廣東省深圳市南山區(qū)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(word版含答案)

這是一份廣東省深圳市南山區(qū)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(word版含答案)，共24頁。試卷主要包含了選擇題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021-2022學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）
1．已知＝，則的值是（　?。?br /> A． B． C．2 D．
2．如圖，一個水晶球擺件，它是由一個長方體和一個球體組成的幾何體，則其主視圖是（　　）

A． B． C． D．
3．如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，則AE：EC的值為（　?。?br />
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
4．已知點(diǎn)A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．設(shè)a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2021 D．2020
6．在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
7．菱形的一個內(nèi)角是60°，邊長是3cm，則這個菱形的較短的對角線長是（　?。?br /> A． B． C．3cm D．
8．如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（　?。?br />
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
9．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，則OM+MN的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝，過點(diǎn)F作AD的平行線交BA的延長線于點(diǎn)H，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①CG＝；②△AEG的周長為8；③△EGF的面積為．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　 ?。?br /> 12．如圖，在長為8的線段AB上，作如下操作：經(jīng)過點(diǎn)B作BC⊥AB，使得BC＝AB；連接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，則AD的長為 　 ?。?br />
13．已知x＝1是關(guān)于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一個根，則另一個根是 　 ?。?br /> 14．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且AB⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，則△ABD的面積為 　 　．

15．平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△POD是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　 　．

三.解答題（共7小題共55分，第16題8分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題8分，第22題9分。）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
17．（6分）如圖，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（請直接寫出答案）．

18．（8分）某學(xué)校為了解全校學(xué)生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)以上信息，解答下列問題
（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少名？
（2）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）若該校有3000名學(xué)生，估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？
（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．
19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，若AB＝6，BC＝10，求EF的長．

20．（8分）今年是我國脫貧勝利年，我國在扶貧方面取得了巨大的成就，技術(shù)扶貧也使得我省某縣的一個電子器件廠脫貧扭虧為盈．該電子器件廠生產(chǎn)一種電腦顯卡，2019年該類電腦顯卡的出廠價是200元/個，2020年，2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年該電腦顯卡的出廠價調(diào)整為162元/個．
（1）這兩年此類電腦顯卡出廠價下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某賽格電腦城以出廠價購進(jìn)若干個此類電腦顯卡，以200元/個銷售時，平均每天可銷售20個．為了減少庫存，該電腦城決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10個，如果每天盈利1150元，單價應(yīng)降低多少元？
21．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的長．

22．（9分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AE＝AD，EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．
（1）求證：BD⊥EC；
（2）求AD：AB的值；
（3）連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．


2021-2022學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）
1．已知＝，則的值是（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】直接利用已知得出a＝，進(jìn)而代入化簡得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴a＝，
∴＝＝＝．
故選：D．
2．如圖，一個水晶球擺件，它是由一個長方體和一個球體組成的幾何體，則其主視圖是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，
故選：D．
3．如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，則AE：EC的值為（　?。?br />
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．
【解答】解：∵AD：AB＝3：4，
∴AD：DB＝3：1，
∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：1，
故選：A．
4．已知點(diǎn)A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出A在第二象限，B、C在第四象限，得出y1＞0，0＞y3＞y2，即可得出選項．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，
∴A在第二象限，B、C在第四象限，
∴y1＞0，
∵2＜4，
∴0＞y3＞y2，
∴y2＜y3＜y1，
故選：B．
5．設(shè)a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2021 D．2020
【分析】由一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出a2+a＝2021、a+b＝﹣1，將其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴a2+a＝2021，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故選：D．
6．在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】畫樹狀圖展示所以6種等可能的結(jié)果，再找出能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)為2，
所以能讓燈泡L2發(fā)光的概率＝＝．
故選：A．
7．菱形的一個內(nèi)角是60°，邊長是3cm，則這個菱形的較短的對角線長是（　?。?br /> A． B． C．3cm D．
【分析】證出△ABC是等邊三角形，得AC＝AB＝3cm即可．
【解答】解：如圖，∵菱形的一個內(nèi)角是60°，邊長是3cm，
∴AB＝BC＝3cm，△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝3cm，
即這個菱形的較短的對角線長為3cm，
故選：C．

