,
∵AB = k·AC,
∴,
∴BD = k·EC;
(2)由(1)證得△ABD∽△ACE,
∴,
∵AB=AD,AC=AE,∠BAC = 90°,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴∴在四邊形ADGE中,,∠BAC = 90°,
∴∠CGD=360°-180°-90°=90°;
(3)連接CD,如圖:
∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到的,∠BAC = 90°,AB = k·AC,
∴當(dāng)k = 1時(shí),△ABC和△ADE為等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,∴CG=DG
∵,
∴,∴FC=FD,
∴點(diǎn)A、點(diǎn)G和點(diǎn)F在CD的垂直平分線上,
∴A,F(xiàn),G三點(diǎn)在同一直線上.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)和判定,垂直平分線的判定等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握相似三角形的判定和垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵.
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