滬科版九年級(jí)下冊(cè)第24章 圓綜合與測(cè)試課后作業(yè)題

這是一份滬科版九年級(jí)下冊(cè)第24章 圓綜合與測(cè)試課后作業(yè)題，共36頁。試卷主要包含了點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第24章圓達(dá)標(biāo)測(cè)試
考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組
考生注意：
1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘
2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上
3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。
第I卷（選擇題 30分）
一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）
1、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，則⊙O的直徑等于（　　）

A．10 B．6 C．6 D．12
2、下列圖形中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3、下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
4、下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
5、扇形的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，圓心角縮小為原來的，那么扇形的面積（ ）
A．不變 B．面積擴(kuò)大為原來的3倍
C．面積擴(kuò)大為原來的9倍 D．面積縮小為原來的
6、如圖，是△ABC的外接圓，已知，則的大小為（ ）

A．55° B．60° C．65° D．75°
7、某村東西向的廢棄小路/兩側(cè)分別有一塊與l距離都為20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分別位于B的西北方向和東北方向，如圖所示．該村啟動(dòng)“建設(shè)幸福新農(nóng)村”項(xiàng)目，計(jì)劃挖一個(gè)圓形人工湖，綜合考慮景觀的人文性、保護(hù)文物的要求、經(jīng)費(fèi)條件等因素，需將碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圓周）上，且人工湖的面積盡可能?。斯ずǔ珊?，亭子P到湖岸的最短距離是（ ）

A．20 m B．20m
C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m
8、點(diǎn)P(3，﹣2)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）
A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)
9、如圖，在Rt中，．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（ ）

A．1 B． C． D．2
10、已知⊙O的直徑為10cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切
第Ⅱ卷（非選擇題 70分）
二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）
1、如圖，將半徑為的圓形紙片沿一條弦折疊，折疊后弧的中點(diǎn)與圓心重疊，則弦的長(zhǎng)度為________．

2、如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠D＝110°，則的長(zhǎng)為__．

3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N是直線上動(dòng)點(diǎn)，M是上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且與y軸相切，則長(zhǎng)度的最小值為____________．

4、如果一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于它所在圓的半徑，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某個(gè)“完美扇形”的周長(zhǎng)等于6，那么這個(gè)扇形的面積等于_____．
5、如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)為8π，則正六邊形的邊長(zhǎng)為________．

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）
1、如圖，拋物線（a為常數(shù)，）與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．

（1）求a的值；
（2）點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接BD、BC、CD、BP，當(dāng)∠PBA＝∠CBD時(shí)，求m的值；
（3）點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，DK＝2，點(diǎn)M為線段BK的中點(diǎn)，連接AM，當(dāng)AM最大時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．
2、定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．如圖1，∠A＝∠O．
已知：如圖2，AC是⊙O的一條弦，點(diǎn)D在⊙O上（與A、C不重合），聯(lián)結(jié)DE交射線AO于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)OD，⊙O的半徑為5，tan∠OAC＝．

（1）求弦AC的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若△DOE與△AEC相似，求∠DCA的正切值．
（3）當(dāng)OE＝1時(shí)，求點(diǎn)A與點(diǎn)D之間的距離（直接寫出答案）．
3、問題：如圖，是的直徑，點(diǎn)在內(nèi)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，作出中邊上的高.
小蕓解決這個(gè)問題時(shí)，結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下作圖過程．
作法：如圖，
①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；
②分別連接，并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)；
③連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

所以線段即為中邊上的高．
（1）根據(jù)小蕓的作法，補(bǔ)全圖形；
（2）完成下面的證明．
證明：∵是的直徑，點(diǎn)，在上，
∴________°．（______）（填推理的依據(jù)）
∴，．
∴，________是的兩條高線．
∵，所在直線交于點(diǎn)，
∴直線也是的高所在直線．
∴是中邊上的高．
4、在中，，，過點(diǎn)A作BC的垂線AD，垂足為D，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與直線AD交于點(diǎn)G．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，
①依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出BC與CF的位置關(guān)系；
②求證：點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)．
（2）直接寫出AE，BE，AG之間的數(shù)量關(guān)系．
5、如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = k·AC，△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到的，BC與DE交于點(diǎn)F，直線BD與EC交于點(diǎn)G
（1）求證：BD = k·EC；
（2）求∠CGD的度數(shù)；
（3）若k = 1（如圖②），求證：A，F(xiàn)，G三點(diǎn)在同一直線上．


-參考答案-
一、單選題
1、D
【分析】
連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，再由OB=OC判斷出△OBC是等邊三角形，由此可得出結(jié)論．
【詳解】
解：連接OB，OC，

∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，BC=6，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC=6．
∴⊙O的直徑等于12．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查的圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．
2、B
【分析】
把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【詳解】
A．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3、A
【分析】
根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【詳解】
解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
4、B
【詳解】
解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；
C．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
5、A
【分析】
設(shè)原來扇形的半徑為r，圓心角為n，則變化后的扇形的半徑為3r，圓心角為，利用扇形的面積公式即可計(jì)算得出它們的面積，從而進(jìn)行比較即可得答案．
【詳解】
設(shè)原來扇形的半徑為r，圓心角為n，
∴原來扇形的面積為，
∵扇形的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，圓心角縮小為原來的，
∴變化后的扇形的半徑為3r，圓心角為，
∴變化后的扇形的面積為，
∴扇形的面積不變．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了扇形面積，熟練掌握并靈活運(yùn)用扇形面積公式是解題關(guān)鍵．
6、C
【分析】
由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．
【詳解】
解：∵OA=OB，，
∴∠BAO=．
∴∠AOB=130°．
∴=∠AOB=65°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題考查了同圓中半徑相等的性質(zhì)，圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．
7、D
【分析】
根據(jù)人工湖面積盡量小，故圓以AB為直徑構(gòu)造，設(shè)圓心為O，當(dāng)O，P共線時(shí)，距離最短，計(jì)算即可．
【詳解】
∵人工湖面積盡量小，

∴圓以AB為直徑構(gòu)造，設(shè)圓心為O，
過點(diǎn)B作BC ⊥，垂足為C，
∵A，P分別位于B的西北方向和東北方向，
∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，
∴OC=CB=CP=20，
∴OP=40，OB==，
∴最小的距離PE=PO-OE=40 - 20（m），
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的基本性質(zhì)，方位角的意義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A中點(diǎn)圓的最小距離是解題的關(guān)鍵．
8、B
【分析】
根據(jù)“平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y），即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”解答．
【詳解】
解：點(diǎn)P（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)是（﹣3，2）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9、B
【分析】
利用三角函數(shù)及勾股定理求出BC、AB，連接CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根據(jù)垂徑定理求出BD即可得到答案．
【詳解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
連接CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故選：B．

【點(diǎn)睛】
此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，垂徑定理，熟記各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
10、B
【分析】
圓的半徑為 圓心O到直線l的距離為 當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)時(shí)，直線與圓相離，當(dāng)時(shí)，直線與圓相交，根據(jù)原理直接作答即可.
【詳解】
解： ⊙O的直徑為10cm，圓心O到直線l的距離為5cm，
⊙O的半徑等于圓心O到直線l的距離，
直線l與⊙O的位置關(guān)系為相切，
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系的判定，掌握“直線與圓的位置關(guān)系的判定方法”是解本題的關(guān)鍵.
二、填空題
1、
【分析】
連接OC交AB于點(diǎn)D，再連接OA．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定，OD=CD；再根據(jù)垂徑定理確定AD=BD；再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求出AB的長(zhǎng)度．
【詳解】
解：如下圖所示，連接OC交AB于點(diǎn)D，再連接OA．

∵折疊后弧的中點(diǎn)與圓心重疊，
∴，OD=CD．
∴AD=BD．
∵圓形紙片的半徑為10cm，
∴OA=OC=10cm．
∴OD=5cm．
∴cm．
∴BD=cm．
∴cm．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
2、##
【分析】
連接OA、OC，先求出∠ABC的度數(shù)，然后得到∠AOC，再由弧長(zhǎng)公式即可求出答案．
【詳解】
解：連接OA、OC，如圖，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠D＝110°，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．
3、-2
【分析】
由圖可知，當(dāng)CN⊥AB且C、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)度最小，利用勾股定理求出CN的長(zhǎng)，故可求解．
【詳解】
由圖可知，當(dāng)CN⊥AB且C、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)度最小
∵直線AB的解析式為
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，當(dāng)y=0時(shí)，x=5
∴B（0，5），A（5，0）
∴AO=BO，△AOB是等腰直角三角形
∴∠BAO=90°
當(dāng)CN⊥AB時(shí)，則△ACN是等腰直角三角形
∴CN=AN
∵C
∴AC=7
∵AC2=CN2+AN2=2CN2
∴CN=
當(dāng) C、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)度最小
即MN=CN-CM=-2
故答案為：-2．

【點(diǎn)睛】
此題主要考查圓與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到符合題意的位置，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．
4、2
【分析】
根據(jù)扇形的面積公式S＝，代入計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵“完美扇形”的周長(zhǎng)等于6，
∴半徑r為＝2，弧長(zhǎng)l為2，
這個(gè)扇形的面積為：＝＝2．
答案為：2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了扇形的面積公式，扇形面積公式與三角形面積公式十分類似，為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長(zhǎng)l看成底，R看成底邊上的高即可．
5、4
【分析】
由周長(zhǎng)公式可得⊙O半徑為4，再由正多邊形的中心角公式可得正六邊形ABCDEF中心角為，即可知正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形組成的，則可求得六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)．
【詳解】
∵⊙O的周長(zhǎng)為8π
∴⊙O半徑為4
∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O
∴正六邊形ABCDEF中心角為
∴正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形組成的
∴正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為4.
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的中心角公式，正n邊形的每個(gè)中心角都等于，由中心角為得出正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形組成的是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
1、
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）先求得,點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)即可求得的值；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明是直角三角形，進(jìn)而，根據(jù)相似的性質(zhì)列出比例式進(jìn)而代入點(diǎn)的坐標(biāo)解方程即可；
（3）接，取的中點(diǎn)，連接,根據(jù)題意，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)與圓的距離求最值，進(jìn)而求得的解析式為，根據(jù),設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入求得，進(jìn)而設(shè)，根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程求解即可．
（1）