8．如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（　?。?br />
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
【分析】根據(jù)平行四邊形的面積計算公式及道路的鋪設(shè)方式，可得出鋪設(shè)草坪的面積等于長為（32﹣x）米、寬（12﹣x）米的矩形面積，結(jié)合草坪的面積為300平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵道路的寬為x米，
∴鋪設(shè)草坪的面積等于長為（32﹣x）米、寬（12﹣x）米的矩形面積．
∵草坪的面積為300平方米，
∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．
故選：C．
9．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，則OM+MN的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO＝CO＝BO＝DO＝5，由三角形的面積和差關(guān)系可求解．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，
∵S△ABC＝×AB×BC＝24，
∴S△BOC＝12，
∵S△BOC＝S△BOM+S△COM，
∴12＝×5×MN+×5×OM，
∴OM+MN＝，
故選：A．
10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝，過點(diǎn)F作AD的平行線交BA的延長線于點(diǎn)H，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①CG＝；②△AEG的周長為8；③△EGF的面積為．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【分析】先判斷出∠H＝90°，進(jìn)而求出AH＝HF＝1＝BE．進(jìn)而判斷出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判斷出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，求出S△ECF，先判斷出四邊形APFH是矩形，進(jìn)而判斷出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，同理：四邊形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，F(xiàn)Q＝5，CQ＝3，再判斷出△FPG∽△FQC，得出＝，求出PG＝，再根據(jù)勾股定理求得EG＝，即△AEG的周長為8，判斷出②正確；先求出DG＝，進(jìn)而在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理得，CG＝＝＝，故①錯誤，用S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC求出面積，進(jìn)而求出S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG＝﹣＝，故③正確．
【解答】解：如圖，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF＝EF?EC＝EC2＝，
過點(diǎn)F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四邊形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四邊形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，F(xiàn)Q＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴＝，
∴＝，
∴PG＝，
∴AG＝AP+PG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝4﹣＝，
在Rt△EAG中，根據(jù)勾股定理得，EG＝＝，
∴△AEG的周長為AG+EG+AE＝++3＝8，故②正確；在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理得，CG＝＝＝，故①錯誤；
∵S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD2﹣AG?AE﹣GD?DC﹣EB?BC＝42﹣××3﹣××4﹣×1×4＝，
∴S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG＝﹣＝，故③正確；
故選：D．

二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　x1＝0，x2＝1?。?br /> 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案為：x1＝0，x2＝1．
12．如圖，在長為8的線段AB上，作如下操作：經(jīng)過點(diǎn)B作BC⊥AB，使得BC＝AB；連接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，則AD的長為 　4﹣4?。?br />
【分析】利用BC＝AB可得BC＝4，由勾股定理得：AC＝4，根據(jù)AD＝AE＝AC﹣CE即可求解．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝AB，
∴BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵CE＝BC＝4，
∴AD＝AE＝AC﹣CE＝4﹣4．
故答案為4﹣4．
13．已知x＝1是關(guān)于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一個根，則另一個根是 　﹣3?。?br /> 【分析】把x＝1代入方程ax2﹣2x+3＝0求得a＝﹣1，設(shè)方程的另一個根為x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出1×x2＝﹣3，解之可得答案．
【解答】解：∵x＝1是關(guān)于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一個根，
∴a﹣2+3＝0，
∴a＝﹣1，
設(shè)方程的另一個根為x2，
根據(jù)題意，得：1×x2＝＝﹣3，
解得：x2＝﹣3，
即方程的另一個根為﹣3，
故答案為：﹣3．
14．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且AB⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，則△ABD的面積為 　?。?br />
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．
【解答】解：設(shè)C（m，0），則OC＝m，B（m，），A（m，），
∴AB＝AC﹣BC＝﹣＝，
∴S△ABD＝AB?OC＝××m＝，
故答案為：．
15．平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△POD是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ?。?，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3）?。?br />
【分析】當(dāng)P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5時分別作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐標(biāo)．
【解答】解：∵點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)C（0，3），
∴OC＝3，OA＝10，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD＝5，
∵△POD是等腰三角形，
∴①點(diǎn)P1O＝OD＝5時，由勾股定理可以求得P1C＝4，
②當(dāng)P2O＝P2D時，作P2E⊥OA于E，
∴OE＝ED＝2.5；
③當(dāng)P3D＝OD＝5時，作DF⊥BC于F，由勾股定理，得，P3F＝4，
∴P3C＝1；
當(dāng)P4D＝OD＝5時，作P4G⊥OA于G，由勾股定理，得，DG＝4，
∴OG＝9．
∴P1（4，3），P2（2.5，3），P3（1，3），P4（9，3）．
故答案為：（4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3）．

