蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第1章全等三角形中的輔助線構(gòu)造（舉一反三）（原卷+解析卷）學(xué)案

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【考點(diǎn)1 角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等】
【方法點(diǎn)撥】過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問
題；
【例1】如圖，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求證：∠BFP+∠BEP＝180°．
【變式1-1】（2019秋?漢陽區(qū)期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P
在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．
（1）PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）請你證明（1）得出的結(jié)論．
【變式1-2】（2019?北京校級期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上．
（1）如圖1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；
（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．
【變式1-3】（2019秋?東區(qū)校級月考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在
直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不需證明）
（2）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
【考點(diǎn)2 截取法構(gòu)全等】
【方法點(diǎn)撥】利用對稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；
【例2】（2019秋?黃浦區(qū)校級期中）已知：在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AB+DC．
【變式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，
CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式2-2】（2019秋?邵陽期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD為∠BAC的角平分線，求證：
AB＝AC+CD
小明同學(xué)經(jīng)過思考，得到如下解題思路：
在AB上截取AE＝AC，連接DE，得到△ADE≌△ADC，從而易證AB＝AC+CD
（1）請你根據(jù)以上解思路寫出證明過程；
（2）如圖②，若AD為△ABC的外角∠CAE平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，∠D＝25°，其他條件不變，求∠B的度數(shù)．
【變式2-3】（2019?長汀縣校級模擬）觀察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時，求證：AB＝AC+CD；
（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；
（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．
【考點(diǎn)3 延長垂線段構(gòu)全等】
【方法點(diǎn)撥】題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；
【例3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長BE交AC于點(diǎn)F）．
【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求證：AC﹣AB＝2BE．
【變式3-2】（2019秋?通州區(qū)期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E．
求證：BD＝2CE．
【變式3-3】（2019?成都校級期中）如圖，△ABC中，過點(diǎn)A分別作∠ABC，∠ACB的外角的平分線的垂線AD，AE．D，E為垂足，求證：
（1）ED∥BC；
（2）ED＝（AB+AC+BC）．
【考點(diǎn)4 倍長中線法構(gòu)全等】
【方法點(diǎn)撥】遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形.
【例4】（2019秋?津南區(qū)校級期中）已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．
【變式4-1】（2019秋?閔行區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，D是BC邊上點(diǎn)，
且DE＝CE，點(diǎn)F在AE上，聯(lián)結(jié)DF，滿足DF＝AC，
求證：DF∥AB．
【變式4-2】（2019春?富陽市校級期中）如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、
AC于點(diǎn)E、F．求證：BE+CF＞EF．
【變式4-3】（2019秋?啟東市校級月考）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，
△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下
的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
【考點(diǎn)5 作平行線構(gòu)全等】
【方法點(diǎn)撥】有角平分線時，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形．或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形．
【例5】若兩個三角形的一邊及其對角對應(yīng)相等，并有一對角互補(bǔ)（不是直角），則這兩個三角形為友好三角形．如圖1，點(diǎn)D在AB邊上，CD＝CB，則△ABC和△ACD就是友好三角形．
（1）兩個友好三角形 全等．（從下面選擇一個正確的填入）
A．一定 B．不一定 C．一定不
（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC延長線上，連結(jié)DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求證：DF＝EF．
（3）如圖3，CE是△ABC的中線，點(diǎn)D在AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，CF＝AE，DF＝DC，圖中與△ACE成友好三角形的是 ．
【變式5-1】（2019秋?建湖縣期末）如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．
【變式5-2】（2019春?河口區(qū)校級期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥AB交BC于G．試判斷CE，CF，GB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，
求證：AB+BP＝BQ+AQ．（有多種輔助線作法）
【考點(diǎn)6 旋轉(zhuǎn)法構(gòu)全等】
【方法點(diǎn)撥】對題目中出現(xiàn)有一個公共端點(diǎn)的相等線段時，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。．
【例6】（2019秋?清河區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD中，E、F為BC，CD的上點(diǎn)且∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+DF．
【變式6-1】如圖，已知AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五邊形ABCDE的面積．
【變式6-2】（2019春?泰安校級月考）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D為頂點(diǎn)作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN．
（1）求證：MN＝BM+NC；
（2）求△AMN的周長為多少？
【變式6-3】已知，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，連接AF、EF．
（1）如圖1，若四邊形ABCD為正方形，且∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+DF；
（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD，試問（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．