令，解得
令，
拋物線（a為常數(shù)，）與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，
拋物線與軸的交點(diǎn)為





解得
（2）
如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，







是直角三角形，且


又


在拋物線上，



整理得
解得（舍）
在第三象限，


（3）
如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接,

是的中位線

根據(jù)題意點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，
則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)三點(diǎn)共線，且在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，如圖，


即

設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，
即
解得
直線的解析式為

設(shè)直線的解析式為


解得
則的解析式為
設(shè)點(diǎn)，
，

解得（舍去）



【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，點(diǎn)與圓的距離求最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線并熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2、
（1）8
（2）
（3）或．
【分析】
（1）過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，由垂徑定理可得AH＝CH＝AC，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求解；
（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求AG，EG，CG的長(zhǎng)，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如圖2，過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，

由垂徑定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴設(shè)OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如圖2，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，過E作EG⊥AC于G，

∵∠DEO＝∠AEC，
∴當(dāng)△DOE與△AEC相似時(shí)可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；

，
∴∠ACD≠∠DOE
∴當(dāng)△DOE與△AEC相似時(shí)，不存在∠DOE＝∠ACD情況，
∴當(dāng)△DOE與△AEC相似時(shí)，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，

∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，延長(zhǎng)AO交⊙O于M，連接AD，DM，

由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直徑，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
當(dāng)點(diǎn)E在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，延長(zhǎng)AO交⊙O于M，連接AD，DM，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，

同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直徑，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
綜上所述：AD的長(zhǎng)是或
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，正切的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3、（1）見詳解；（2）90，直徑所對(duì)的圓周角是直角，BD．
【分析】
（1）根據(jù)作圖步驟作出圖形即可；
（2）根據(jù)題意填空，即可求解．
【詳解】
解：（1）如圖，CH為△ABC中AB邊上的高；

（2）證明：∵是的直徑，點(diǎn)，在上，
∴___90_°．（__直徑所對(duì)的圓周角是直角_）（填推理的依據(jù)）
∴，．
∴，_BD__是的兩條高線．
∵，所在直線交于點(diǎn)，
∴直線也是的高所在直線．
∴是中邊上的高．
故答案為：90，直徑所對(duì)的圓周角是直角，BD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理的推理，三角形的三條高線相交于一點(diǎn)等知識(shí)，熟知兩個(gè)定理，并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
4、（1）①BC⊥CF；證明見詳解；②見詳解;（2）2AE2=4AG2+BE2．證明見詳解．
【分析】
（1）①如圖所示，BC⊥CF．根據(jù)將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，得出AE=AF，∠EAF=90°，可證△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可；
②根據(jù)AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可證△BDG∽△BCF，可得，得出即可；
（2）2AE2=4AG2+BE2，延長(zhǎng)BA交CF延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=，可證△BAG∽△BHF，得出HF=2AG，再證△AEC≌△AFH（AAS），得出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出，即即可．
【詳解】
解：（1）①如圖所示，BC⊥CF．
∵將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠EAC+∠CAF=90°，
∵，，
∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴BC⊥CF；

②∵AD⊥BC，BC⊥CF．
∴AD∥CF，
∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，
∴△BDG∽△BCF，
∴，
∵，AD⊥BC，
∴BD=DC=，
∴，
∴，
∴，
∴BG=GF;
（2）2AE2=4AG2+BE2．延長(zhǎng)BA交CF延長(zhǎng)線于H，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵BG=GF，AG∥HF，
∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB，
∴△BAG∽△BHF，
∴，
∴HF=2AG，
∵∠ACE=45°，
∴∠ACE =∠H，
∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°，
∴∠EAC=∠FAH，
在△AEC和△AFH中，
，
∴△AEC≌△AFH（AAS），
∴EC=FH=2AG，
在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理，
在Rt△ECF中，即．

【點(diǎn)睛】
本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，三角形完全判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，三角形完全判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．
5、（1）見解析；（2）90°；（3）見解析
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)角相等，由相似三角形的判定得出△ABD∽△ACE，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論 ；
（2）由（1）證得△ABD∽△ACE，和等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而推出，由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（3）連接CD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出，CG＝DG，F(xiàn)C＝FD，由垂直平分線的判斷得出A，F(xiàn)，G都在CD的垂直平分線上，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】
證明：（1）∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到的，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∵AB = k·AC，
∴，
∴BD = k·EC；
（2）由（1）證得△ABD∽△ACE，
∴，
∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC = 90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∴在四邊形ADGE中，，∠BAC = 90°，
∴∠CGD＝360°－180°－90°＝90°；
（3）連接CD，如圖：

∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到的，∠BAC = 90°，AB = k·AC，
∴當(dāng)k = 1時(shí)，△ABC和△ADE為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，∴CG＝DG
∵，
∴，∴FC＝FD，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)G和點(diǎn)F在CD的垂直平分線上，
∴A，F(xiàn)，G三點(diǎn)在同一直線上．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定和垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．