三.解答題（共7小題共55分，第16題8分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題8分，第22題9分。）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
則（x﹣5）（x+1）＝0，
則x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（6分）如圖，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（請直接寫出答案）．

【分析】（1）先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝求出m得到反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，再利用反比例函數(shù)解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）先求C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式和S△AOB＝S△AOC+S△BOC進(jìn)行計算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)﹣4＜x＜0或x＞2時，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象下方，即有kx+b＜．
【解答】解：（1）把B（2，﹣4）代入y＝得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，
把A（﹣4，n）代入y＝﹣得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，2），
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣2；
（2）把y＝0代入y＝﹣x﹣2得﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
18．（8分）某學(xué)校為了解全校學(xué)生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)以上信息，解答下列問題
（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少名？
（2）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）若該校有3000名學(xué)生，估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？
（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．
【分析】（1）根據(jù)動畫類人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)；
（2）總?cè)藬?shù)減去其他類型人數(shù)可得體育類人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全圖形即可；
（3）用樣本估計總體的思想解決問題；
（4）根據(jù)題意先畫出列表，得出所有情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為15÷30%＝50（名）；

（2）喜愛“體育”的人數(shù)為50﹣（4+15+18+3）＝10（名），
補(bǔ)全圖形如下：


（3）估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有3000×＝600（名）；

（4）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，?。?br /> （乙，?。?br /> （丙，?。?br /> ﹣﹣﹣
所有等可能的結(jié)果為12種，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種結(jié)果，
所以恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率為＝．
19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，若AB＝6，BC＝10，求EF的長．

【分析】（1）先證四邊形AECD是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)和菱形的判定解答即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和面積解答即可．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形．
又∵∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）解：過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，如圖所示：
由（1）得：四邊形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AG，
即×6×8＝×10×AG，
∴AG＝，
又∵EF⊥CD，AG⊥BC，
∴S菱形AECD＝CD?EF＝CE?AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．

20．（8分）今年是我國脫貧勝利年，我國在扶貧方面取得了巨大的成就，技術(shù)扶貧也使得我省某縣的一個電子器件廠脫貧扭虧為盈．該電子器件廠生產(chǎn)一種電腦顯卡，2019年該類電腦顯卡的出廠價是200元/個，2020年，2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年該電腦顯卡的出廠價調(diào)整為162元/個．
（1）這兩年此類電腦顯卡出廠價下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某賽格電腦城以出廠價購進(jìn)若干個此類電腦顯卡，以200元/個銷售時，平均每天可銷售20個．為了減少庫存，該電腦城決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10個，如果每天盈利1150元，單價應(yīng)降低多少元？
【分析】（1）設(shè)平均下降率為x，利用2021年該類電腦顯卡的出廠價＝2019年該類電腦顯卡的出廠價×（1﹣下降率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)單價應(yīng)降低m元，則每個的銷售利潤為（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）個，利用每天銷售該電腦顯卡獲得的利潤＝每個的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)平均下降率為x，
依題意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．
答：平均下降率為10%．
（2）設(shè)單價應(yīng)降低m元，則每個的銷售利潤為（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）個，
依題意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
答：單價應(yīng)降低13元或15元．
21．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的長．

【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行線的內(nèi)錯角），而∠AFD和∠C是等角的補(bǔ)角，由此可判定兩個三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出DE的長，再利用勾股定理即可求出AE的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B
∴∠AFD＝∠C
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：．
22．（9分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AE＝AD，EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．
（1）求證：BD⊥EC；
（2）求AD：AB的值；
（3）連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．

【分析】（1）證明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，證得∠EGB＝90°，則結(jié)論得出；
（2）證明△AEF∽△DCF，得出，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a，AF＝AB＝b，則有a?（a﹣b）＝b2，化簡得a2﹣ab﹣b2＝0，解方程即可得出答案；
（3）在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，證明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，證得△PAG為等腰直角三角形，可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE?DF＝AF?DC，
設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣b）＝b2，
化簡得a2﹣ab﹣b2＝0，
解得a＝b或b（舍去），
∴AD：AB＝a：b＝；

（3）證明：如圖，在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，

在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG為等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．